一线三垂直模型

这是一份一线三垂直模型，主要包含了我所熟悉的几何模型，我想学习的几何模型，熟悉的几何模型课设等内容，欢迎下载使用。

初一：平行线＋角平分线＝等腰三角形
拐点模型：子弹+猪手+靴子
初二：角平分线模型：两内+两外+一内一外
外角模型：沙漏+飞镖
全等模型：公共边+公共角+边重合+角重合+8字
+一线三垂直+半角+对角互补+手拉手
二、我想学习的几何模型：
初三：相似模型；锐角三角函数模型等。
三、熟悉的几何模型课设：
标题：全等模型—三垂直全等模型
【课程目标】
1.能识别出三种三垂直模型的图形结构；
2.能描述三垂直模型判定三角形全等的条件；
3.能够根据三垂直模型结构和全等三角形的性质总结模型对应结论；
4.能够根据三垂直模型分析出三等角模型等综合探究问题；
【确认预判】
如图，AB⊥BC，CD⊥BC，AE⊥DE，AE＝DE，求证：AB＋CD＝BC.
证明：∵AE⊥DE，AB⊥BC，DC⊥BC，
∴∠AED＝∠B＝∠C＝90°.
∴∠A＋∠AEB＝∠AEB＋∠CED＝90°.
∴∠BAE＝∠CED.
在△ABE和△ECD中，
∴△ABE≌△ECD.（AAS）
∴AB＝EC，BE＝CD.
∴AB＋CD＝EC＋BE＝BC.
【模型卡片】
模型：全等模型—三垂直全等模型
条件：∠B=∠C=∠AED=90°, AE＝ED
结论：△ABE≌△ECD
模型分析：说到三垂直模型，不得不说一下弦图，弦图的运用在初中直角三角形中占有举足轻重的地位，很多利用垂直求角，勾股定理求边长，相似求边长都会用到从弦图支离出来的一部分几何图形去求解图①和图②就是我们经常会见到的两种弦图.
三垂直图形变形如下图③、图④，这也是由弦图演变而来的.
【知识回顾】相关的知识 常见的倒角：同角的余角相等；
赵爽弦图：勾股定理
【典型例题】
例1 如图：∠D＝∠BCA＝∠E＝90°，BC＝AC.
结论：Rt△BCD≌Rt△CAE.
证明：∵BE⊥CE，AD⊥ED，
∴∠E＝∠D＝90∘，
∵∠ACB＝90∘，
∴∠BCE+∠ACD＝90∘，
∵∠B+∠BCE＝90∘，
∴∠B＝∠ACD，
在△BEC和△CDA中，
⎧ ∠E=∠D
⎨ ∠B=∠ACD
⎩ BC=AC ，
∴△BCE≅△CAD(AAS)，
∴AD＝CE．
例2 如图，∠ACB＝90°，AC＝BC，BE⊥CE，AD⊥CE于D，AD＝2.5cm，BE＝0.8cm，则DE的长为多少？
解答：∵BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠E＝∠ADC＝90°.
∴∠EBC＋∠BCE＝90°.
∵∠BCE＋∠ACD＝90°，
∴∠EBC＝∠DCA.
在△CEB和△ADC中，

∴△CEB≌△ADC.
∴BE＝DC＝0.8cm，CE＝AD＝2.5cm.
∴DE＝CE－CD＝2.5－0.8＝1.7cm.
例3 如图，在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于点D，BE⊥MN于点E.
