高中数学第十章 概率本章综合与测试优秀课时作业

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10．1 随机事件与概率10．1.1 有限样本空间与随机事件 新课程标准新学法解读1.结合具体实例，理解样本点和有限样本空间的含义．2.理解随机事件与样本点的关系.引导学生认真阅读教材，并结合日常生活中的实例，认识随机试验、样本点、样本空间和有限样本空间的含义，并理清必然事件、不可能事件及随机事件与样本点的关系. 1．下列事件：①长度为3,4,5的三条线段可以构成一个直角三角形；②经过有信号灯的路口，遇上红灯；③下周六是晴天．其中，是随机事件的是(　　 )A．①②　　　　　　　　 B．②③C．①③  D．②解析：选B　①为必然事件；②③为随机事件．2．为了丰富高一学生们的课外生活，某校要组建数学、计算机、航空模型3个兴趣小组，小明要选报其中的2个，则样本点有(　　)A．1个  B．2个C．3个  D．4个解析：选C　样本点有(数学，计算机)，(数学，航空模型)，(计算机，航空模型)．共3个．3．下列事件中，必然事件是(　　)A．10人中至少有2人生日在同一个月B．11人中至少有2人生日在同一个月C．12人中至少有2人生日在同一个月D．13人中至少有2人生日在同一个月解析：选D　一年有12个月，因此无论10、11、12个人都有不在同一月生日的可能，只有13个人肯定至少有2人在同一月生日．本题属“三种事件”的概念理解与应用，解决这类题型要很好地吃透必然事件的概念，明确它必定要发生的特征，不可因偶尔巧合就下结论，故选D.4．“李晓同学一次掷出3枚骰子，3枚全是6点”的事件是(　　)A．不可能事件  B．必然事件C．可能性较大的随机事件  D．可能性较小的随机事件解析：选D　掷出的3枚骰子全是6点，可能发生，但发生的可能性较小．5．从a，b，c，d中任取两个字母，则该试验的样本空间为Ω＝________.解析：含a的有ab，ac，ad；不含a，含b的有bc，bd；不含a，b，含c的有cd.∴Ω＝{ab，ac，ad，bc，bd，cd}．答案：{ab，ac，ad，bc，bd，cd}1．随机试验的三个特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．关于样本点和样本空间(1)样本点是指随机试验的每个可能的基本结果，全体样本点的集合称为试验的样本空间；(2)只讨论样本空间为有限集的情况，即有限样本空间．3．事件与基本事件(1)随机事件是样本空间的子集. 随机事件是由若干个基本事件构成的，当然，基本事件也是随机事件．(2)必然事件与不可能事件不具有随机性，是随机事件的两个极端情形．事件类型的判断 [例1]　指出下列事件是必然事件、不可能事件还是随机事件：(1)某人购买福利彩票一注，中奖500万元；(2)三角形的两边之和大于第三边；(3)没有空气和水，人类可以生存下去；(4)从分别标有1,2,3,4的四张标签中任取一张，抽到1号标签；(5)科学技术达到一定水平后，不需任何能量的“永动机”将会出现．[解]　(1)购买一注彩票，可能中奖，也可能不中奖，所以是随机事件．(2)所有三角形的两边之和都大于第三边，所以是必然事件．(3)空气和水是人类生存的必要条件，没有空气和水，人类无法生存，所以是不可能事件．(4)任意抽取，可能得到1,2,3,4号标签中的任一张，所以是随机事件．(5)由能量守恒定律可知，不需任何能量的“永动机”不会出现，所以是不可能事件．对事件类型判断的两个关键点(1)条件：在一定条件下事件发生与否是与条件相对而言的，没有条件，无法判断事件是否发生；(2)结果发生与否：若一定发生的，则为必然事件，一定不发生的则为不可能事件；若不确定发生与否，则称其为随机事件，随机事件有时结果较复杂，要准确理解结果包含的各种情况．　　　　 [变式训练]指出下列事件是必然事件、不可能事件，还是随机事件：(1)我国东南沿海某地明年将受到3次冷空气的侵袭；(2)抛掷硬币10次，至少有一次正面向上；(3)同一门炮向同一目标发射多枚炮弹，其中50%的炮弹击中目标；(4)没有水分，种子发芽．解：(1)我国东南沿海某地明年可能受到3次冷空气侵袭，也可能不是3次，是随机事件．(2)抛掷硬币10次，也可能全是反面向上，也可能有正面向上，是随机事件．(3)同一门炮向同一目标发射，命中率可能是50%，也可能不是50%，是随机事件．(4)没有水分，种子不可能发芽，是不可能事件．确定样本空间 [例2]　将一枚骰子先后抛掷两次，观察它们落地时朝上的面的点数，写出试验的样本空间．[解]　(树状图法)一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：试验的样本空间：Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6), (4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6), (6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．确定样本空间的方法(1)当样本点个数较少时，可直接列举出所有样本点．(2)当样本点个数较多且相对复杂时，可采用树状图法，即用树状的图形把样本点列举出来(如本例)．树状图法便于分析事件间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段. 　　　　 [变式训练]袋中装有红、白、黄、黑除颜色外其他方面都相同的四个小球，从中任取一球的样本空间Ω1＝______，从中任取两球的样本空间Ω2＝__________. 解析：从中任取一球有4种可能，分别为红、白、黄、黑，构成的样本空间Ω1＝{红，白，黄，黑}．从中任取两球有6种可能，分别为(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)，构成的样本空间Ω2＝{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)}．答案：{红，白，黄，黑}　{(红，白)，(红，黄)，(红，黑)，(白，黄)，(白，黑)，(黄，黑)} 事件与事件的表示 [例3]　同时转动如图所示的两个转盘，记转盘甲得到的数为x，转盘乙得到的数为y，结果为(x，y)．