优化提升专题训练（新高考） 函数的性质及其应用（含答案解析）学案

这是一份优化提升专题训练（新高考） 函数的性质及其应用（含答案解析）学案，共13页。学案主要包含了知识框图，自主热身，归纳总结，问题探究，变式训练等内容，欢迎下载使用。
   函数的性质及其应用【知识框图】    【自主热身，归纳总结】 1、（2020届山东省枣庄、滕州市高三上期末）函数是上的奇函数，当时，，则当时，（  ）A． B．C． D．【答案】C【解析】时，.当时，，，由于函数是奇函数，，因此，当时，，故选C.2、（2020·山东省淄博实验中学高三上期末）已知定义在上的奇函数，满足时，，则的值为（    ）A．-15 B．-7 C．3 D．15【答案】A【解析】因为奇函数的定义域关于原点中心对称则,解得因为奇函数当时,则故选:A3、（2020·河南高三月考（理））已知是偶函数，在上单调递减，，则的解集是（  ）A． B．C． D．【答案】D【解析】因为是偶函数，所以关于直线对称；因此，由得；又在上单调递减，则在上单调递增；所以，当即时，由得，所以，解得；当即时，由得，所以，解得；因此，的解集是.4、（2020届山东省潍坊市高三上期中）函数的大致图象为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】函数的定义域为，，则函数是奇函数，图象关于原点对称，排除，，当且，，排除.故选：A.5、（2020届浙江省台州市温岭中学3月模拟）若函数是奇函数，则使的的取值范围为（    ）A． B．C． D．【答案】A【解析】根据题意，函数是奇函数，则，即，可得，则，有，解可得，即函数的定义域为，设，则，，则在上为增函数，而在上为增函数，则在上为增函数，若，即，解可得，则，即，解得，又由，则有，即的取值范围为；故选：A.6、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数，以下结论正确的是（    ）A．B． 在区间上是增函数C．若方程恰有3个实根，则D．若函数在上有6个零点，则的取值范围是【答案】BCD【解析】函数的图象如图所示：对A，，，所以，故A错误；对B，由图象可知 在区间上是增函数，故B正确；对C，由图象可知，直线与函数图象恰有3个交点，故C正确；对D，由图象可得，当函数在上有6个零点，则，所以当时，；当时，，所以的取值范围是，故D正确.故选：BCD. 【问题探究，变式训练】题型一、运用函数的性质研究参数范围知识点拨：此类问题往往与函数的单调性和奇偶性相结合，解此类问题通过代入将它转化为具体不等式来解，主要是运用函数的奇偶性、单调性、定义域等性质，通过去掉对应法则f，将它转化为关于变量x的具体不等式来解．例1、（2020届山东省潍坊市高三上期中）已知函数是定义在上的偶函数，且在上是减函数， 则不等式的解集为__________．【答案】【解析】是定义在上的偶函数，且在上是减函数，，，则不等式等价为不等式，即，即不等式的解集为，故答案为：.变式1、（2020届山东师范大学附中高三月考）已知函数是定义在上的奇函数，当时，有恒成立，若，则x的取值范围是________．【答案】【解析】根据已知条件：当时，有恒成立，得函数是定义在上的减函数，又因为函数是定义在上的奇函数，所以，故等价于，所以，即.故答案为：.变式2、(2019南京、盐城二模） 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则不等式f(x－1)>f(x)的解集为________．【答案】. (－2，3)　解法1　f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2－5x，则当x<0时，有－x>0，f(x)＝－f(－x)＝－[(－x)2－5(－x)]＝－x2－5x，即f(x)＝.①当x≥1时，由f(x－1)>f(x)得(x－1)2－5(x－1)>x2－5x，解得x<3，所以1≤x<3；②当0≤x<1时，由f(x－1)>f(x)得－(x－1)2－5(x－1)>x2－5x，解得－1<x<2，所以0≤x<1；③当x<0时，由f(x－1)>f(x)得－(x－1)2－5(x－1)>－x2－5x，解得x>－2，所以－2<x<0.综上，由①②③得不等式f(x－1)>f(x)的解集为(－2，3)．解法2　在同一坐标系中分别作出函数y＝f(x)与y＝f(x－1)的图像(将函数y＝f(x)的图像向右平移一个单位长度得到y＝f(x－1)的图像)，根据对称性可得，两个函数分别交于点(－2，6)，(3，－6)，从图像可得f(x－1)>f(x)的解集为(－2，3)．