(1)当直线MN经过点C，如图①的位置时，①试说明△ADC≅△CEB；②DE=AD+BE；
(2)当直线MN经过点C，如图②的位置时，请写出DE，AD，BE之间的数量关系．
解：(1)如图1，①∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠DAC+∠ACD=90∘，
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠ECB=90∘，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
⎧∠ADC=∠CEB
⎨∠DAC=∠ECB
⎩AC=BC，
∴△ADC≅△CEB(AAS)；
②∵△ADC≅△CEB，
∴AD=CE，DC=EB，
∵DE=DC+CE，
∴DE=AD+BE；
(2)如图2，DE=AD−BE，理由是：
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCD=90∘，
∵AD⊥MN，
∴∠ADC=90∘，
∴∠ACD+∠CAD=90∘，
∴∠BCD=∠CAD，
在△ACD和△CBE中，
∵⎧∠BCD=∠CAD
⎨∠ADC=∠CEB
⎩ AC=BC
∴△ACD≅△CBE(AAS)，
∴AD=CE，CD=BE，
∵DE=CE−CD，
∴DE=AD−BE．
例4 (1)如图(1)，已知：在△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，直线m经过点A，BD⊥直线m，CE⊥直线m，垂足分别为点D，E．证明：DE=BD+CE；
(2)如图(2)，将(1)中的条件改为：在△ABC中，AB=AC，D，A，E三点都在直线m上，并且有∠BDA=∠AEC=∠BAC=α，其中α为任意锐角或钝角．请问结论DE=BD+CE是否成立？如成立，请你给出证明；若不成立，请说明理由．
(3)拓展与应用：如图(3)，D，E是D，A，E三点所在直线m上的两动点（D，A，E三点互不重合），点F为∠BAC平分线上的一点，且△ABF和△ACF均为等边三角形，连接BD，CE，若∠BDA=∠AEC=∠BAC，试判断△DEF的形状．
证明：(1)∵BD⊥直线m，CE⊥直线m，
∴∠BDA=∠CEA=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠BAD+∠CAE=90∘，
∵∠BAD+∠ABD=90∘，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
⎧∠ABD=∠CAE
⎨∠BDA=∠AEC
⎩ AB=AC
∴△ADB≅△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(2)成立．
∵∠BDA=∠BAC=α，
∴∠DBA+∠BAD=∠BAD+∠CAE=180∘−α，
∴∠CAE=∠ABD，
∵在△ADB和△CEA中，
⎧∠ABD=∠CAE
⎨∠BDA=∠AEC
⎩ AB=AC
∴△ADB≅△CEA(AAS)，
∴AE=BD，AD=CE，
∴DE=AE+AD=BD+CE；
(3)△DEF是等边三角形．
由(2)知，△ADB≅△CEA，
BD=AE，∠DBA=∠CAE，
∵△ABF和△ACF均为等边三角形，
∴∠ABF=∠CAF=60∘，
∴∠DBA+∠ABF=∠CAE+∠CAF，
∴∠DBF=∠FAE，
∵BF=AF，
在△DBF和△EAF中，
⎧ FB=FA
⎨∠FBD=∠FAE
⎩ BD=AE
∴△DBF≅△EAF(SAS)，
∴DF=EF，∠BFD=∠AFE，
∴∠DFE=∠DFA+∠AFE=∠DFA+∠BFD=60∘，
∴△DEF为等边三角形．
【练习巩固】
在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．求证： △ADC≅△CEB ．
证明：∵∠DAC+∠DCA=∠ECB+∠DCA=90∘，
∴∠DAC=∠ECB，
在△ADC和△CEB中，
⎧∠ADC=∠CEB
⎨∠DAC=∠ECB
⎩ AC=CB
∴△ADC≅△CEB(AAS)．
王强同学用10块高度都是2cm的相同长方体小木块，垒了两堵与地面垂直的木墙，木墙之间刚好可以放进一个等腰直角三角板(AC=BC,∠ACB=90∘)，点C在DE上，点A和B分别与木墙的顶端重合，求两堵木墙之间的距离．
解：由题意得：AC=BC，∠ACB=90∘，AD⊥DE，BE⊥DE，
∴∠ADC=∠CEB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，∠ACD+∠DAC=90∘，
∴∠BCE=∠DAC，
在△ADC和△CEB中，
⎧∠ADC=∠CEB
⎨∠DAC=∠BCE
⎩AC=BC，
∴△ADC≅△CEB(AAS)；
由题意得：AD=EC=6cm，DC=BE=14cm，
∴DE=DC+CE=20(cm)，
如图，分别过点C，B作△ABC的BC边上的中线AD及其延长线的垂线，垂足分别为E，F．求证：BF=CE．
证明：∵BF⊥AF，CE⊥AF，
∴BF//CE，
∴∠FBD=∠ECD．
∵BD=CD，∠BDF=∠CDE，
∴△BDF≅△CDE．
∴BF=CE．
已知：在△ABC中，∠ACB=90∘，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E．求证：
(1)△ADC≅△CEB；
(2)DE=AD−BE．
证明：(1)∵∠ACB=90∘，BE⊥CE，AD⊥CE，
∴∠BEC=∠ACB=∠ADC=90∘，
∴∠ACE+∠BCE=90∘，∠BCE+∠CBE=90∘，
∴∠ACD=∠CBE，
在△ADC和△CEB中
⎧∠ADC=∠BEC
⎨∠ACD=∠CBE
⎩AC=BC，
∴△ADC≅△CEB(AAS)．
(2)∵△ADC≅△CEB，
∴AD=CE，BE=CD，
∴CE−CD=AD−BE，
∵DE=CE−CD，
∴DE=AD−BE．
5. 在△ABC中，∠BCA=90◦，AC=BC，直线MN经过点C，且AD⊥MN于D，BE⊥MN于E.