(1)写出这个试验的样本空间；(2)求这个试验包含的样本点的总数；(3)用集合表示下列事件：①M＝“x＋y＝5”；②N＝“x<3，且y>1”；③T＝“xy＝4”．[解]　(1)Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．(2)样本点总数为16.(3)①“x＋y＝5”包含以下4个样本点：(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)．所以M＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}②“x<3，且y>1”包含以下6个样本点：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)．所以N＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)}③“xy＝4”包含以下3个样本点：(1,4)，(2,2)，(4,1)．所以T＝{(1,4)，(2,2)，(4,1)}1．判随机事件的结果是相对于条件而言的，要确定样本空间，(1)必须明确事件发生的条件；(2)根据题意，按一定的次序列出所有样本点. 特别要注意结果出现的机会是均等的，按规律去写，要做到既不重复也不遗漏．2．试验中当试验的结果不唯一时，一定要将各种可能都要考虑到，尤其是有顺序和无顺序的情况最易出错．　　　　 [变式训练]1．[变设问]若本例条件不变，问题改为用集合表示事件：P＝“x＋y是偶数”．解：“x＋y是偶数”包括两种情况，①x，y都是奇数；②x，y都是偶数，故“x＋y是偶数”这一事件包含以下8个样本点：(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)．所以P＝{(1,1)，(1,3)，(3,1)，(3,3)，(2,2)，(2,4)，(4,2)，(4,4)}．2．[变设问]在本例的条件下，“xy是偶数”这一事件是必然事件吗？解：当x，y均是奇数时，xy是奇数；当x，y中至少有一个是偶数时，xy是偶数，故“xy是偶数”这一事件是随机事件，而不是必然事件．A级——学考合格性考试达标练1．下列事件中，随机事件的个数为(　　)①方程ax＋b＝0有一个实数根；②2020年5月1日，来中国旅游的人数为1万；③在常温下，锡块熔化；④若a>b，那么ac>bc.A．1　　　　　　　　　 B．2C．3  D．4解析：选C　①②④是随机事件，③是不可能事件．故选C.2．一个家庭有两个小孩儿，则样本空间为(　　)A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}B．{(男，女)，(女，男)}C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}D．{(男，男)，(女，女)}解析：选C　随机试验的所有结果要保证等可能性．两小孩儿有大小之分，所以(男，女)与(女，男)是不同的样本点．故选C.3．用3种不同颜色给甲、乙两个小球随机涂色，每个小球只涂一种颜色，记事件A表示“甲、乙两个小球所涂颜色不同”，则事件A的样本点的个数为(　　)A．3  B．4C．5  D．6解析：选D　设3种不同颜色分别用A，B，C表示，该事件的样本空间Ω＝{(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)，(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)}，其中事件A＝{(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，C)，(C，A)，(C，B)}共6个样本点．故选D.4．在25件同类产品中，有2件次品，从中任取3件产品，其中不可能事件为(　　)A．3件都是正品  B．至少有1件次品C．3件都是次品  D．至少有1件正品解析：选C　25件产品中只有2件次品，所以不可能取出3件都是次品．故选C.5．已知集合A是集合B的真子集，下列关于非空集合A，B的四个命题：①若任取x∈A，则x∈B是必然事件；②若任取x∉A，则x∈B是不可能事件；③若任取x∈B，则x∈A是随机事件；④若任取x∉B，则x∉A是必然事件．其中正确的命题有(　　)A．1个  B．2个C．3个  D．4个解析：选C　∵集合A是集合B的真子集，∴A中的任意一个元素都是B中的元素，而B中至少有一个元素不在A中，因此①正确，②错误，③正确，④正确．故选C.6．从1,2,3，…，10中任意选一个数，这个试验的样本空间为________，“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为________．解析：任选一个数，共有10种不同选法，故样本空间为Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}，其中偶数共有5种，故“它是偶数”这一事件包含的样本点个数为5.答案：Ω＝{1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}　57．在投掷两枚骰子的试验中，点数之和为8的事件含有的样本点有________个．解析：样本点为(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)，共5个．答案：58．质点O从直角坐标平面上的原点开始，等可能地向上、下、左、右四个方向移动，每次移动一个单位长度，观察该点平移4次后的坐标，则事件“平移后的点位于第一象限”是________事件．解析：质点平移4次后，该点可能在第一象限，也可能不在第一象限，故是随机事件．答案：随机9．从1,2,3,4中任取三个数字组成三位数，写出该试验的样本空间．解：画出树状图，如图：由图可知样本空间Ω＝{123,124,132,134,142,143,213,214,231,234,241,243,312,314,321,324,341,342,412,413,421,423,431,432}．10．甲、乙两人做出拳游戏(锤、剪、布)．