优化提升专题训练（新高考） 圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题（含答案解析）学案

   圆锥曲线中的双曲线与抛物线问题

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、双曲线的焦点坐标是

A．(−，0)，(，0)

B．(−2，0)，(2，0)

C．(0，−)，(0，)

D．(0，−2)，(0，2)

【答案】B

【解析】设的焦点坐标为，因为，，

所以焦点坐标为，故选B．

2、双曲线的离心率为，则其渐近线方程为

A． B．

C． D．

【答案】A

【解析】因为，所以，所以，

因为渐近线方程为，所以渐近线方程为，故选A．

3、（2020届山东省泰安市高三上期末）已知圆与双曲线的渐近线相切，则该双曲线的离心率是（   ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】

由双曲线，可得其一条渐近线的方程为，即，

又由圆，可得圆心为，半径，

则圆心到直线的距离为，则，可得，

故选C.

4、（2020届山东省济宁市高三上期末）已知是双曲线的左、右焦点，若点关于双曲线渐近线的对称点满足（为坐标原点），则双曲线的渐近线方程为（　　）

A． B． C． D．

【答案】B

【解析】如图所示：

由对称性可得：为的中点，且，

所以，

因为，所以，

故而由几何性质可得，即，

故渐近线方程为，

故选B.

5、【2020年高考北京】已知双曲线，则C的右焦点的坐标为_________；C的焦点到其渐近线的距离是_________．

【答案】；

【解析】在双曲线中，，，则，则双曲线的右焦点坐标为，

双曲线的渐近线方程为，即，

所以，双曲线的焦点到其渐近线的距离为.

故答案为：；.

6、【2019年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，若双曲线经过点（3，4)，则该双曲线的渐近线方程是  ▲   .

【答案】

【解析】由已知得，解得或，

因为，所以.

因为，所以双曲线的渐近线方程为.

【问题探究，变式训练】

题型一、双曲线与抛物线的性质

例1、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知双曲线C：的左、右焦点分别为F1，F2，过F1的直线与C的两条渐近线分别交于A，B两点．若，，则C的离心率为____________．

【答案】2

【解析】如图，

由得又得OA是三角形的中位线，即

由，得∴，，

又OA与OB都是渐近线，∴

又，∴

又渐近线OB的斜率为，∴该双曲线的离心率为．

变式1、（2020届山东省德州市高三上期末）双曲线（，）的右焦点为，点的坐标为，点为双曲线左支上的动点，且周长的最小值为8，则双曲线的离心率为（    ）

A． B． C．2 D．

【答案】D

【解析】如下图所示：

设该双曲线的左焦点为点，由双曲线的定义可得，

所以，的周长为，

当且仅当、、三点共线时，的周长取得最小值，即，解得.

因此，该双曲线的离心率为.

故选：D.

变式2、（2020届山东省德州市高三上期末）（多选题）已知抛物线的焦点为，直线的斜率为且经过点，直线与抛物线交于点、两点（点在第一象限），与抛物线的准线交于点，若，则以下结论正确的是（    ）

A． B． C． D．

【答案】ABC

【解析】如下图所示：

分别过点、作抛物线的准线的垂线，垂足分别为点、.

抛物线的准线交轴于点，则，由于直线的斜率为，其倾斜角为，

轴，，由抛物线的定义可知，，则为等边三角形，

，则，，得，

A选项正确；

，又，为的中点，则，B选项正确；

，，（抛物线定义），C选项正确；

，，D选项错误.

故选：ABC.

变式3、（2020届山东省滨州市高三上期末）（多选题）已知双曲线C：的左、右焦点分别为，，则能使双曲线C的方程为的是(     )

A．离心率为 B．双曲线过点

C．渐近线方程为 D．实轴长为4

【答案】ABC

【解析】由题意，可得：焦点在轴上，且；

A选项，若离心率为，则，所以，此时双曲线的方程为：，故A正确；

B选项，若双曲线过点，则，解得：；此时双曲线的方程为：，故B正确；

C选项，若双曲线的渐近线方程为，可设双曲线的方程为：，

所以，解得：，所以此时双曲线的方程为：，故C正确；

D选项，若实轴长为4，则，所以，此时双曲线的方程为：，故D错误；

故选：ABC.

