90度对角互补

这是一份90度对角互补，主要包含了课程目标，确认预判，模型卡片，知识回顾，典型例题，练习巩固，方法总结等内容，欢迎下载使用。
【课程目标】
灵活运用全等三角形的判定和性质的综合应用
能识别出90°对角互补模型的图形结构
掌握90°对角互补模型作辅助线的方法
能够根据模型结构总结模型对应结论
根据90°对角互补模型结论解决探究问题
【确认预判】
1.（2017·山东·期末试卷）如图，∠AOB=90°，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
2.如图所示，已知△ABC中，AB=AC，∠BAC=90∘，直角三角形EPF的顶点P是BC中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E，F，给出以下四个结论：
①AE=CF；
②△EPF是等腰直角三角形；
③S四边形AEPF=12S△ABC；
④EF=AP．
当∠EPF在△ABC内绕顶点P旋转时（点E不与A，B重合），上述结论中始终正确的有（ ）
【模型卡片】
模型：90°对角互补模型1
条件：∠AOB＝∠DCE =90° ，OC平分∠AOB
结论：
（1）CD=CE, (2)OD+OE=OC, (3)S△OCD=S△OCE=OC2
模型分析：
方法一：如图过点C作CM⊥OA交于点M，过点C作CN⊥OB交于点N，证明△CMD≌△CNE
方法二：过点C作CF⊥OC，证明△COD≌△CFE
模型：90°对角互补模型2
条件：∠AOB＝∠DCE =90°，OC平分∠AOB，OD交OA反向延长线于点D
结论：
（1）CD=CE, (2)OD+OE=OC, (3)S△OCD-S△OCE=OC2
模型分析：
如图做辅助线，过点C作CM⊥OA交于点M，过点C作CN⊥OB交于点N，证明△CMD≌△CNE
【知识回顾】相关的知识
全等三角形的判定方法
角平分线的性质
角平分线上的点到角的两边的距离相等。
互余的定义和性质
余角：一般地，如果两个角的和等于90°（直角），就说这两个角互为余角,即其中每一个角是另一个角的余角。（两个角互为余角简称为两个角互余）
等腰直角三角形和直角三角形的性质
直角三角形的性质：直角三角形的两个锐角互余。
相似三角形的判定方法
定理1：三边成比例的两个三角形相似.
几何语言：
如图所示，在△ABC和△DEF中，
∵∴△ABC∽△DEF
.
定理2：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
几何语言：
如图所示，在△ABC和△DEF中，
∵ ，且∠B=∠E，∴△ABC∽△DEF.
定理3：两角分别相等的两个三角形相似.
几何语言：
如图所示，在△ABC和△DEF中，
∵∠A＝∠D，且∠B＝∠E，∴△ABC∽△DEF.
【典型例题】
例1.（2020·辽宁·月考试卷） 如图，∠AOB=，P是 ∠AOB 的平分线上一点，以P为顶点作∠MPN=，分别交OA，OB于点M，N．求证：PM=PN.
证明：如图，过点P作PE⊥OA，PF⊥OB，垂足分别为E，F，
∴∠PEM=∠PFN=.
∵∠AOB=，
∴∠EPF=，
∵OP平分∠AOB，
∴PE=PF，
∵∠MPN=，
∴∠FPN+∠MPF=，
∵∠EPM+∠MPF=，
∴∠EPM=∠FPN，
∴△PEM≌△PFN(ASA)，
∴PM=PN.
