优化提升专题训练（新高考） 直线与圆（含答案解析）学案

  直线与圆

【知识框图】

【自主热身，归纳总结】

1、在平面直角坐标系中，记d为点P（cos θ，sin θ）到直线的距离，当θ，m变化时，d的最大值为

A．1             B．2

C．3             D．4

【答案】C

【解析】P为单位圆上一点，而直线过点A（2，0），所以d的最大值为OA+1=2+1=3,故选C.

2、【2020年高考全国Ⅱ卷理数】若过点（2，1）的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线的距离为

A．  B． 

C．  D．

【答案】B

【解析】由于圆上的点在第一象限，若圆心不在第一象限，

则圆与至少与一条坐标轴相交，不合乎题意，所以圆心必在第一象限，

设圆心的坐标为，则圆的半径为，

圆的标准方程为.

由题意可得，

可得，解得或，

所以圆心的坐标为或，

圆心到直线的距离均为；

圆心到直线的距离均为

圆心到直线的距离均为；

所以，圆心到直线的距离为.

故选：B．

3、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）已知直线与直线相交于点A，点B是圆上的动点，则的最大值为（    ）

A． B． C． D．

【答案】C

【解析】由，消去参数得，

所以在以为圆心，为半径的圆上，

又点B是圆上的动点，此圆圆心为，半径为，

，

∴的最大值为．

故选：C.

4、（2020届浙江省杭州市建人高复高三4月模拟）已知实数满足则的最小值是（    ）

A． B． C． D．

【答案】A

【解析】，

，即圆心，半径，

，

可看到圆上的点到直线距离，

圆上的点到直线距离的最小值为

圆心到直线距离减去半径即，

，

圆上的点到直线距离的最小值为，

的最小值为

故选：A

5、（多选题）（2020届山东省德州市高三上期末）已知点是直线上一定点，点、是圆上的动点，若的最大值为，则点的坐标可以是（    ）

A． B． C． D．

【答案】AC

【解析】如下图所示：

原点到直线的距离为，则直线与圆相切，

由图可知，当、均为圆的切线时，取得最大值，

连接、，由于的最大值为，且，，

则四边形为正方形，所以，

由两点间的距离公式得，

整理得，解得或，因此，点的坐标为或.

故选：AC.

6、（2020届山东省九校高三上学期联考）直线与圆相交于、两点，则__________.

【答案】

【解析】

圆的标准方程为，圆心到直线的距离，

所以弦长：.

故答案为：

7、【2019年高考浙江卷】已知圆的圆心坐标是，半径长是.若直线与圆C相切于点，则=___________，=___________．

【答案】，

【解析】由题意可知，把代入直线AC的方程得，此时.

8、【2020年高考天津】已知直线和圆相交于两点．若，则的值为_________．

【答案】5

【解析】因为圆心到直线的距离，

由可得，解得．

故答案为：．

9、（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系中，为直线上在第三象限内的点，，以线段为直径的圆（为圆心）与直线相交于另一个点，，则圆的标准方程为________.

【答案】

【解析】由题意，设点，因为，则的中点为，

以线段为直径的圆的方程为：；

由，解得：，即；

又，所以；

因为，

所以，

整理得：，解得或，因为，所以，

所以圆的方程为：，

整理得：.

故答案为：.

10、【2020届江苏南通市高三基地学校第一次大联考数学试题】在平面直角坐标系中，已知是圆的直径.若与圆外离的圆上存在点，连接与圆交于点，满足，则半径的取值范围是_________.

【答案】.

【解析】AM与圆O交于点N，，且圆心O是AB中点，

∴ON是△ABM的中位线，∴BM＝2ON＝4，
∴点M在以B为圆心，4为半径的圆周上，

∴；
又∵B是圆O上任意一点，
∴点M可以认为是以O为圆心6为半径的圆上一点，这个圆记为，
又∵点M是在与圆O外离的圆上的点，
∴，

∴.
∴存在符合题意的点M时，的取值范围是，
故答案为：.

【问题探究，变式训练】

题型一、直线与圆的位置关系

例1、【2020年高考浙江】已知直线与圆和圆均相切，则_______，b=_______．

【答案】；

【解析】由题意，到直线的距离等于半径，即，，

所以，所以（舍）或者，

解得.

故答案为：

变式1、【江苏省南通市如皋市2019-2020学年高三下学期期初考】已知圆，过点的直线与圆在轴上方交于，两点，且，则直线的斜率为__________．

【答案】

【解析】设直线的倾斜角为，则直线的参数方程为，

代入，得，

设，对应的参数分别为，，则，，

由，得，，，

，

整理得：，

由题可知，，则，得，

联立，解得，则，

即直线的斜率为，

故答案为：．

变式2、【2020届江苏省七市第二次调研考试】在平面直角坐标系中，点P在直线上，过点P作圆C：的一条切线，切点为T.若，则的长是______.

【答案】

【解析】如图，设，圆心坐标为，可得，

，，

，，解得，，

即的长是.

故答案为：

变式3、【2020届江苏省启东市高三下学期期初考】在平面直角坐标系xOy中，已知A，B两点在圆x2＋y2=1上，若直线上存在点C，使△ABC是边长为的等边三角形，则点C的横坐标是______.

【答案】

【解析】设点，连接,

由△ABC是边长为的等边三角形，故四边形为菱形，，

在中：,

可得：，,

可得，解得：，

故答案为：.