题型二、直线与双曲线及抛物线的关系

例2、【2020年新高考全国Ⅰ卷】斜率为的直线过抛物线C：y2=4x的焦点，且与C交于A，B两点，则=________．

【答案】

【解析】∵抛物线的方程为，∴抛物线的焦点F坐标为，

又∵直线AB过焦点F且斜率为，∴直线AB的方程为：

代入抛物线方程消去y并化简得，

解法一：解得  

所以

解法二：

设，则,

过分别作准线的垂线，设垂足分别为如图所示.

故答案为：

变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）已知抛物线的焦点为F，准线为l，P为该抛物线上一点，，A为垂足.若直线AF的斜率为，则的面积为(     )

A． B． C．8 D．

【答案】B

【解析】由题意，抛物线的焦点为，

设抛物线的准线与轴交点为，则，

又直线AF的斜率为，所以，因此，；

由抛物线的定义可得：，所以是边长为的等边三角形，

所以的面积为.

故选：B.

变式2、【2018年高考全国Ⅲ理数】已知点和抛物线，过的焦点且斜率为的直线与交于，两点．若，则________．

【答案】2

【解析】设，则，所以，所以.

取AB中点,分别过点A,B作抛物线准线的垂线，垂足分别为，设F为的焦点.

因为,所以.

因为为AB中点，所以平行于x轴.

因为M(−1,1)，所以，则，即.

故答案为2.

变式3、【2019年高考全国Ⅰ卷理数】已知抛物线C：y2=3x的焦点为F，斜率为的直线l与C的交点为A，B，与x轴的交点为P．

（1）若|AF|+|BF|=4，求l的方程；

（2）若，求|AB|．

【答案】（1）；（2）.

【解析】设直线．

（1）由题设得，故，由题设可得．

由，可得，则．

从而，得．

所以的方程为．

（2）由可得．

由，可得．

所以．从而，故．

代入的方程得．

故．

题型三、双曲线与抛物线的综合问题

例3、【2018年高考江苏卷】在平面直角坐标系中，A为直线上在第一象限内的点，，以AB为直径的圆C与直线l交于另一点D．若，则点A的横坐标为________．

【答案】3

【解析】设，则由圆心为中点得

易得，与联立解得点的横坐标所以.

所以，

由得或，

因为，所以

变式1、【2018年高考北京卷理数】已知椭圆，双曲线．若双曲线的两条渐近线与椭圆的四个交点及椭圆的两个焦点恰为一个正六边形的顶点，则椭圆的离心率为________________；双曲线的离心率为________________．

【答案】 

【解析】由正六边形性质得椭圆上一点到两焦点距离之和为，再根据椭圆定义得，所以椭圆的离心率为．双曲线的渐近线方程为，由题意得双曲线的一条渐近线的倾斜角为，所以，所以，所以．

变式2、【2019年高考全国Ⅲ卷理数】已知曲线C：y=，D为直线y=上的动点，过D作C的两条切线，切点分别为A，B.

（1）证明：直线AB过定点：

（2）若以E(0，)为圆心的圆与直线AB相切，且切点为线段AB的中点，求四边形ADBE的面积.

【答案】（1）见详解；（2）3或.

【解析】（1）设，则.

由于，所以切线DA的斜率为，故 .

整理得

设，同理可得.

故直线AB的方程为.

所以直线AB过定点.

（2）由（1）得直线AB的方程为.

由，可得.

于是，

.

设分别为点D，E到直线AB的距离，则.

因此，四边形ADBE的面积.

设M为线段AB的中点，则.

由于，而，与向量平行，所以.解得t=0或.

当=0时，S=3；当时，.

因此，四边形ADBE的面积为3或.

变式3、【2019年高考北京卷理数】已知抛物线C：x2=−2py经过点（2，−1）．

（1）求抛物线C的方程及其准线方程；

（2）设O为原点，过抛物线C的焦点作斜率不为0的直线l交抛物线C于两点M，N，直线y=−1分别交直线OM，ON于点A和点B．求证：以AB为直径的圆经过y轴上的两个定点．

【答案】（1）抛物线的方程为，准线方程为；（2）见解析.

【解析】（1）由抛物线经过点，得.

所以抛物线的方程为，其准线方程为.

（2）抛物线的焦点为.

设直线的方程为.

由得.

设，则.

直线的方程为.

令，得点A的横坐标.

同理得点B的横坐标.

设点，则，

.

令，即，则或.

综上，以AB为直径的圆经过y轴上的定点和.