在△ABC△ABC中，AB=AC，∠BAC=，直角∠EPF的顶点PP是BC的中点，两边PE、PF分别交AB、AC于点E、F．
求证：
（1）AE=CF；
（2）S四边形AEPF=S△ABC．
证明：（1）连接AP，
在△ABC中，AB=AC，∠BAC=，直角∠EPF的顶点P是CB的中点，
∴AP=PC=BP（直角三角形斜边上的中线是斜边长的一半）；
在直角三角形ABP中，∠B=∠BAP=；
在直角三角形APC中，∠PAC=∠C=；
∴∠EAP=∠C=；
∵∠FPE=∠APC=，
∴∠CPF=∠APE；
∴在△AEP与△CPF中，
∠EAP=∠C=，
AP=CP，
∠CPF=∠APE，
∴△AEP≌△CPF(ASA)，
∴AE=CF（全等三角形的对应边相等）；
∵△AEP≌△CPF，
∴S△AEP=S△CPF（全等三角形的面积相等）；
又∵S四边形AEPF=S△AEP+S△AFP，
∴S四边形AEPF=S△APC=S△ABC；
即S四边形AEPF=S△APC=S△ABC．
例3.在Rt△ABC中，AB=BC=5，∠B=，将一块等腰直角三角板的直角顶点放在斜边AC的中点O处，三角板的两直角边分别交AB、BC的延长线于E、F两点，如图1，
（1）求证：△EOB≌△FOC；
（2）将等腰直角三角板的直角顶点绕点O顺时针旋转，三角板的两直角边分别交AB、BC于E、F两点，如图2，△OFC是否能成为等腰直角三角形？若能，直接写出△OFC△OFC是等腰直角三角形时BF的长；若不能，请说明理由；
【答案】
解：（1）如图1，∵∠EOB+∠COE=∠COF+∠COE=，
∴∠EOB=∠COF．
在△EOB和△FOC中，
∴△EOB≌△FOC(ASA)
（2）如图2，△OFC能成为等腰直角三角形，包括：
当F是BC的中点时，CF=OF，BF=；
当B与F重合时，OF=OC，BF=0；
例4.已知△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC=6，D为AB边上的中点，∠EDF=90∘，且绕点D旋转，它的两边分别交AC、BC（或它们的延长线）于E、F，假设△DEF的面积x、△ECF的面积为y．
（1）当∠EDF绕点D旋转到（如图1）时，求y与x之间的函数关系？（不要求自变量的取值范围）
（2）当∠EDF绕点D旋转到（如图2）时，（1）中的结论是否还成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明你的猜想．
【答案】
解：（1）连接CD，如图2所示：
∵ AC=BC，∠ACB=90∘，D为AB中点，
∴ ∠B=45∘，∠DCE=12∠ACB=45∘，CD⊥AB，CD=12AB=BD，
∴ ∠DCE=∠B，∠CDB=90∘，
∵ ∠EDF=90∘，
∴ ∠1=∠2，
在△CDE和△BDF中，
∠1=∠2CD=BD∠DCE=∠B，
∴ △CDE≅△BDF(ASA)，
∴ S△DEF+S△CEF=S△ADE+S△BDF=12S△ABC；
∴ x+y=12×12×6×6=9，
∴ y=−x+9.
（2）不成立；S△DEF−S△ECF=12S△ABC；
理由如下：连接CD，如图3所示：
同（2）得：△DEC≅△DBF，∠DCE=∠DBF=135∘
∴ S△DEF=S五边形DBFEC，
=S△CFE+S△DBC，
=S△CFE+12S△ABC，
∴ S△DEF−S△CFE=12S△ABC．
∴ S△DEF、S△CEF、S△ABC的关系是：S△DEF−S△CEF=12S△ABC，
∴ y=x−9，
∴ 当∠EDF绕点D旋转到（如图2）时，（1）中的结论不成立．
【练习巩固】
1.（2017·山东·期末试卷）如图，∠AOB=，OM平分∠AOB，将直角三角板的顶点P在射线OM上移动，两直角边分别与OA、OB相交于点C、D，问PC与PD相等吗？试说明理由．
2.如图，在等腰Rt△ABC中，D是斜边BC的中点，以D为顶点的直角的两边分别与边AB，AC交于点E，F．当∠EDF绕顶点D旋转时（点E不与A，B重合），试判断DE与DF的数量关系，并证明．
3.如图，在△ABC中，∠BAC=，AB=AC=3，D为BC边的中点，∠MDN=，将∠MDN绕点D顺时针旋转，它的两边分别交AB、AC于点E、F．

(1)求证：△ADE≌△CDF；
(2)四边形AEDF的面积是________.
(3)连结EF．当点F在AC边上时总有BE________EF（填“>”或“