(1)写出样本空间；(2)写出事件“甲赢”；(3)写出事件“平局”．解：(1)Ω＝{(锤，剪)，(锤，布)，(锤，锤)，(剪，锤)，(剪，剪)，(剪，布)，(布，锤)，(布，剪)，(布，布)}．(2)记“甲赢”为事件A，则A＝{(锤，剪)，(剪，布)，(布，锤)}．(3)记“平局”为事件B，则B＝{(锤，锤)，(剪，剪)，(布，布)}．B级——面向全国卷高考高分练1．[多选]下面事件是随机事件的是(　　)A．某项体育比赛出现平局B．抛掷一枚硬币，出现反面向上C．全球变暖会导致海平面上升D．一个三角形的三边长分别为1,2,3解析：选AB　体育比赛出现平局、抛掷一枚硬币出现反面向上均为随机事件；全球变暖会导致冰川溶化，海平面上升是必然事件，因为三角形两边之和大于第三边，而1＋2＝3，所以一个三角形的三边长分别为1,2,3是不可能事件．故选A、B.2．在1,2,3，…，10这10个数字中，任取3个数字，那么“这三个数字的和大于6”这一事件是(　　)A．必然事件  B．不可能事件C．随机事件  D．以上选项均不正确解析：选C　若取1,2,3，则和为6，否则和大于6，所以“这三个数字的和大于6”是随机事件．故选C.3．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，从集合A中任取不相同的两个数作为点P的坐标，则事件“点P落在x轴上”包含的样本点共有(　　)A．7个  B．8个C．9个  D．10个解析：选C　“点P落在x轴上”包含的样本点的特征是纵坐标为0，横坐标不为0，因A中有9个非零数．故选C.4．写出下列试验的样本空间：(1)甲、乙两队进行一场足球赛，观察甲队比赛结果(包括平局)________；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，观察其中次品数________．解析：(1)对于甲队来说，有胜、平、负三种结果；(2)从含有6件次品的50件产品中任取4件，其次品的个数可能为0,1,2,3,4，不能再有其他结果．答案：(1)Ω＝{胜，平，负}　(2)Ω＝{0,1,2,3,4}5．在200件产品中，有192件一级品，8件二级品，则下列事件：①在这200件产品中任意选出9件，全部是一级品；②在这200件产品中任意选出9件，全部是二级品；③在这200件产品中任意选出9件，不全是二级品；④在这200件产品中任意选出9件，其中不是一级品的件数小于10.其中________是必然事件；________是不可能事件；________是随机事件．(填序号)解析：200件产品中，8件是二级品，现从中任意选出9件，当然不可能全是二级品，不是一级品的件数最多为8，小于10.答案：③④　②　①6．将一枚质地均匀且四个面上分别标有1,2,3,4的正四面体先后抛掷两次，其底面落于桌面上，记第一次朝下面的数字为x，第二次朝下面的数字为y.用(x，y)表示一个样本点．则满足条件“为整数”这一事件包含样本点个数为________个．解析：先后抛掷两次正四面体，该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)}．共16个样本点．用A表示满足条件“为整数”的事件，则A＝{(1,1)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，(3,3)，(4,1)，(4,2)，(4,4)}，共8个样本点．答案：87．先后抛掷两枚质地均匀的硬币．(1)写出该实验的样本空间；(2)出现“一枚正面，一枚反面”的结果有多少种？解：抛掷两枚硬币，第一枚硬币可能的基本结果用x表示，第二枚硬币可能的基本结果用y表示，那么试验的样本点可用(x，y)表示．(1)该试验的样本空间Ω＝{(正面，正面)，(正面，反面)，(反面，正面)，(反面，反面)}．(2)设事件A＝“一枚正面，一枚反面”，则A＝{(正面，反面)，(反面，正面)}共2种结果． C级——拓展探索性题目应用练设有一列北上的火车，已知停靠的站由南至北分别为S1，S2，…，S10站．若甲在S3站买票，乙在S6站买票，设样本空间Ω表示火车所有可能停靠的站，令A表示甲可能到达的站的集合，B表示乙可能到达的站的集合．(1)写出该事件的样本空间Ω；(2)写出事件A，事件B包含的样本点的集合；(3)铁路局需为该列车准备多少种北上的车票？解：(1)Ω＝{S1，S2，S3，S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}．(2)A＝{S4，S5，S6，S7，S8，S9，S10}；B＝{S7，S8，S9，S10}．(3)铁路局需要准备从S1站发车的车票共计9种，从S2站发车的车票共计8种，……，从S9站发车的车票1种，合计共9＋8＋…＋2＋1＝45(种)．     10．1.2 事件的关系和运算 新课程标准新学法解读1.了解随机事件的并、交与互斥、对立的含义，能结合实例进行随机事件的并、交运算．2.通过实例，了解并、交事件概率的有关性质，掌握随机事件概率的运算法则.借助集合间的关系及运算理解事件的相等与包含、事件的和(并)、事件的积(交)以及事件的互斥与对立. 1．同时掷两枚硬币，向上面都是正面的事件为A，向上面至少有一枚是正面为事件B，则有(　　)A．A⊆B　　　　　　　 B．A⊇BC．A＝B  D．A<B解析：选A　由事件的包含关系知A⊆B.2．掷一枚质地均匀的骰子，设事件A＝{出现的点数不大于3}，B＝{出现的点数为偶数}，则事件A与事件B的关系是(　　)A．A⊆B  B．A∩B＝{出现的点数为2}C．事件A与B互斥  D．事件A与B是对立事件解析：选B　由题意事件A表示出现的点数是1或2或3；事件B表示出现的点数是2或4或6.故A∩B＝{出现的点数为2}．3．一个人打靶时连续射击两次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是(　　)A．至多有一次中靶  B．两次都中靶C．只有一次中靶  D．两次都不中靶解析：选D　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶两次”两种情况．由互斥事件的定义，可知“两次都不中靶”与之互斥．4．给出以下结论：①互斥事件一定对立；②对立事件一定互斥；③互斥事件不一定对立；④事件A与B的和事件一定大于事件A.