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    多维层次练48-椭圆及简单几何性质学案

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    多维层次练48-椭圆及简单几何性质学案

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    这是一份多维层次练48-椭圆及简单几何性质学案,共13页。
    1.如图所示,一圆形纸片的圆心为O,F是圆内一定点,M是圆周上一动点,把纸片折叠使M与F重合,然后抹平纸片,折痕为CD,设CD与OM交于点P,则点P的轨迹是( )
    A.椭圆 B.双曲线
    C.抛物线 D.圆
    解析:由条件知|PM|=|PF|,所以|PO|+|PF|=|PO|+|PM|=|OM|=R>|OF|,点P的轨迹是以O,F为焦点的椭圆.
    答案:A
    2.(2021·广东省适应性考试)椭圆eq \f(x2,m2+1)+eq \f(y2,m2)=1(m>0)的焦点为F1,F2,上顶点为A,若∠F1AF2=eq \f(π,3),则m=( )
    A.1 B.eq \r(2)
    C.eq \r(3) D.2
    解析:这里的c=eq \r(m2+1-m2)=1,b=m,又由题意∠F1AF2=eq \f(π,3),得∠F1AO=eq \f(π,6),则tan∠F1AO=eq \f(1,m)=eq \f(\r(3),3),解得m=eq \r(3),故选C.
    答案:C
    3.(2020·河南洛阳第一次模拟)已知椭圆eq \f(x2,11-m)+eq \f(y2,m-3)=1的长轴在y轴上,且焦距为4,则m等于( )
    A.5 B.6
    C.9 D.10
    解析:由椭圆eq \f(x2,11-m)+eq \f(y2,m-3)=1的长轴在y轴上,焦距为4,可得eq \r(m-3-11+m)=2,解得m=9.故选C.
    答案:C
    4.(2020·河北衡水二模)已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的离心率为eq \f(1,3),则eq \f(a,b)=( )
    A.eq \f(9,8) B.eq \f(3\r(2),2)
    C.eq \f(4,3) D.eq \f(3\r(2),4)
    解析:因为e=eq \f(c,a)=eq \r(\f(a2-b2,a2))=eq \f(1,3),所以8a2=9b2,
    所以eq \f(a,b)=eq \f(3\r(2),4).故选D.
    答案:D
    5.(多选题)如图所示,“嫦娥一号”探月卫星沿地球转移轨道飞向月球,在月球附近一点P变轨进入以月球球心F为一个焦点的椭圆轨道Ⅰ绕月飞行,之后卫星在P点第二次变轨进入仍以F为一个焦点的椭圆轨道Ⅱ绕月球飞行,最终卫星在P点第三次变轨进入以F为圆心的圆形轨道Ⅲ绕月球飞行,若用2c1和2c2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的焦距,用2a1和2a2分别表示椭圆轨道Ⅰ和Ⅱ的长轴的长,下列式子正确的是( )
    A.a1+c1=a2+c2 B.a1-c1=a2-c2
    C.c1a2>a1c2 D.eq \f(c1,a1)a2,c1>c2,
    所以a1+c1>a2+c2,所以A不正确;
    因为a1-c1=|PF|,a2-c2=|PF|,
    所以a1-c1=a2-c2,B正确;
    a1+c2=a2+c1,可得(a1+c2)2=(a2+c1)2,
    aeq \\al(2,1)-ceq \\al(2,1)+2a1c2=aeq \\al(2,2)-ceq \\al(2,2)+2a2c1,
    即beq \\al(2,1)+2a1c2=beq \\al(2,2)+2a2c1,
    因为b1>b2,所以c1a2>a1c2,C正确;
    可得eq \f(c1,a1)>eq \f(c2,a2),D不正确.
    故选BC.
    答案:BC
    6.(多选题)已知椭圆C的中心为坐标原点,焦点F1,F2在y轴上,短轴长等于2,离心率为eq \f(\r(6),3),过焦点F1作y轴的垂线交椭圆C于P,Q两点,则下列说法正确的是( )
    A.椭圆C的方程为eq \f(y2,3)+x2=1
    B.椭圆C的方程为eq \f(x2,3)+y2=1
    C.|PQ|=eq \f(2\r(3),3)
    D.△PF2Q的周长为4eq \r(3)
    解析:由已知得,2b=2,b=1,eq \f(c,a)=eq \f(\r(6),3),
    又a2=b2+c2,解得a2=3.
