多维层次练57-二项式定理学案

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1．(x－1)5＋5(x－1)4＋10(x－1)3＋10(x－1)2＋5(x－1)＝( )
A．x5 B．x5－1
C．x5＋1 D．(x－1)5－1
解析：逆用二项式定理，得原式＝[(x－1)＋1]5－1＝x5－1.
答案：B
2．(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中，x2y3z2的系数为( )
A．－30 B．120
C．240 D．420
解析：[(x＋2y)＋z]6的展开式中含z2的项为Ceq \\al(2,6)(x＋2y)4z2，(x＋2y)4的展开式中xy3项的系数为Ceq \\al(3,4)×23，x2y2项系数为Ceq \\al(2,4)×22，所以(x－y)(x＋2y＋z)6的展开式中x2y3z2的系数为Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(3,4)×23－Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(2,4)×22＝480－360＝120，故选B.
答案：B
3．设eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(5x－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(n)的展开式的各项系数之和为M，二项式系数之和为N，若M－N＝240，则展开式中含x的项为( )
A．500x B．150x
C．20x D．5x
解析：由已知条件4n－2n＝240，解得n＝4，
Tr＋1＝Ceq \\al(r,4)(5x)4－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(x))))eq \s\up12(r)＝(－1)r54－rCeq \\al(r,4)x4－eq \f(3r,2)，
令4－eq \f(3r,2)＝1，得r＝2，T3＝150x.
答案：B
4．已知(x＋2)(2x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5＋a6x6，则a0＋a2＋a4＝( )
A．123 B．91
C．－120 D．－152
解析：法一 因为(2x－1)5的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(2x)5－r·(－1)r(r＝0，1，2，3，4，5)，所以a0＋a2＋a4＝2×Ceq \\al(5,5)×20×(－1)5＋[1×Ceq \\al(4,5)×21×(－1)4＋2×Ceq \\al(3,5)×22×(－1)3]＋[1×Ceq \\al(2,5)×23×(－1)2＋2×Ceq \\al(1,5)×24×(－1)1]＝－2－70－80＝－152，故选D.
法二 令x＝1，得a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝3，①
令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋a4－a5＋a6＝－243，②
①＋②，得a0＋a2＋a4＋a6＝－120.又a6＝1×25＝32，所以a0＋a2＋a4＝－152，故选D.
答案：D
5．在eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))eq \s\up12(5)的展开式中，x3的系数等于－5，则该展开式的各项的系数中最大值为( )
A．5 B．10
C．15 D．20
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x－\f(a,x)))eq \s\up12(5)的展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)x5－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a,x)))eq \s\up12(r)＝(－a)rCeq \\al(r,5)x5－2r，令5－2r＝3，则r＝1，所以－a×5＝－5，即a＝1，展开式中第2，4，6项的系数为负数，第1，3，5项的系数为正数，故各项的系数中最大值为Ceq \\al(2,5)＝10，故选B.
答案：B
6．二项式eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，则展开式中x的指数为整数的项的个数为( )
A．3 B．5
C．6 D．7
解析：根据eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式中只有第11项的二项式系数最大，得n＝20，所以eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(3)x＋\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(n)的展开式的通项为Tr＋1＝Ceq \\al(r,20)·(eq \r(3)x)20－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(3,x))))eq \s\up12(r)＝(eq \r(3))20－r·Ceq \\al(r,20)·x20－eq \f(4r,3)，要使x的指数是整数，需r是3的倍数，所以r＝0，3，6，9，12，15，18，所以x的指数是整数的项共有7项．故选D.
答案：D
7．若eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3x－\f(1,\r(3,x2))))eq \s\up12(m)的展开式中二项式系数之和为128，则m＝________，展开式中eq \f(1,x3)的系数是________．
解析：由题意可知2m＝128，所以m＝7，所以展开式的通项Tr＋1＝Ceq \\al(r,7)(3x)7－r·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,\r(3,x2))))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,7)37－r·(－1)rx7－eq \f(5r,3)，令7－eq \f(5,3)r＝－3，解得r＝6，所以eq \f(1,x3)的系数为Ceq \\al(6,7)37－6(－1)6＝21.
答案：7 21
8．已知(a2＋1)n的展开式中的二项式系数之和等于(eq \f(16,5)x2＋eq \f(1,\r(x)))5的展开式的常数项，而(a2＋1)n的展开式的二项式系数最大的项等于54，则正数a的值为________．
解析：eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)x2＋\f(1,\r(x))))eq \s\up12(5)展开式的通项为
Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)x2))eq \s\up12(5－r)·eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(x))))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(16,5)))eq \s\up12(5－r)xeq \s\up6(\f(20－5r,2)).