其中正确命题的个数为(　　)A．0  B．1C．2  D．3解析：选C　对立必互斥，互斥不一定对立，∴②③对，①错；对于④A⊆A∪B，即A与B的和事件包含事件A，但两个事件不能比较大小，故④错．5．从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球观察颜色．设事件A为“所取两个球至少有一个白球”，事件B为“所取两个恰有一个红球”，则A∩B表示的事件为________．解析：因为从装有2个红球和2个白球的口袋内任取2个球，这一随机试验的样本空间Ω＝{(白、白)，(白、红)，(红、红)}，且A＝{(白、红)，(白、白)}，B＝{(白，红)}．所以A∩B＝{(白、红)}．故A∩B表示的事件为恰有一个红球．答案：恰有一个红球1．事件的关系 定义记法图示包含关系一般地，如果事件A发生时，事件B一定发生，则称“A包含于B”(或“B包含A”)A⊆B或B⊇A相等关系如果事件A发生时，事件B一定发生；而且事件B发生时，事件A也一定发生，则称“A与B相等”，记作A＝B.A＝B⇔A⊆B且B⊆A⇔A与B有相同的样本点A＝B互斥事件给定事件A，B，若事件A与B不能同时发生，则称A与B互斥AB＝∅或A∩B＝∅对立事件给定样本空间Ω与事件A，则由Ω中所有不属于A的样本点组成的事件称为A的对立事件 A∩＝∅且A∪＝Ω            2．事件的运算 定义记法图示事件A与事件B的并事件(和事件)事件A与事件B至少有一个发生，这样的一个事件中的样本点或者在事件A中，或者在事件B中A∪B(或A＋B)事件A与事件B的交事件(积事件)事件A与事件B同时发生，这样的一个事件中的样本点既在事件A中，也在事件B中A∩B(或AB)[说明]　1.互斥事件与对立事件的区别与联系(1)区别：两个事件A与B是互斥事件，包括如下三种情况：①若事件A发生，则事件B就不发生；②若事件B发生，则事件A就不发生；③事件A，B都不发生．而两个事件A，B是对立事件，仅有前两种情况，因此事件A与B是对立事件，则A∪B是必然事件，但若A与B是互斥事件，则不一定是必然事件，即事件A的对立事件只有一个，而事件A的互斥事件可以有多个．(2)联系：互斥事件和对立事件在一次试验中都不可能同时发生，而事件对立是互斥的特殊情况，即对立必互斥，但互斥不一定对立．2．从集合的角度理解互斥事件与对立事件(1)几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合的交集为空集．(2)事件A的对立事件所含的结果组成的集合，是全集中由事件A所含的结果组成的集合的补集．事件间关系的判断 [例1]　某小组有3名男生和2名女生，从中任选2名同学参加演讲比赛，判断下列每对事件是不是互斥事件，如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)“恰有1名男生”与“恰有2名男生”；(2)“至少有1名男生”与“全是男生”；(3)“至少有1名男生”与“全是女生”；(4)“至少有1名男生”与“至少有1名女生”．[解]　从3名男生和2名女生中任选2人有如下三种结果：2名男生，2名女生，1男1女．(1)“恰有1名男生”指1男1女，与“恰有2名男生”不能同时发生，它们是互斥事件；但是当选取的结果是2名女生时，该两事件都不发生，所以它们不是对立事件．(2)“至少1名男生”包括2名男生和1男1女两种结果，与事件“全是男生”可能同时发生，所以它们不是互斥事件．(3)“至少1名男生”与“全是女生”不可能同时发生，所以它们互斥，由于它们必有一个发生，所以它们是对立事件．(4)“至少有1名女生”包括1男1女与2名女生两种结果，当选出的是1男1女时，“至少有一名男生”与“至少一名女生”同时发生，所以它们不是互斥事件．判断事件间关系的方法(1)要考虑试验的前提条件，无论是包含、相等，还是互斥、对立其发生的条件都是一样的．(2)考虑事件间的结果是否有交事件，可考虑利用Venn图分析，对较难判断关系的，也可列出全部结果，再进行分析． [变式训练]从40张扑克牌(红桃、黑桃、方块、梅花点数从1～10各10张)中任抽取1张，判断下列给出的每对事件是否为互斥事件，是否为对立事件，并说明理由．(1)“抽出红桃”与“抽出黑桃”；(2)“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”；(3)“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”．解：(1)是互斥事件，不是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红桃”和“抽出黑桃”是不可能同时发生的，所以是互斥事件．同时，不能保证其中必有一个发生，这是由于还可能抽出“方块”或者“梅花”，因此二者不是对立事件．(2)既是互斥事件，又是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出红色牌”与“抽出黑色牌”两个事件不可能同时发生，且其中必有一个发生，因此它们既是互斥事件，又是对立事件．(3)不是互斥事件，当然不可能是对立事件．理由是：从40张扑克牌中任意抽取1张，“抽出牌的点数为5的倍数”与“抽出牌的点数大于9”这两个事件可能同时发生，如抽出牌的点数为10，因此，二者不是互斥事件，当然不可能是对立事件.事件的运算 [例2]　在掷骰子的试验中，可以定义许多事件．例如，事件C1＝{出现1点}，事件C2＝{出现2点}，事件C3＝{出现3点}，事件C4＝{出现4点}，事件C5＝{出现5点}，事件C6＝{出现6点}，事件D1＝{出现的点数不大于1}，事件D2＝{出现的点数大于3}，事件D3＝{出现的点数小于5}，事件E＝{出现的点数小于7}，事件F＝{出现的点数为偶数}，事件G＝{出现的点数为奇数}，请根据上述定义的事件，回答下列问题：(1)请举出符合包含关系、相等关系的事件；(2)利用和事件的定义，判断上述哪些事件是和事件．[解]　(1)因为事件C1，C2，C3，C4发生，则事件D3必发生，所以C1⊆D3，C2⊆D3，C3⊆D3，C4⊆D3.同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.