    所以椭圆方程为x2+eq \f(y2,3)=1.
    如图,
    所以|PQ|=eq \f(2b2,a)=eq \f(2,\r(3))=eq \f(2\r(3),3),
    △PF2Q的周长为4a=4eq \r(3).
    故选ACD.
    答案:ACD
    7.(2019·全国卷Ⅲ)设F1,F2为椭圆C:eq \f(x2,36)+eq \f(y2,20)=1的两个焦点,M为C上一点且在第一象限.若△MF1F2为等腰三角形,则M的坐标为________.
    解析:设F1为椭圆的左焦点,分析可知点M在以F1为圆心,焦距为半径的圆上,即在圆(x+4)2+y2=64上.
    因为点M在椭圆eq \f(x2,36)+eq \f(y2,20)=1上,
    所以联立方程可得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1((x+4)2+y2=64,,\f(x2,36)+\f(y2,20)=1,))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x=3,,y=±\r(15).))
    又因为点M在第一象限,所以点M的坐标为(3,eq \r(15)).
    答案:(3,eq \r(15))
    8.已知椭圆C1:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)与椭圆C2:eq \f(y2,a2)+eq \f(x2,b2)=1(a>b>0)相交于A,B,C,D四点,若椭圆C1的一个焦点F(-eq \r(2),0),且四边形ABCD的面积为eq \f(16,3),则椭圆C1的离心率e为________.
    解析:联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1,,\f(y2,a2)+\f(x2,b2)=1,))
    两式相减得eq \f(x2-y2,a2)=eq \f(x2-y2,b2),又a≠b,
    所以x2=y2=eq \f(a2b2,a2+b2),
    故四边形ABCD为正方形,eq \f(4a2b2,a2+b2)=eq \f(16,3),(*)
    又由题意知a2=b2+2,将其代入(*)式整理得3b4-2b2-8=0,所以b2=2,则a2=4,
    所以椭圆C的离心率e=eq \f(\r(2),2).
    答案:eq \f(\r(2),2)
    9.(2019·江苏卷)如图所示,在平面直角坐标系xOy中,椭圆C:eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的焦点为F1(-1,0),F2(1,0).过F2作x轴的垂线l,在x轴的上方,l与圆F2:(x-1)2+y2=4a2交于点A,与椭圆C交于点D.连接AF1并延长交圆F2于点B,连接BF2交椭圆C于点E,连接DF1.已知DF1=eq \f(5,2).
    (1)求椭圆C的标准方程;
    (2)求点E的坐标.
    解:(1)设椭圆C的焦距为2c.
    因为F1(-1,0),F2(1,0),所以F1F2=2,c=1.
    又因为DF1=eq \f(5,2),AF2⊥x轴,
    所以DF2=eq \r(DFeq \\al(2,1)-F1Feq \\al(2,2))=eq \r(\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(5,2)))\s\up12(2)-22)=eq \f(3,2).
    因此2a=DF1+DF2=4,从而a=2.
    由b2=a2-c2,得b2=3.
    因此,椭圆C的标准方程为eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1.
    (2)由(1)知,椭圆C:eq \f(x2,4)+eq \f(y2,3)=1,a=2.
    因为AF2⊥x轴,所以点A的横坐标为1.
    将x=1代入圆F2的方程(x-1)2+y2=16,
    解得y=±4.
    因为点A在x轴上方,所以A(1,4).
    又F1(-1,0),所以直线AF1:y=2x+2.
    由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=2x+2,,(x-1)2+y2=16,))得5x2+6x-11=0,
    解得x=1或x=-eq \f(11,5).
    将x=-eq \f(11,5)代入y=2x+2,得y=-eq \f(12,5).
    因此Beq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(11,5),-\f(12,5))).又F2(1,0),
    所以直线BF2:y=eq \f(3,4)(x-1).