题型二、圆中的最值问题

例2、【2020年高考江苏】在平面直角坐标系xOy中，已知，A，B是圆C：上的两个动点，满足，则△PAB面积的最大值是   ▲    ．

【答案】

【解析】

设圆心到直线距离为，则

所以

令（负值舍去）

当时，；当时，，因此当时，取最大值，即取最大值为，

故答案为：

变式1、【2018年高考全国Ⅲ卷理数】直线分别与轴，轴交于，两点，点在圆上，则面积的取值范围是

A．        B．

C．       D．

【答案】A

【解析】直线分别与轴，轴交于，两点，,则.

点P在圆上，圆心为（2，0），则圆心到直线的距离.

故点P到直线的距离的范围为，则.

故答案为A.

变式2、【2020年高考全国Ⅰ卷理数】已知⊙M：，直线：，为上的动点，过点作⊙M的切线，切点为，当最小时，直线的方程为

A．  B． 

C．  D．

【答案】D

【解析】圆的方程可化为，点到直线的距离为，所以直线与圆相离．

依圆的知识可知，四点四点共圆，且，所以，而，

当直线时，，，此时最小．

∴即，由解得，．

所以以为直径的圆的方程为，即，

两圆的方程相减可得：，即为直线的方程．

故选：D．

变式3、【2020年高考北京】已知半径为1的圆经过点，则其圆心到原点的距离的最小值为

A． 4  B． 5 

C． 6  D． 7

【答案】A

【解析】设圆心，则，

化简得，

所以圆心的轨迹是以为圆心，1为半径的圆，

所以，所以，

当且仅当在线段上时取得等号，

故选：A．

变式4、【2020届江苏省南通市如皋市高三下学期二模】在平面直角坐标系中，已知在圆：上运动，且.若直线：上的任意一点都满足，则实数的取值范围是__________.

【答案】

【解析】由题得圆的圆心.且,,

（其中是的夹角），

，

因为，

所以,

所以，

所以，

所以.

所以.

故答案为：

题型三、隐圆问题

例3、在平面直角坐标系xOy中，直线l1：kx－y＋2＝0与直线l2：x＋ky－2＝0相交于点P，则当实数k变化时，点P到直线x－y－4＝0的距离的最大值为________．

【答案】3　

【解析】思路分析 因为直线l1，l2分别经过定点A(0,2)，B(2,0)，且l1⊥l2，所以点P在以AB为直径的圆C上．

解法1 当k＝0时，点P(2,2)到直线x－y－4＝0的距离为2；当k≠0时，解方程组得两直线交点P的坐标为，所以点P到直线x－y－4＝0的距离为＝，为求得最大值，考虑正数k，则有＝≤，所以≤＝3.

解法2 圆C的圆心为C(1,1)，半径r＝.因为圆心C到直线l：x－y－4＝0的距离为d＝＝2，所以点P到直线l的距离的最大值为d＋r＝3.

变式1、在平面直角坐标系中，已知圆，点，若圆上存在点，满足，则点的纵坐标的取值范围是  ▲  ．

【答案】

 思路分析：根据条件可得动点的轨迹是圆，进而可以将问题转化为圆与圆的位置关系进行处理.

解题过程：设，因为所以，化简得，则圆与圆有公共点，将两圆方程相减可得两圆公共弦所在直线方程为，代入可得，所以点的纵坐标的取值范围是．

变式2、(2019镇江期末） 已知圆O：x2＋y2＝1，圆M：(x－a)2＋(y－2)2＝2.若圆M上存在点P，过点P作圆O的两条切线，切点为A，B，使得PA⊥PB，则实数a的取值范围为________．

【答案】－2≤a≤2.

【解析】   考察点P的轨迹C，轨迹C与圆M有公共点．利用圆与圆的位置关系求解．

由PA⊥PB，PA⊥AO，PB⊥OB，PA＝PB，得四边形PAOB是正方形，所以P的轨迹是以原点O为圆心，为半径的圆．

又点P也在圆M上，所以OM≤＋，得a2＋22≤8，解得－2≤a≤2.

变式3、（2018年苏州一模） 在平面直角坐标系xOy中，已知点A(－4，0)，B(0，4)，从直线AB上一点P向圆x2＋y2＝4引两条切线PC，PD，切点分别为C，D.设线段CD的中点为M，则线段AM长的最大值为________．

【答案】 3

【解析】 P在直线AB：y＝x＋4上，设P(a，a＋4)，可以求出切点弦CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，易知CD过定点，所以M的轨迹为一个定圆，问题转化为求圆外一点到圆上一点的距离的最大值．

解法1(几何法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，设C(x1，y1)，D(x2，y2)，所以PC方程为x1x＋y1y＝4，PD：x2x＋y2y＝4，将P(a，a＋4)分别代入PC，PD方程，则直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，所以直线CD过定点N(－1，1)，

又因为OM⊥CD，所以点M在以ON为直径的圆上(除去原点)，又因为以ON为直径的圆的方程为＋＝，

所以AM的最大值为＋＝3.

解法2(参数法) 因为直线AB的方程为y＝x＋4，所以可设P(a，a＋4)，同解法1可知直线CD的方程为ax＋(a＋4)y＝4，即a(x＋y)＝4－4y，得a＝.又因为O，P，M三点共线，所以ay－(a＋4)x＝0，得a＝.因为a＝＝，所以点M的轨迹方程为＋＝(除去原点)，所以AM的最大值为＋＝3.