苏科版九年级上册1.2 一元二次方程的解法巩固练习

苏科版九年级数学上册靶向培优训练

1.2一元二次方程的解法根的判别式

一、选择题

1．关于x的一元二次方程有实数根，则整数a的最大值是

A. 2 B. 1 C. 0 D.

2．在中，直角边为a、b，斜边为若把关于x的方程称为“勾系一元二次方程”，则这类“勾系一元二次方程”的根的情况是

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根 D. 一定有实数根

3．已知关于x的一元二次方程无实数根，则a的取值范围是

A.  B.  C.  D. 且

4．等腰三角形的一边长是3，另两边的长是关于x的方程的两个根，则k的值为

A. 3 B. 4 C. 3或4 D. 7

5．当时，关于x的一元二次方程的根的情况为

A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根

C. 没有实数根 D. 无法确定

6．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则m的值是     

A. 7 B. 3 C. 或7 D. 任意实数

二、填空题

7．若关于x的一元二次方程有实数根，则k的取值范围是______．

8．关于x的一元二次方程有实数根，则a的取值范围是______．

9．若一元二次方程无实数根，则一次函数的图象不经过第_____象限．

10．关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根，则m的取值范围是______．

11．若关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则的值为______．

12．如图，的三个顶点分别为，，若函数在第一象限内的图象与有交点，则k的取值范围是______．

三、解答题

13．已知关于x的两个一元二次方程：

方程：；

方程：．

若方程有两个相等的实数根，求：k的值

若方程和只有一个方程有实数根，请说明此时哪个方程没有实数根．

若方程和有一个公共根a，求代数式的值．

14．已知关于x的一元二次方程，其中a、b、c分别为三边的长．

如果是方程的根，试判断的形状，并说明理由；

如果方程有两个相等的实数根，试判断的形状，并说明理由；

如果是等边三角形，试求这个一元二次方程的根．

15．由两个全等的和构成如图所示的四边形ABCD，已知直角三角形的直角边长分别为m、n，斜边长为分别以m、、n为二次项系数、一次项系数和常数项构造的一元二次方程，称为勾股方程．

直接写出一个勾股方程．

若勾股方程有两个相等的实数根，求的值．

若是勾股方程的一个根，且四边形ABCD的周长是6，求四边形ABCD的面积．

16．若关于x的一元二次方程b，c均为常数，且的根均为整数，称该方程为“理想方程”易得出任何一个“理想方程”的根的判别式一定是完全平方数．规定为该“理想方程”的“理想数”若另一“理想方程”q，r均为常数，且的“理想数”为，且满足，则称与互为“相对理想数”如：方程的两根均为整数，则称为“理想方程”，其判别式，其“理想数”为．

求“理想方程”的“理想数”；

若关于x的一元二次方程为整数，且是“理想方程”，求其“理想数”；

若关于x的一元二次方程与、n均为整数都是“理想方程”，且其“理想数”互为“相对理想数”，求n的值．

17．已知关于x的方程

求证：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

当k为何整数时，关于x的方程有两个整数根？

18．已知关于x的一元二次方程．

求证：无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

若方程有一个根的平方等于4，求m的值．

【参考答案】

一、选择题

1．C

【解析】

【分析】

此题考查了根的判别式，一元二次方程的定义，弄清题意是解本题的关键．

根据方程有实数根，得到根的判别式的值大于等于0，且二次项系数不为0，即可求出整数a的最大值．

【解答】

解：因为关于x的一元二次方程有实数根，

所以且，解得且，

所以整数a的最大值为0．

故选C．

2．D

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式以及勾股定理，牢记“当时，方程有实数根”是解题的关键．

由勾股定理可得出，根据“勾系一元二次方程”的定义结合根的判别式可得出，由此可得出“勾系一元二次方程”一定有实数根．

【解答】

解：在中，直角边为a、b，斜边为c，

．

在方程中，．

，

，即，

这类“勾系一元二次方程”一定有实数根．

故选D．

3．B

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式以及解一元一次不等式组，根据根的判别式结合一元二次方程的定义找出关于a的一元一次不等式组是解题的关键．根据一元二次方程的定义结合根的判别式即可得出关于a的一元一次不等式组，解不等式组即可得出结论．

【解答】

解：关于x的一元二次方程无实数根，

，

解得：．

故选B．

4．C

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式、一元二次方程的解、等腰三角形的性质、三角形三边关系以及根与系数的关系，分3为腰长及3为底边长两种情况，求出k值是解题的关键．

当3为腰长时，将代入原一元二次方程可求出k的值；当3为底边长时，利用等腰三角形的性质可得出根的判别式，解之可得出k值，利用根与系数的关系可得出两腰之和，将其与3比较后可得知该结论符合题意．

【解答】

解：当3为腰长时，将代入，得：，

解得：，

的两个根是，，，

当3为底边长时，关于x的方程有两个相等的实数根，

，

解得：，此时两腰之和为4，，符合题意．

的值为3或4．

故选C．

5．A

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式，牢记“当时，方程有两个不相等的实数根”是解题的关键．由可得出，根据方程的系数结合根的判别式可得出，由偶次方的非负性可得出，即，由此即可得出关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

【解答】

解：，

．

．

，

，

，

关于x的一元二次方程有两个不相等的实数根．

故选A．

6．A

【解析】

【分析】

 本题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．根据一元二次方程根的判别式的意义，由关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，则有，得到关于m的方程，再由二次项的系数不为0可得关于m的不等式，然后解之即可．