令20－5r＝0，得r＝4，
故常数项T5＝Ceq \\al(4,5)×eq \f(16,5)＝16，
又(a2＋1)n展开式中的二项式系数之和为2n.
由题意得2n＝16，所以n＝4.
所以(a2＋1)4展开式中二项式系数最大的项是中间项T3，
从而Ceq \\al(2,4)(a2)2＝54，所以a＝eq \r(3).
答案：eq \r(3)
9．(2020·山东青岛第三次模拟)若(2－x)17＝a0＋a1(1＋x)＋a2(1＋x)2＋…＋a16(1＋x)16＋a17(1＋x)17，则
(1)a0＋a1＋a2＋…＋a16＝________；
(2)a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝________．
解析：令1＋x＝t，则已知条件为(3－t)17＝a0＋a1t＋a2t2＋…＋a17t17.(*)
(1)令t＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a17＝217，其中a17＝Ceq \\al(17,17)(－1)17＝－1，所以a0＋a1＋a2＋…＋a16＝217＋1.
(2)在(*)两边求导可得－17(3－t)16＝a1＋2a2t＋…＋16a16t15＋17a17t16，令t＝1，可得－17×216＝a1＋2a2＋…＋16a16＋17a17，
所以－17×216＝a1＋2a2＋…＋16a16－17，解得a1＋2a2＋3a3＋…＋16a16＝17－17×216.
答案：(1)217＋1 (2)17－17×216
10．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))eq \s\up12(n)的二项展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3.
(1)求n的值；
(2)求展开式中x3项的系数；
(3)计算Ceq \\al(0,10)－2Ceq \\al(1,10)＋4Ceq \\al(2,10)－8Ceq \\al(3,10)＋…＋1 024Ceq \\al(10,10)的值．
解：(1)由第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为8∶3，
可得eq \f(Ceq \\al(3,n),Ceq \\al(2,n))＝eq \f(8,3)，
化简得eq \f(n－2,3)＝eq \f(8,3)，
解得n＝10.
(2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))eq \s\up12(10)的二项展开式的通项公式为Tr＋1＝(－2)r·Ceq \\al(r,10)x5－r，令5－r＝3，解得r＝2，可得展开式中x3项的系数为(－2)2Ceq \\al(2,10)＝180.
(3)由二项式定理可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\r(x)－\f(2,\r(x))))eq \s\up12(10)＝eq \i\su(r＝0,10, )(－2)rCeq \\al(r,10)x5－r，
所以令x＝1得Ceq \\al(0,10)－2Ceq \\al(1,10)＋4Ceq \\al(2,10)－8Ceq \\al(3,10)＋…＋1 024Ceq \\al(10,10)＝(1－2)10＝1.
[综合应用练]
11．若(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5，则a3＝( )
A．－70 B．28
C．－26 D．40
解析：令t＝x－3，则(x－2)5－3x4＝a0＋a1(x－3)＋a2(x－3)2＋a3(x－3)3＋a4(x－3)4＋a5(x－3)5可化为(t＋1)5－3(t＋3)4＝a0＋a1t＋a2t2＋a3t3＋a4t4＋a5t5，则a3＝Ceq \\al(2,5)－3×Ceq \\al(1,4)×3＝10－36＝－26.故选C.
答案：C
12．记f(x)＝(1＋x)2 020＋x(1＋x)2 019＋…＋x1 010·(1＋x)1 010，则f(x)的展开式中x1 010的系数是( )
A．Ceq \\al(1 010,2 020) B．Ceq \\al(1 011,2 019)
C．Ceq \\al(1 011,2 021) D．Ceq \\al(1 011,2 020)
解析：由二项式定理易知x1 010的系数是
Ceq \\al(1 010,2 020)＋Ceq \\al(1 009,2 019)＋Ceq \\al(1 008,2 018)＋…＋Ceq \\al(0,1 010)
＝Ceq \\al(1 010,2 020)＋Ceq \\al(1 010,2 019)＋Ceq \\al(1 010,2 018)＋…＋Ceq \\al(1 010,1 011)＋Ceq \\al(1 010,1 010)
＝Ceq \\al(1 011,1 011)＋Ceq \\al(1 010,1 011)＋Ceq \\al(1 010,1 012)＋…＋Ceq \\al(1 010,2 019)＋Ceq \\al(1 010,2 020)
＝Ceq \\al(1 011,1 012)＋Ceq \\al(1 010,1 012)＋Ceq \\al(1 010,1 013)＋…＋Ceq \\al(1 010,2 019)＋Ceq \\al(1 010,2 020)
＝Ceq \\al(1 011,1 013)＋Ceq \\al(1 010,1 013)＋…＋Ceq \\al(1 010,2 019)＋Ceq \\al(1 010,2 020)＝…
＝Ceq \\al(1 011,2 020)＋Ceq \\al(1 010,2 020)
＝Ceq \\al(1 011,2 021).
