多维层次练52-圆锥曲线综合训练学案

这是一份多维层次练52-圆锥曲线综合训练学案，共7页。
证明：法一 显然直线OA的斜率存在且不为零．设直线OA的方程为y＝kx，根据对称性，不妨设k>0.
因为OA⊥OB，所以直线OB的方程为y＝－eq \f(1,k)x.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx，,y2＝2px，))得k2x2－2px＝0，所以Aeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2p,k2)，\f(2p,k))).
同理B(2pk2，－2pk)．
因此当k≠1时，kAB＝eq \f(\f(2p,k)＋2pk,\f(2p,k2)－2pk2)＝eq \f(k,1－k2).
所以直线AB的方程为y＋2pk＝eq \f(k,1－k2)(x－2pk2)，即y＝eq \f(k,1－k2)(x－2p)．
此直线恒过定点(2p，0)．
又当k＝1时，A(2p，2p)，B(2p，－2p)，直线AB的方程为x＝2p，也过点(2p，0)．
因此直线AB恒过一定点(2p，0)．
法二 设A(x1，y1)，B(x2，y2)．
当直线AB的斜率不存在时，
设直线AB的方程为x＝m(m>0)，
则由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(x＝m，,y2＝2px，))可得y＝±eq \r(2pm)，不妨取A(m，eq \r(2pm))，B(m，－eq \r(2pm))，
又OA⊥OB，因此m2－2pm＝0.
因为m>0，所以m＝2p，从而直线AB的方程为x＝2p.
当直线AB的斜率存在时，设为k，显然k≠0.设直线AB的方程为y＝kx＋b.因为直线AB不过原点，所以b≠0.
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx＋b，,y2＝2px，))得k2x2＋(2kb－2p)x＋b2＝0.
所以x1＋x2＝eq \f(2p－2kb,k2)，x1x2＝eq \f(b2,k2).
又y1＝kx1＋b，y2＝kx2＋b，所以y1y2＝k2x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2.
因为OA⊥OB，所以eq \(OA,\s\up15(→))·eq \(OB,\s\up15(→))＝0，所以x1x2＋y1y2＝(1＋k2)x1x2＋kb(x1＋x2)＋b2＝(1＋k2)eq \f(b2,k2)＋kbeq \f(2p－2kb,k2)＋b2＝0，即b2＋2kbp＝0，由b≠0，得b＝－2pk.
因此直线AB的方程为y＝kx－2pk，此直线恒过定点(2p，0)．
综上，直线AB恒过一定点(2p，0)．
2．(2019·北京卷)已知抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)．
(1)求抛物线C的方程及其准线方程；
(2)设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y＝－1分别交直线OM，ON于点A和点B.求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．
(1)解：由抛物线C：x2＝－2py经过点(2，－1)，得p＝2.
所以抛物线C的方程为x2＝－4y，其准线方程为y＝1.
(2)证明：抛物线C的焦点为F(0，－1)．
设直线l的方程为y＝kx－1(k≠0)．
由eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(y＝kx－1，,x2＝－4y，))得x2＋4kx－4＝0.
设M(x1，y1)，N(x2，y2)，则x1x2＝－4.
直线OM的方程为y＝eq \f(y1,x1)x.
令y＝－1，得点A的横坐标xA＝－eq \f(x1,y1).
同理得点B的横坐标xB＝－eq \f(x2,y2).
设点D(0，n)，则eq \(DA,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x1,y1)，－1－n))，
eq \(DB,\s\up15(→))＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(x2,y2)，－1－n))，
eq \(DA,\s\up15(→))·eq \(DB,\s\up15(→))＝eq \f(x1x2,y1y2)＋(n＋1)2＝eq \f(x1x2,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(xeq \\al(2,1),4)))\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(xeq \\al(2,2),4))))＋(n＋1)2＝eq \f(16,x1x2)＋(n＋1)2＝－4＋(n＋1)2.
令eq \(DA,\s\up15(→))·eq \(DB,\s\up15(→))＝0，即－4＋(n＋1)2＝0，
得n＝1或n＝－3.
综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点(0，1)和(0，－3)．
3．已知椭圆C：eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)的左顶点为M，上顶点为N，直线2x＋y－6eq \r(3)＝0与直线MN垂直，垂足为B点，且点N是线段MB的中点．
(1)求椭圆C的方程；
(2)若直线l：y＝kx＋m与椭圆C交于E，F两点，点G在椭圆C上，且四边形OEGF为平行四边形，求证：四边形OEGF的面积S为定值．
(1)解：由题意知，M(－a，0)，N(0，b)，直线MN的斜率k＝eq \f(b,a)＝eq \f(1,2)，得a＝2b.
因为点N是线段MB的中点，
所以点B的坐标为(a，2b)，
因为点B在直线2x＋y－6eq \r(3)＝0上，
所以2a＋2b＝6eq \r(3)，又a＝2b，
所以b＝eq \r(3)，a＝2eq \r(3)，
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1.
(2)证明：设E(x1，y1)，F(x2，y2)，G(x0，y0)，将y＝kx＋m代入eq \f(x2,12)＋eq \f(y2,3)＝1，整理得(1＋4k2)x2＋8kmx＋4m2－12＝0，则x1＋x2＝－eq \f(8km,1＋4k2)，x1·x2＝eq \f(4m2－12,1＋k2)，则y1＋y2＝k(x1＋x2)＋2m＝eq \f(2m,1＋4k2).
因为四边形OEGF为平行四边形，
所以eq \(OG,\s\up15(→))＝eq \(OE,\s\up15(→))＋eq \(OF,\s\up15(→))＝(x1＋x2，y1＋y2)，
得Geq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(8km,1＋4k2)，\f(2m,1＋4k2)))，将G点坐标代入椭圆C的方程得m2＝eq \f(3,4)(1＋4k2)，又易得点O到直线EF的距离d＝eq \f(|m|,\r(1＋k2))，|EF|＝eq \r(1＋k2)|x1－x2|，
所以平行四边形OEGF的面积S＝d·|EF|＝|m||x1－x2|＝|m|·eq \r(（x1＋x2）2－4x1x2)＝
4·eq \f(|m|\r(3－m2＋12k2),1＋4k2)＝4·eq \f(|m|\r(3m2),1＋4k2)＝eq \f(4\r(3)m2,1＋4k2)＝3eq \r(3).
故平行四边形OEGF的面积S为定值3eq \r(3).
4．已知椭圆C的两个顶点分别为A(－2，0)，B(2，0)，焦点在x轴上，离心率为eq \f(\r(3),2).
(1)求椭圆C的方程；
(2)如图所示，点D为x轴上一点，过点D作x轴的垂线交椭圆C于不同的两点M，N，过点D作AM的垂线交BN于点E.求证：△BDE与△BDN的面积之比为定值，并求出该定值．
解：(1)设椭圆C的方程为eq \f(x2,a2)＋eq \f(y2,b2)＝1(a>b>0)，
由题意得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(a＝2，,\f(c,a)＝\f(\r(3),2)，,b2＋c2＝a2，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\c1(b＝1，,c＝\r(3)，))
所以椭圆C的方程为eq \f(x2,4)＋y2＝1.
(2)法一 设D(x0，0)，M(x0，y0)，N(x0，－y0)，－2