(1)如图1时，试说明：
①△ADC≅△CEB;②DE=AD+BE；
(2)如图2时，试说明：DE=AD−BE.
解：(1)①∵AD⊥MN,BE⊥MN，
∴∠ADE=∠CEB=90◦.
∵∠ACB=90◦,
∴∠ACD+∠BCE=90◦，
∴∠ACD=∠CBE.
∵AC=BC，
∴△ADB≅△CEB.
②∵△ADB≅△CEB,
∴CD=BE,AD=CE,
∴DE=CE+CD=AD+BE.
解：(2)∵AD⊥MN，BE⊥MN，
∴∠ADE=∠CEB=90∘.
∵∠ACB=90∘，
∴∠ACD+∠BCE=90∘，
∵∠CBE+∠BCE=90∘，
∴∠ACD=∠CBE.
∵AC=BC，
∴△ADC≅△CEB.
∴CD=BE，AD=CE.
∴DE=CE−CD=AD−BE.
6.如图1所示，已知△ABC中，∠BAC=90∘，AB=AC，AE是过点A的一条直线，且B点和C点在AE的异侧，BD⊥AE于D点，CE⊥AE于E点．

(1)求证：BD=DE+CE；
(2)若直线AE绕点A旋转到图2所示的位置时(BD(3)若直线AE绕点A旋转到图3所示的位置时(BD>CE)其余条件不变，问BD 与DE，CE的关系如何？直接写出结果，不需要证明．
解：(1)证明：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠ADB=∠AEC=90∘．
∵∠BAC=90∘，∠ADB=90∘，
∵∠ABD+∠BAD=∠CAE+∠BAD=90∘，
∴∠ABD=∠CAE ，
在△ABD 和△CAE中，
∠ABD=∠CAE
∠ADB=∠CEA
AB=AC，
∴△ABD≅△CAE(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
∵AE=AD+DE，
∴BD=DE+CE；
(2)解：BD=DE−CE.
证明如下：
∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠DAB+∠DBA=90∘,
∵∠BAC=90∘，
∴∠DAB+∠CAE=90∘，
∴∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E
∠DBA=∠CAE
AB=AC,
△DBA≅△EAC(AAS),
∴BD=AE，AD=CE,
BD=AE=DE−AD=DE−CE;
(3)解：∵BD⊥AE于D，CE⊥AE于E，
∴∠DAB+∠DBA=90∘，
∵∠BAC=90∘，
∴∠DAB+∠CAE=90∘，
∴∠DBA=∠CAE．
在△DBA和△EAC中，
∠D=∠E
∠DBA=∠CAE
AB=AC，
△DBA≅△EAC(AAS)，
∴BD=AE，AD=CE，
又∵ED=AD+AE，
∴DE=BD+CE．
7.如图，在△ABC中，AB=AC=2，∠B=∠C=40∘，点D在线段BC上运动（D与B，C不重合），连接AD，作∠ADE=40∘，DE交线段AC于点E．
(1)当∠BDA=115∘时，∠EDC=________∘，∠DEC=________∘；点D从B向C的运动过程中，∠BDA逐渐变________（填“大”或“小”）；
(2)当DC等于多少时，△ABD≅△DCE，请说明理由；
(3)在点D的运动过程中，什么情况下DA=ED？求出此时∠BDA的度数.