且易知事件C1与事件D1相等，即C1＝D1.(2)因为事件D2＝{出现的点数大于3}＝{出现4点或出现5点或出现6点}，所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．同理可得，D3＝C1∪C2∪C3∪C4，E＝C1∪C2∪C3∪C4∪C5∪C6，F＝C2∪C4∪C6，G＝C1∪C3∪C5.事件运算应注意的2个问题(1)进行事件的运算时，一是要紧扣运算的定义，二是要全面考查同一条件下的试验可能出现的全部结果，必要时可利用Venn图或列出全部的试验结果进行分析．(2)在一些比较简单的题目中，需要判断事件之间的关系时，可以根据常识来判断．但如果遇到比较复杂的题目，就得严格按照事件之间关系的定义来推理．　　　　 [变式训练]盒子里有6个红球，4个白球，现从中任取3个球，设事件A＝{3个球中有1个红球2个白球}，事件B＝{3个球中有2个红球1个白球}，事件C＝{3个球中至少有1个红球}，事件D＝{3个球中既有红球又有白球}．问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？(3)设事件E＝{3个红球}，事件F＝{3个球中至少有1个白球}，那么事件C与B，E是什么运算关系？C与F的交事件是什么？解：(1)对于事件D，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1个红球2个白球或2个红球1个白球或3个均为红球，故C∩A＝A.(3)由事件C包括的可能结果有1个红球2个白球，2个红球1个白球，3个红球三种情况，故B⊆C，E⊆C，而事件F包括的可能结果有1个白球2个红球，2个白球1个红球，3个白球，所以C∩F＝{1个红球2个白球，2个红球1个白球}＝D.A级——学考合格性考试达标练1.给出事件A与B的关系示意图，如图所示，则(　　)A．A⊆BB．A⊇BC．A与B互斥D．A与B互为对立事件解析：选C　由互斥事件的定义可知，C正确．故选C.2．[多选]从一批产品(既有正品也有次品)中取出三件产品，设A＝{三件产品全不是次品}，B＝{三件产品全是次品}，C＝{三件产品有次品，但不全是次品}，则下列结论中正确的是(　　)A．A与C互斥　　　　　 B．B与C互斥C．任何两个都互斥  D．A与B对立解析：选ABC　由题意知事件A，B，C两两不可能同时发生，因此两两互斥，因＝{三件产品不全是正品}，故样本点有三种情况：①{两件正品一件次品}，②{一件正品两件次品}，③{三件全是次品}＝B，所以A与B不对立，D错误，故选A、B、C.3．抽查10件产品，记事件A为“至少有2件次品”，则A的对立事件为(　　)A．至多有2件次品  B．至多有1件次品C．至多有2件正品  D．至少有2件正品解析：选B　至少有2件次品包含2,3,4,5,6,7,8,9,10件次品，共9种结果，故它的对立事件为含有1或0件次品，即至多有1件次品．故选B.4．已知盒中有5个红球，3个白球，从盒中任取2个球，下列说法中正确的是(　　)A．全是白球与全是红球是对立事件B．没有白球与至少有一个白球是对立事件C．只有一个白球与只有一个红球是互斥关系D．全是红球与有一个红球是包含关系解析：选B　从盒中任取2球，出现球的颜色情况是，全是红球，有一个红球且有一个白球，全是白球，至少有一个的对立面是没有一个．故选B.5．掷一枚质地均匀的骰子，“向上的点数是1或2”为事件A，“向上的点数是2或3”为事件B，则(　　)A．A⊆BB．A＝BC．A∪B表示向上的点数是1或2或3D．AB表示向上的点数是1或2或3解析：选C　设A＝{1,2}，B＝{2,3}，A∩B＝{2}，A∪B＝{1,2,3}，∴A∪B表示向上的点数为1或2或3.故选C.6．抛掷一枚质地均匀的正方体骰子，事件E＝{向上的点数为偶数}，F＝{向上的点数为质数}，则E∩F＝{______}．解析：E＝{向上的点数为偶数}＝{2,4,6}．F＝{向上的点数为质数}＝{2,3,5}∴E∩F＝{向上的点数为2}．答案：向上的点数为27．打靶三次，事件Ai表示“击中i次”，i＝0,1,2,3，则“至少有一次击中”这一事件用事件的交、并运算应表示为________．解析：因A0，A1，A2，A3彼此互斥，“至少有一次击中”包含击中一次A1，击中二次A2或击中三次A3这三个事件的并事件，应表示为A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)．答案：A1∪A2∪A3(或A1＋A2＋A3)8．把红、黑、蓝、白四张纸牌随机地分发给甲、乙、丙、丁四个人，每人分得1张，事件“甲分得红牌”与事件“乙分得红牌”的关系是________. 解析：因为红牌只有1张，甲、乙不能同时得到红牌，所以两事件为互斥事件，但甲、乙可能都得不到红牌，即两事件有可能都不发生，故两事件互斥但不对立．答案：互斥但不对立9．从1,2，…，9中任取两数：①恰有一个偶数和恰有一个奇数；②至少有一个奇数和两个数都是奇数；③至少有一个奇数和两个都是偶数；④至少有一个奇数和至少有一个偶数．在上述事件中，是对立事件的有几对？并指出是哪几对．解：①，②，④可同时发生，不是对立事件；对于③至少有一个奇数包括有一个偶数一个奇数和两个数都是奇数，显然与两个都是偶数是对立事件．故对立事件有1对，是③.10．某市体操队有6名男生，4名女生，现任选3人去参赛，设事件A＝{选出的3人有1名男生，2名女生}，事件B＝{选出的3人有2名男生，1名女生}，事件C＝{选出的3人中至少有1名男生}，事件D＝{选出的3人中既有男生又有女生}．问：(1)事件D与A，B是什么样的运算关系？(2)事件C与A的交事件是什么事件？解：(1)对于事件D，可能的结果为1名男生2名女生，或2名男生1名女生，故D＝A∪B.(2)对于事件C，可能的结果为1名男生2名女生，2名男生1名女生，3名男生，故C∩A＝A. B级——面向全国卷高考高分练 1．在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移动卡”的概率是，那么概率是的事件是(　　)A．至多有一张移动卡B．恰有一张移动卡C．都不是移动卡D．至少有一张移动卡解析：选A　至多有一张移动卡包含“一张移动卡，一张联通卡”“两张全是联通卡”两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件．