变式3、(2017苏北四市期末） 已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，当x＞0时，f(x)＝2x－3，则不等式f(x)≤－5 的解集为________．【答案】(－∞，－3]　【解析】当x＞0时，f(x)＝2x－3＞－2；因为函数f(x)是定义在R上的奇函数，所以f(0)＝0；当x＜0时，－x＞0，所以f(－x)＝2－x－3，f(x)＝－2－x＋3，此时不等式f(x)≤－5可化为－2－x＋3≤－5，解得x≤－3.综上所述，该不等式的解集为(－∞，－3]． 题型二  根据函数（或者构造函数）研究性质知识点拨：此类问题常见的有三种：1、给定函数的解析式  对于这类问题要根据函数的解析式研究函数的单调性和奇偶性；2、给定函数的解析式 但是给定的函数解析式不具有单调性和奇偶性，对于这类问题要构造新的函数，使之具有单调性个奇偶性；3、抽象函数的问题 这类问题没有具体的函数解析式，但是回给出函数的的性质。例2 (2018扬州期末） 已知函数f(x)＝sinx－x＋，则关于x的不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为________．【答案】 {x|2<x<3}　【解析】因为函数f(x)＝sinx－x＋的定义域为R，且f(－x)＝sin(－x)－(－x)＋＝－sinx＋x＋＝－＝－f(x)，所以由奇函数的定义可知f(x)为R上的奇函数．又f′(x)＝cosx－1－ln2.因为－1≤cosx≤1，ln2>0，则有f′(x)<0，所以f(x)为R上的减函数，因此不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0，即f(1－x2)<－f(5x－7)，亦即f(1－x2)<f(7－5x)，即1－x2>7－5x，解得2<x<3，故不等式f(1－x2)＋f(5x－7)<0的解集为{x|2<x<3}．变式1、(2016苏锡常镇调研） 已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(log3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．【答案】 (0,1)∪(3，＋∞)【解析】由函数f(x)的解析式易得，该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数．故f(1)＋f(log3)>0，即f(log3)>－f(1)＝f(－1)，即log3>－1＝loga.所以或解得0<a<1或a>3. 遇到解与函数值有关的不等式的问题首先考虑研究所给函数的单调性和奇偶性，将所给不等式转化为自变量不等式，不要忽视函数的定义域对自变量的限制．变式2、(2019镇江期末）已知函数f(x)＝－2x，则满足f(x2－5x)＋f(6)>0的实数x的取值范围是________．【答案】. (2，3)【解析】函数f(x)的定义域为R，且f(－x)＝－2－x＝－＋2x＝－f(x)，故f(x)在R上是奇函数．又与－2x在R上都是单调递减的，从而f(x)在R上单调递减，从而由题意可得f(x2－5x)>－f(6)＝f(－6)，故x2－5x<－6，解得2<x<3.变式3、(2019泰州期末）已知函数f(x)＝2x4＋4x2，若f(a＋3)>f(a－1)，则实数a的取值范围为________．【答案】(－1，＋∞) 【解析】函数f(x)＝2x4＋4x2为偶函数，因为f′(x)＝8x3＋8x＝8x(x2＋1)，所以当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，当x∈(－∞，0)时，函数f(x)为减函数，由f(a＋3)>f(a－1)，得f(|a＋3|)>f(|a－1|)，即(a＋3)2>(a－1)2，解得a>－1，所以实数a的取值范围为(－1，＋∞)． 本题考查了函数的奇偶性和单调性，易得当x∈[0，＋∞)时，函数f(x)为增函数，而偶函数的性质f(x)＝f(|x|)，可以实现把自变量转化到[0，＋∞)上，这一转化是解题的关键，同学们要熟练掌握偶函数这一性质，并能灵活地运用．变式4、(2019徐州州模拟） 已知函数f(x)＝x3＋2x，若f(1)＋f(log3)>0(a>0且a≠1)，则实数a的取值范围是________．答案： (0,1)∪(3，＋∞)　【解析】：由函数f(x)的解析式易得，该函数为奇函数且在定义域R上是单调增函数．故f(1)＋f(log3)>0，即f(log3)>－f(1)＝f(－1)，即log3>－1＝loga.