答案：C
13．在(1＋x)6(1＋y)4的展开式中，记xmyn项的系数为f(m，n)，则f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝____________．
解析：在(1＋x)6的展开式中，xm的系数为Ceq \\al(m,6)，
在(1＋y)4的展开式中，yn的系数为Ceq \\al(n,4)，
故f(m，n)＝Ceq \\al(m,6)·Ceq \\al(n,4)，
所以f(3，0)＋f(2，1)＋f(1，2)＋f(0，3)＝Ceq \\al(3,6)Ceq \\al(0,4)＋Ceq \\al(2,6)Ceq \\al(1,4)＋Ceq \\al(1,6)Ceq \\al(2,4)＋Ceq \\al(0,6)Ceq \\al(3,4)＝120.
答案：120
14．若(1＋2 020x)2 020＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2 020x2 020，则eq \f(a1,2 020)＋eq \f(2a2,2 0202)＋eq \f(3a3,2 0203)＋…＋eq \f(1 010a1 010,2 0201 010)＝__________________________.
解析：因为eq \f(nan,2 020n)＝eq \f(n2 020nCeq \\al(n,2 020),2 020n)＝nCeq \\al(n,2 020)＝2 020Ceq \\al(n－1,2 019)，
所以eq \f(a1,2 020)＋eq \f(2a2,2 0202)＋eq \f(3a3,2 0203)＋…＋eq \f(1 010a1 010,2 0201 010)
＝2 020(Ceq \\al(0,2 019)＋Ceq \\al(1,2 019)＋…＋Ceq \\al(1 009,2 019))
＝2 020×eq \f(22 019,2)
＝2 020×22 018.
答案：2 020×22 018
15．已知eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(3,b)＋\f(1,\r(5b))))eq \s\up12(5)的展开式中的常数项等于(eq \f(3,\r(a))－eq \r(3,a))n的展开式中的二项式系数和．
(1)求eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))eq \s\up12(n)的展开式的各项系数和；
(2)求55n除以8的余数．
解：因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(4\r(3,b)＋\f(1,\r(5b))))eq \s\up12(5)的展开式中的通项公式为Tr＋1＝Ceq \\al(r,5)(4·eq \r(3,b))5－req \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(5b))))eq \s\up12(r)＝Ceq \\al(r,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(5))))eq \s\up12(r)45－rbeq \f(5,3)－eq \f(5,6)r，所以当r＝2时取得常数项，常数项T3＝Ceq \\al(2,5)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,\r(5))))eq \s\up12(2)43＝27，因为eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))eq \s\up12(n)的展开式中的二项式系数和为2n，所以2n＝27即n＝7.
(1)令a＝1，可得eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3,\r(a))－\r(3,a)))eq \s\up12(n)展开式的各项系数和为27＝128.
(2)557＝(56－1)7＝Ceq \\al(0,7)·567－Ceq \\al(1,7)·566＋…＋Ceq \\al(6,7)·56－Ceq \\al(7,7)，所以其除以8的余数为7.
[拔高创新练]
16．杨辉三角，又称帕斯卡三角，是二项式系数在三角形中的一种几何排列．在我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算法》(1261年)一书中用如图所示的三角形解释二项式乘方展开式的系数规律．现把杨辉三角中的数从上到下，从左到右依次排列，得1，1，1，1，2，1，1，3，3，1，1，4，6，4，1，…，记作数列{an}，若数列{an}的前n项和为Sn，则S80＝( )
A．2 059 B．4 108
C．2 048 D．4 095
解析：杨辉三角中前12行共有1＋2＋3＋4＋…＋12＝78个数，其和为20＋21＋22＋…＋211＝212－1＝4 095；第13行的前两个数是1，12，其和为13，故S80＝4 095＋13＝4 108.
答案：B