故选A.2．如果事件A，B互斥，记，分别为事件A，B的对立事件，那么(　　)A．A∪B是必然事件  B．∪是必然事件C.与一定互斥  D.与一定不互斥解析：选B　用Venn图解决此类问题较为直观．如图所示，∪是必然事件．故选B.3．设H，E，F为三个事件，，，分别表示它们的对立事件，表示“三个事件恰有一个发生”的表达式为(　　)A．H＋E＋F  B．H ＋E＋ FC．HE＋HF＋EF   D.＋＋解析：选B　选项A表示H，E，F三个事件至少有一个发生；选项B表示三个事件恰有一个发生；选项C表示三个事件恰有一个不发生；选项D为选项A的对立事件，即表示三个事件都不发生．故选B.4．在实弹射击训练中，连续射击两次，每次发射一枚炮弹，设A＝{两次都击中目标}，B＝{两次都没击中目标}，C＝{恰有一弹击中目标}，D＝{至少有一弹击中目标}，下列关系不正确的是(　　)A．A⊆D  B．B∩D＝∅C．A∪C＝D  D．A∪C＝B∪D解析：选D　“恰有一弹击中目标”指第一枚击中第二枚没中或第一枚没中第二枚击中，A∪C＝D＝{至少有一弹击中目标}，不是必然事件；“至少有一弹击中目标”包含两种情况：一种是恰有一弹击中目标，一种是两弹都击中目标，B∪D为必然事件，所以A∪C≠B∪D.故选D.5．掷一枚质地均匀的骰子，记A为事件“落地时向上的数是奇数”，B为事件“落地时向上的数是偶数”，C为事件“落地时向上的数是3的倍数”．其中是互斥事件的是________，是对立事件的是________．解析：A，B既是互斥事件，也是对立事件．答案：A，B　A，B6．在掷骰子的试验中，可以得到以下事件：A＝{出现1点}；B＝{出现2点}；C＝{出现3点}；D＝{出现4点}；E＝{出现5点}；F＝{出现6点}；G＝{出现的点数不大于1}；H＝{出现的点数小于5}；I＝{出现奇数点}；J＝{出现偶数点}．请根据这些事件，判断下列事件的关系： (1)B________H；(2)D________J；(3)E________I；(4)A________G.解析：当事件B发生时，H必然发生，故B⊆H；同理D⊆J，E⊆I，而事件A与G相等，即A＝G.答案：⊆　⊆　⊆　＝7．在掷骰子试验中，根据向上的点数可以定义许多事件，如：A＝{出现点数1}；B＝{出现点数3或4}；C＝{出现的点数是奇数}；D＝{出现的点数是偶数}．(1)说明以上4个事件的关系；(2)求两两运算的结果．解：在掷骰子的试验中，根据向上出现的点数有1,2,3,4,5,6共6个可能的基本结果，记作Ai＝{出现的点数为i}(其中i＝1,2，…，6)．则A＝A1，B＝A3∪A4，C＝A1∪A3∪A5，D＝A2∪A4∪A6.(1)事件A与事件B互斥，但不对立，事件A包含于事件C，事件A与D互斥，但不对立；事件B与C不是互斥事件，事件B与D也不是互斥事件；事件C与D是互斥事件，也是对立事件．(2)A∩B＝∅，A∩C＝A，A∩D＝∅.B∩C＝A3＝{出现点数3}，B∩D＝A4＝{出现点数4}．C∩D＝∅A∪B＝A1∪A3∪A4＝{出现点数1或3或4}，A∪C＝C＝{出现点数1或3或5}，A∪D＝A1∪A2∪A4∪A6＝{出现点数1或2或4或6}．B∪C＝{出现点数1或3或4或5}．B∪D＝{出现点数2或3或4或6}．C∪D＝{出现点数1或2或3或4或5或6}． C级——拓展探索性题目应用练某县城有甲、乙两种报纸供居民订阅，记事件A为“只订甲报”，事件B为“至少订一种报纸”，事件C为“至多订一种报纸”，事件D为“不订甲报”，事件E为“一种报纸也不订”．判断下列每组事件是不是互斥事件；如果是，再判断它们是不是对立事件：(1)A与C；(2)B与E；(3)B与D；(4)B与C；(5)C与E.解：(1)由于事件C“至多订一种报纸”中包括“只订甲报”，即事件A与事件C有可能同时发生，故A与C不是互斥事件．(2)事件B“至少订一种报纸”与事件E“一种报纸也不订”是不可能同时发生的，故B与E是互斥事件；由于事件B与事件E必有一个发生，故B与E是对立事件．(3)事件B“至少订一种报纸”中包括“只订乙报”，即有可能“不订甲报”，也就是说事件B和事件D有可能同时发生，故B与D不是互斥事件．(4)事件B“至少订一种报纸”中的可能情况为“只订甲报”“只订乙报”“订甲、乙两种报”．事件C“至多订一种报纸”中的可能情况为“一种报纸也不订”“只订甲报”“只订乙报”．也就是说事件B与事件C可能同时发生，故B与C不是互斥事件．(5)由(4)的分析，事件E“一种报纸也不订”是事件C中的一种可能情况，所以事件C与事件E可能同时发生，故C与E不是互斥事件．10．1.3 古典概型 新课程标准新学法解读1.结合具体实例，理解古典概型．2.能计算古典概型中简单随机事件的概率.1.能够掌握古典概型的基本特征，根据实际问题构建概率模型，解决简单的实际问题．2.会用求古典概型的公式方法求解概率问题. 1．下列试验中，属于古典概型的是(　　)A．种下一粒种子，观察它是否发芽B．从规格直径为250 mm±0.6 mm的一批合格产品中任意抽一根，测量其直径dC．抛掷一枚硬币，观察其出现正面或反面D．某人射击中靶或不中靶解析：选C　依据古典概型的特点判断，只有C项满足：①样本空间的样本点只有有限个；②每个样本点发生的可能性相等．2．下列关于古典概型的说法中正确的是(　　)①样本空间的样本点只有有限个；②每个事件出现的可能性相等；③每个样本点发生的可能性相等；④样本点的总数为n，随机事件A若包含k个样本点，则P(A)＝.A．②④　　　　　　　　 B．①③④C．①④  D．③④解析：选B　根据古典概型的特征与公式进行判断，①③④正确，②不正确，故选B.3．从甲、乙、丙三人中任选两人担任课代表，甲被选中的概率为(　　)A.   B.C.  D．1解析：选C　从甲、乙、丙三人中任选两人有：(甲，乙)，(甲，丙)，(乙，丙)，共3种情况，其中，甲被选中的情况有2种，故甲被选中的概率为P＝.4．有5支彩笔(除颜色外无差别)，颜色分别为红、黄、蓝、绿、紫．