所以或解得0<a<1或a>3. 遇到解与函数值有关的不等式的问题首先考虑研究所给函数的单调性和奇偶性，将所给不等式转化为自变量不等式，不要忽视函数的定义域对自变量的限制．变式5、（江苏省如皋市2019-2020学年高三上学期10月调研）设函数，则不等式的解集为_____________.【答案】【解析】因为,所以,所以函数为奇函数,因为(当且仅当时,等号成立)所以函数为上的递增函数,所以不等式可化为,所以根据函数为奇函数可化为,所以根据函数为增函数可化为,可化为,可化为,解得:,所以不等式的解集为:.故答案为.变式6、（2020届江苏省如皋中学、徐州一中、宿迁中学三校高三联合考试）已知函数，且，则满足条件的所有整数的和是______.【答案】10【解析】因为所以所以是偶函数若则或解得或2或4又因为所以当时也成立故满足条件的所有整数的和是故答案为：10题型三 函数周期性、奇偶性与单调性的综合应用知识点拨：综合考查函数的性质，单调性、周期性和奇偶性，对于这类问题要善于挖掘隐含的条件，如给出函数周期性可以运用周期性做出函数的图像，也可以得出某些数对应的函数值相等，或者运用周期性把不在给定的范围转化为给定的范围，进而求解。例3、（2020届山东省滨州市三校高三上学期联考）已知定义在上的函数满足，且图像关于对称，当时，，则________.【答案】-2【解析】因为图像关于对称，则，，故是以8为周期的周期函数，故答案为：.变式1、（2020届山东省滨州市高三上期末）在平面直角坐标系中，如图放置的边长为的正方形沿轴滚动（无滑动滚动），点恰好经过坐标原点，设顶点的轨迹方程是，则对函数的判断正确的是(     )A．函数是奇函数 B．对任意的，都有C．函数的值域为 D．函数在区间上单调递增【答案】BCD【解析】由题意，当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆； 当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当时，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆；当，顶点的轨迹是以点为圆心，以为半径的圆，与的形状相同，因此函数在恰好为一个周期的图像；所以函数的周期是；其图像如下：A选项，由图像及题意可得，该函数为偶函数，故A错；B选项，因为函数的周期为，所以，因此；故B正确；C选项，由图像可得，该函数的值域为；故C正确；D选项，因为该函数是以为周期的函数，因此函数在区间的图像与在区间图像形状相同，因此，单调递增；故D正确；故选：BCD.变式2、（2020届山东省德州市高三上期末）已知为定义在上的奇函数，当时，有，且当时，，下列命题正确的是（    ）A． B．函数在定义域上是周期为的函数C．直线与函数的图象有个交点 D．函数的值域为【答案】A【解析】函数是上的奇函数，，由题意可得，当时，，，A选项正确；当时，，则，，，则函数不是上周期为的函数，B选项错误；若为奇数时，，若为偶数，则，即当时，，当时，，若，且当时，，，当时，则，，当时，，则，所以，函数在上的值域为，由奇函数的性质可知，函数在上的值域为，由此可知，函数在上的值域为，D选项错误；如下图所示：由图象可知，当时，函数与函数的图象只有一个交点，当或时，，此时，函数与函数没有交点，则函数与函数有且只有一个交点，C选项错误.故选：A.变式3、（2020届山东省日照市高三上期末联考）已知定义在上的函数满足条件，且函数为奇函数，则（    ）A．函数是周期函数 B．函数的图象关于点对称C．函数为上的偶函数 D．函数为上的单调函数【答案】ABC【解析】因为，所以，即，故A正确；因为函数为奇函数，所以函数图像关于原点成中心对称，所以B正确；又函数为奇函数，所以，根据，令代有，所以，令代有，即函数为上的偶函数，C正确；因为函数为奇函数，所以，又函数为上的偶函数，，所以函数不单调，D不正确.故选：ABC.变式4、（2020届山东省九校高三上学期联考）已知表示不超过的最大整数，如，，.令，，则下列说法正确的是__________.①是偶函数        ②是周期函数③方程有4个根    ④的值域为【答案】②③【解析】， 显然，所以不是偶函数，所以①错误；，所以是周期为1的周期函数，所以②正确；作出函数的图象和的图象：根据已推导是周期为1的周期函数，只需作出在的图象即可，当时，根据周期性即可得到其余区间函数图象，如图所示：可得值域为，函数的图象和的图象一共4个交点，即方程有4个根，所以③正确，④错误；故答案为：②③