解：(1)∵在△BAD中，
∠B=∠C=∠40∘，
∠BDA=115，
∴∠EDC=180∘−∠ADB−∠ADE
=180∘−115∘−40∘
=25∘，
∴∠DEC=180∘−∠EDC−∠C
=180∘−25∘−40∘
=115∘．
点D从B向C的运动过程中，由图可知，
∠BDA在逐渐变小.
故答案为：25；115；小.
(2)当DC=2时，△ABD≅△DCE．
理由：∵∠C=40∘，
∴∠DEC+∠EDC=140∘，
又∵∠ADE=40∘，
∴∠ADB+∠EDC=140∘，
∴∠ADB=∠DEC，
又∵AB=DC=2，
在△ABD和△DCE中，
⎧∠ADB=∠DEC
⎨∠B=∠C
⎩AB=DC.
∴△ABD≅△DCE(AAS)．
即当DC=2时，△ABD≅△DCE.
(3)当△ABD≅△DCE时，DA=ED,
∵DA=ED，
∴∠DAE=∠DEA.
又∵∠ADE=40∘，
∴∠DAE=∠DEA=70∘.
∵∠DEA+∠DEC=180∘,
∴∠DEC=180∘−∠DEA=180∘−70∘=110∘,
∵△ABD≅△DCE，
∴∠BDA=∠DEC=110∘.
8. 如图(1)，AB=4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC=BD=3cm．点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段BD上由点B向点D运动．它们运动的时间为t(s)．
(1)PA=________cm，PB=________cm；（用t的代数式表示）
(2)若点Q的运动速度与点P的运动速度相等，当t=1时，△ACP与△BPQ是否全等，并判断此时线段PC和线段PQ的位置关系，请分别说明理由；
(3)如图(2)，将图(1)中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改为“∠CAB=∠DBA=60∘”，其他条件不变．设点Q的运动速度为xcm/s，是否存在有理数x，使得△ACP与△BPQ全等？若存在，求出相应的x、t的值；若不存在，请说明理由.
解：(1)点P在线段AB上以1cm/s的速度由点A向点B运动，运动时间ts时，此时PA=t(cm)，PB=4−t(cm)，其中0≤t≤4.
故答案为：t；4−t.
(2)△ACP与△BPQ全等，线段PC与线段PQ垂直.
理由如下：
当t=1时，AP=BQ=1，BP=AC=3，
又∠A=∠B=90∘，
在△ACP和△BPQ中，
⎧ AP=BQ
⎨∠A=∠B
⎩AC=BP，
∴△ACP≅△BPQ(SAS)．
∴∠ACP=∠BPQ，
∴∠APC+∠BPQ=∠APC+∠ACP=90∘．
∴∠CPQ=90∘，即线段PC与线段PQ垂直．
(3)①若△ACP≅△BPQ，
则AC=BP，AP=BQ，
则{3=4−t t=xt，
解得{t=1 x=1；
②若△ACP≅△BQP，
则AC=BQ，AP=BP，
则{3=xt t=4−t，
解得：{t=2 x= 32
综上所述，存在{t=1 x=1或{t=2 x= 32，使得△ACP与△BPQ全等．
【方法总结】
直接运用模型时：由某一角度为直角，得到构成该角的两锐角互余或平角中剩余两锐角互余，又根据两直线垂直，得到某三角形为直角三角形，故两锐角也互余，根据同角的余角相等即可得证。
灵活运用模型时：遇到题目当中给到以一条直线上三个点为顶点的三个角都相等，且其中一角的两边构成等腰三角形时，可通过上述倒角方法，证明两三角形全等，运用全等三角形的性质，得到对应角度相等，或者对应边长相等，进一步实现转化，得出结论。