    由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=\f(3,4)(x-1),,\f(x2,4)+\f(y2,3)=1,))得7x2-6x-13=0,
    解得x=-1或x=eq \f(13,7).
    又因为E是线段BF2与椭圆的交点,所以x=-1.
    将x=-1代入y=eq \f(3,4)(x-1),得y=-eq \f(3,2).
    因此Eeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-1,-\f(3,2))).
    10.已知椭圆eq \f(x2,a2)+eq \f(y2,b2)=1(a>b>0)的右焦点为F2(3,0),离心率为e.
    (1)若e=eq \f(\r(3),2),求椭圆的方程;
    (2)设直线y=kx与椭圆相交于A,B两点,M,N分别为线段AF2,BF2的中点,若坐标原点O在以MN为直径的圆上,且eq \f(\r(2),2)0)上的两点,且A,B关于坐标原点对称,F是椭圆的一个焦点,若△ABF面积的最大值恰为2,则椭圆E的长轴长的最小值为________.
    解析:如图所示,
    设AB的方程为ty=x,F(c,0),A(x1,y1),B(x2,y2).
    则y1=-y2.联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(ty=x,,\f(x2,a2)+\f(y2,b2)=1))可得y2=eq \f(a2b2,b2t2+a2)=-y1y2,
    所以△ABF的面积S=eq \f(1,2)c|y1-y2|=eq \f(1,2)c·eq \r((y1+y2)2-4y1y2)=ceq \r(\f(a2b2,b2t2+a2))≤cb,当t=0时取等号.
    所以bc=2,所以a2=b2+c2≥2bc=4,a≥2.
    所以椭圆E的长轴长的最小值为4.
    答案:4
    14.已知椭圆E的一个顶点为A(0,1),焦点在x轴上,若椭圆的右焦点到直线x-y+2eq \r(2)=0的距离是3.
    (1)椭圆E的方程为____________;
    (2)设过点A的直线l与该椭圆交于另一点B,当弦AB的长度最大时,则直线l的方程为____________.
    解析:(1)由题意得,b=1.右焦点(c,0)(c>0)到直线x-y+2eq \r(2)=0的距离d=eq \f(|c+2\r(2)|,\r(2))=3,所以c=eq \r(2),所以a=eq \r(b2+c2)=eq \r(3),所以椭圆E的方程为eq \f(x2,3)+y2=1.
    (2)当直线l的斜率不存在时,|AB|=2,此时直线l的方程为x=0.当直线l的斜率存在时,设直线l的方程为y=kx+1,联立eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y=kx+1,,\f(x2,3)+y2=1,))得(1+3k2)x2+6kx=0,所以xA=0,xB=eq \f(-6k,1+3k2),
    所以|AB|=eq \r(1+k2)eq \f(6|k|,1+3k2),|AB|2=eq \f(36k2(1+k2),(1+3k2)2).
    令t=1+3k2,t∈(1,+∞),
    则|AB|2=4×eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(-2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,t)))\s\up12(2)+\f(1,t)+1))
    所以当eq \f(1,t)=eq \f(1,4),即k2=1,得k=±1时,|AB|2取得最大值为eq \f(9,2),即|AB|的最大值为eq \f(3\r(2),2),此时直线l的方程为y=x+1或y=-x+1.
    因为2b>0)的左、右焦点分别为F1(-c,0),F2(c,0),若椭圆上存在点P使eq \f(1-cs2∠PF1F2,1-cs2∠PF2F1)=eq \f(a2,c2),求该椭圆的离心率的取值范围.
    解:由eq \f(1-cs2∠PF1F2,1-cs2∠PF2F1)=eq \f(a2,c2)得eq \f(c,a)=eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2).
    又由正弦定理得eq \f(sin ∠PF2F1,sin ∠PF1F2)=eq \f(|PF1|,|PF2|),
    所以eq \f(|PF1|,|PF2|)=eq \f(c,a).
    即|PF1|=eq \f(c,a)|PF2|.
    又由椭圆定义得|PF1|+|PF2|=2a,
    所以|PF2|=eq \f(2a2,a+c),|PF1|=eq \f(2ac,a+c),
    因为PF2是△PF1F2的一边,
    所以有2c-eq \f(2ac,a+c)0(0

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