从这5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，则取出的2支彩笔中含有红色彩笔的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：选C　从5支彩笔中任取2支不同颜色的彩笔，有以下10种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，(黄，蓝)，(黄，绿)，(黄，紫)，(蓝，绿)，(蓝，紫)，(绿，紫)．其中含有红色彩笔的有4种情况：(红，黄)，(红，蓝)，(红，绿)，(红，紫)，所以所求事件的概率P＝＝.故选C.5．从1,2,3,4这四个数中一次随机地取两个数，则其中一个数是另一个数的两倍的概率为________．解析：从1,2,3,4中一次随机地取两个数，此试验的样本空间共有以下6种取法：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)．其中一个数是另一个数的两倍的共有(1,2)，(2,4)两种．∴所求概率为＝.答案：1．古典概型的特征(1)有限性：样本空间的样本点只有有限个；(2)等可能性：每个样本点发生的可能性相等．2．古典概型的概率公式设试验E是古典概型，样本空间Ω包含n个样本点，事件A包含其中的k个样本点，则定义事件A的概率为P(A)＝＝.[说明]　(1)随机试验E中的样本点①任何两个样本点都是互斥的；②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些样本点的和．(2)求解古典概型问题的一般思路①明确试验的条件及要观察的结果，用适当的符号(字母、数字、数组等)表示试验的样本点(借助图表可以帮助我们不重不漏地列出所有样本点)；②根据实际问题情景判断样本点的等可能性；③计算样本点总个数及事件A包含的样本点个数，求出事件A的概率．古典概型的判断 [例1]　判断下列概率模型中哪些是古典概型，为什么？①从区间[1,10]内任意取出一个数，求取到1的概率；②从含有1的10个整数中任意取出一个数，求取到1的概率；③向一个正方形ABCD内投掷一点P，求P恰好与A点重合的概率；④向上抛掷一枚不均匀的旧硬币，求正面朝上的概率．[解]　根据古典概型的特征进行考虑，①③中样本点有无限多个，因此不属于古典概型．④中硬币不均匀，则“正面朝上”“反面朝上”出现的可能性不相等，不是古典概型．②从含有1的10个整数中任取1个整数，其样本点总数为10，是有限的，且每个数取到的可能性相等，故②为古典概型概率问题．判断一个试验是不是古典概型要抓住两点：一是有限性；二是等可能性．　　　　 [变式训练]某同学随机地向一靶心进行射击，这一试验的结果只有有限个：命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环．你认为这是古典概型吗？为什么？ 解：不是古典概型，因为试验的所有可能结果只有7个，而命中10环、命中9环、……、命中5环和不中环的出现不是等可能的，即不满足古典概型的第二个条件.  样本点的计数问题 [例2]　(1)4张卡片上分别写有数字1,2,3,4，从这4张卡片中随机抽取2张，则取出的2张卡片上的数字之和为奇数的所有样本点个数为(　　)A．2　　　　　　　 B．3C．4  D．6(2)连续掷3枚质地均匀的硬币，观察这3枚硬币落在地面上时是正面朝上还是反面朝上．①写出这个试验的所有样本点；②求这个试验的样本点的总数；③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含哪些样本点？[解析]　(1)用列举法列举出“数字之和为奇数”的可能结果为：(1,2)，(1,4)，(2,3)，(3,4)，共4种可能．[答案]　C(2)①这个试验包含的样本点有：(正，正，正)，(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)，(正，反，反)，(反，正，反)，(反，反，正)，(反，反，反)．②这个试验包含的样本点的总数是8.③“恰有两枚硬币正面朝上”这一事件包含以下3个样本点：(正，正，反)，(正，反，正)，(反，正，正)．随机试验中样本点的探求方法(1)列举法：把试验的全部结果一一列举出来．此方法适合于较为简单的试验问题．(2)树状图法：树状图法是使用树状的图形把样本点列举出来的一种方法，树状图法便于分析样本点间的关系，对于较复杂的问题，可以作为一种分析问题的主要手段，树状图法适用于较复杂的试验的题目．　　　　 [变式训练]将一枚质地均匀的骰子先后抛掷两次，则：(1)一共有几个样本点？(2)“出现的点数之和大于8”包含几个样本点？解：(树状图法)：一枚骰子先后抛掷两次的所有可能结果用树状图表示．如图所示：(1)由图知，共36个样本点．(2)“点数之和大于8”包含10个样本点(已用“√”标出)．简单的古典概型的概率计算[例3]　袋中有6个大小质地完全相同的球，其中4个白球，2个红球，从袋中任意取出两球，求下列事件的概率：(1)A：取出的两球都是白球；(2)B：取出的两球一个是白球，另一个是红球．[解]　设4个白球的编号为1,2,3,4,2个红球的编号为5,6.从袋中的6个球中任取2个球的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,6)}，共有15个样本点．(1)因为A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝；(2)因为B＝{(1,5)，(1,6)，(2,5)，(2,6)，(3,5)，(3,6)，(4,5)，(4,6)}，所以n(B)＝8，从而P(B)＝＝.求解古典概型的概率“四步”法　　　　  [变式训练](2019·全国卷Ⅱ)生物实验室有5只兔子，其中只有3只测量过某项指标．若从这5只兔子中随机取出3只，则恰有2只测量过该指标的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　设5只兔子中测量过某项指标的3只为a1，a2，a3，未测量过这项指标的2只为b1，b2，则从5只兔子中随机取出3只的所有可能情况为(a1，a2，a3)，(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a1，b1，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，(a2，b1，b2)，(a3，b1，b2)，共10种可能．