【解答】

解：关于x的一元二次方程有两个相等的实数根，

故选A．

二、填空题

7．且

【解析】解：由题意可知：，

，

，

且，

故答案为：且；

根据一元二次方程的根的判别式即可求出答案．

本题考查根的判别式，解题的关键是熟练运用根的判别式，本题属于基础题型．

8．且

【解析】解：关于x的一元二次方程有实数根，

，，

且，

故答案为：且．

由方程是一元二次方程得出，再由方程有实数根得出，即可得出结论．

此题主要考查了一元二次方程的定义，根的判别式，利用根的判别式建立不等式是解本题的关键．

9．一

【解析】

【分析】

题考查了一元二次方程的根的判别式：当，方程有两个不相等的实数根；当，方程有两个相等的实数根；当，方程没有实数根．也考查了一次函数图象与系数的关系．

根据判别式的意义得到，解得，然后根据一次函数的性质可得到一次函数图象经过的象限．

【解答】

解：  一元二次方程无实数根，

，

，

，即，

一次函数的图象不经过第一象限．

故答案为一．

10．且

【解析】

【分析】

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到且，然后求出两个不等式的公共部分即可．

【解答】

解：根据题意得且，

解得且．

故答案为：且．

11．

【解析】

【分析】

本题考查根的判别式及代数式的值，解题的关键是正确理解根的判别式与方程根的关系，本题属于基础题型．

根据根的判别式得出，再整体代入化简后的代数式即可求出答案．

【解答】

解：由题意可知：，

，

．

故答案为：．

12．

【解析】解：反比例函数和三角形有交点的第一个临界点是交点为A，

过点的反比例函数解析式为，

．

随着k值的增大，反比例函数的图象必须和线段BC有交点才能满足题意，

经过，的直线解析式为，

，得

根据，得，

综上可知．

故答案为．

根据反比例函数图象上点的坐标特征，反比例函数和三角形有交点的临界条件分别是交点为A、与线段BC有交点，由此求解即可．

本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，两函数交点坐标的求法，有一定难度．注意自变量的取值范围．

三、解答题

13．解：

方程有两个相等的实数根，

，

则，，

则，

，，

，

；

，

无论k为何值时，方程总有实数根，

方程、只有一个方程有实数根，

此时方程没有实数根．

根据a是方程和的公共根，

，，

得：，

得：，

代数式．

故代数式的值为5．

【解析】由方程有两个相等的实数根，由根的判别式可得到关于k的方程则可求得k的值；

由方程的判别式可求得该方程总有两个实数根，则可知方程没有实数根；

把分别代入两个方程，整理即可求得所求代数式的值．

本题主要考查根的判别式，熟练掌握一元二次方程根的个数与根的判别式的关系是解题的关键．

14．解：把代入方程得，则，所以为等腰三角形；

根据题意得，即，所以为直角三角形；

为等边三角形，

，

方程化为，解得，．

【解析】把代入方程得，整理得，从而可判断三角形的形状；

根据判别式的意义得，即，然后根据勾股定理可判断三角形的形状；

利用等边三角形的性质得，方程化为，然后利用因式分解法解方程．

本题考查了根的判别式：一元二次方程的根与有如下关系：当时，方程有两个不相等的实数根；当时，方程有两个相等的实数根；当时，方程无实数根．

15．解：若，，则，此时的勾股方程为答案不唯一

由一元二次方程根的判别式，得，

而，代入得，故，

，即

当时，若，则

又，

，解得．

，，则，

，解得，

则，

．

【解析】本题考查的是根的判别式，新定义有关知识．

根据新定义进行解答即可；

利用根的判别式进行解答即可；

当时，若，则，然后再结合三角形的面积计算即可．

16．解：根据“理想数”的公式可得

；

由题知：，

又，

，

又此是完全平方数，

或49或81，

又为整数，

，

此方程为，

解方程得  或，

此方程的“理想数”；

由得，

设为整数，

则，

或2或或，

或6或或，

解得或，

当时，此方程可变为，其“理想数”为，

当时，此方程可变为，其“理想数”为，

方程的理想数为：，

当时，则有，整理，得，，

此方程无实数根，

当时，，

整理得     ，

．

即n的值为0．

【解析】本题主要考查的是根的判别式和完全平方数的知识，是一种阅读类型的题目，计算量较大，解答此题的关键是读懂题意，弄清“理想方程”、“理想数”和“相对理想数”的含义．

根据题目中给的“理想数”的定义计算即可；

首先得到，由可得，根据是完全平方数，可得或49或81，由m是整数确定m的值，代入方程，即可求解；

由，求出m的值，得到方程的理想数，再由得理想数为，最后分别求出m取不同值时n的值．

17．解：当时，方程为一元一次方程，必有一解；

当时，方程为一元二次方程，

，

一元二次方程有两个实数根．

综上：不论k取什么实数值，这个方程总有实数根；

方程有两个整数根，

方程为一元二次方程，即，

，

解得或，

又k为整数，

或，

或2．

【解析】分两种情况讨论：当时和时，当时，根据方程各项的系数，利用根的判别式，即可得出，此题得证；

根据方程有两个根，可知方程为一元二次方程，利用因式分解或公式法解方程，有一个根为，另一根为，可得是1的约数，得k的值．

此题考查了一元二次方程根的判别式的应用、一元一次方程的解的情况和一元二次方程的解，此题难度较大，注意掌握一元二次方程的根与的关系，注意分类讨论思想的应用．

18．证明：，

无论实数m取何值，方程总有两个实数根；

解：方程有一个根的平方等于4，

是原方程的根，

当时，．

解得；

当时，，

解得．

综上所述，m的值为0或．

【解析】先根据方程有两个相等的实数根列出关于m的一元二次方程，求出m的值即可；

根据题意得到是原方程的根，将其代入列出关于m的新方程，通过解新方程求得m的值．

本题考查的是根的判别式及一元二次方程的解的定义，在解答时要分类讨论，这是此题的易错点．