其中恰有2只测量过该指标的情况为(a1，a2，b1)，(a1，a2，b2)，(a1，a3，b1)，(a1，a3，b2)，(a2，a3，b1)，(a2，a3，b2)，共6种可能．故恰有2只测量过该指标的概率为＝.故选B.含“有放回”抽取的古典概型问题 [例4]　小李在做一份调查问卷，共有5道题，其中有两种题型，一种是选择题，共3道，另一种是填空题，共2道．(1)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，求所选的题不是同一种题型的概率；(2)小李从中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，求所选的题不是同一种题型的概率．[解]　将3道选择题依次编号为1,2,3,2道填空题依次编号为4,5.(1)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(不放回)，则样本空间Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件A＝“所选的题不是同一种题型”，则事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12个样本点，所以P(A)＝＝0.6.(2)从5道题中任选2道题解答，每一次选1题(有放回)，则样本空间Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25个样本点，而且这些样本点发生的可能性是相等的．设事件B＝“所选的题不是同一种题型”，由(1)知所选题不是同一种题型的样本点共12个，所以P(B)＝＝0.48.解决有序和无序问题应注意两点(1)关于不放回抽样，计算样本点个数时，既可以看做是有顺序的，也可以看做是无顺序的，其最后结果是一致的．但不论选择哪一种方式，观察的角度必须一致，否则会产生错误．(2)关于有放回抽样，应注意在连续取出两次的过程中，因为先后顺序不同，所以(a1，b)，(b，a1)不是同一个样本点．解题的关键是要清楚无论是“不放回抽取”还是“有放回抽取”，每一件产品被取出的机会都是均等的．　　　　 [变式训练]从含有两件正品a1，a2和一件次品b的三件产品中，每次任取一件．(1)若每次取后不放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率；(2)若每次取后放回，连续取两次，求取出的两件产品中恰有一件次品的概率．解：(1)每次取出一个，取后不放回地连续取两次，其一切可能的结果组成的样本点有6个，即(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)．其中小括号内左边的字母表示第1次取出的产品，右边的字母表示第2次取出的产品．总的事件个数为6，而且可以认为这些样本点是等可能的．设事件A＝“取出的两件中恰有一件次品”，所以A＝，所以n(A)＝4，从而P(A)＝＝＝.(2)有放回地连续取出两件，其所有可能的结果为(a1，a1)，(a1，a2)，(a1，b)，(a2，a1)，(a2，a2)，(a2，b)，(b，a1)，(b，a2)，(b，b)，共9个样本点组成．由于每一件产品被取到的机会均等，因此可以认为这些样本点的出现是等可能的．设事件B＝“恰有一件次品”，则B＝，所以n(B)＝4，从而P(B)＝＝.A级——学考合格性考试达标练1．已知集合A＝{2,3,4,5,6,7}，B＝{2,3,6,9}，在集合A∪B中任取一个元素，则它是集合A∩B中的元素的概率是(　　)A.　　　　　　　　　　　 B.C.   D.解析：选C　A∪B＝{2,3,4,5,6,7,9}，A∩B＝{2,3,6}，所以由古典概型的概率公式得，所求的概率是.故选C.2．两名同学分3本不同的书，其中一人没有分到书，另一人分得3本书的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　两名同学分3本不同的书，记这三本书分别为a，b，c，该试验样本空间Ω＝{(0,3)，(a,2)，(b,2)，(c,2)，(2，a)，(2，b)，(2，c)，(3,0)}共8个样本点．其中一人没有分到书，另一人分到3本书的样本点有2个，∴一人没有分到书，另一人分得3本书的概率P＝＝.故选B.3．若连续抛掷两次骰子得到的点数分别为m，n，则点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的概率是(　　)A.   B.C.   D.解析：选D　由题意(m，n)的取值情况有(1,1)，(1,2)，…，(1,6)；(2,1)，(2,2)，…，(2,6)；…；(6,1)，(6,2)，…，(6,6)，共36种，而满足点P(m，n)在一次函数y＝－x＋4图象上的取值情况有(1,3)，(2,2)，(3,1)，共3种．故所求概率为＝.故选D.4．某部三册的小说，任意排放在书架的同一层上，则各册从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　所有样本点为：(1,2,3)，(1,3,2)，(2,1,3)，(2,3,1)，(3,1,2)，(3,2,1)，共6种．其中从左到右或从右到左恰好为第1,2,3册包含的样本点为(1,2,3)，(3,2，1)，共2种，∴P＝＝.故选B.5．设a是从集合中随机取出的一个数，b是从集合中随机取出的一个数，构成一个样本点(a，b)．记“这些样本点中，满足logba≥1”为事件E，则E发生的概率是(　　)A.   B.C.   D.解析：选B　试验发生包含的样本点是分别从两个集合中取1个数字，共有12种结果，满足条件的事件是满足logba≥1，可以列举出所有的样本点，当b＝2时，a＝2,3,4，当b＝3时，a＝3,4，共有5个，∴根据古典概型的概率公式得到概率是.故选B.6．在5瓶饮料中，有2瓶已过了保质期，从中任取2瓶，取到的全是已过保质期的饮料的概率为________．解析：设过保质期的2瓶记为a，b，没过保质期的3瓶用1,2,3表示，试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1，a)，(1，b)，(2,3)，(2，a)，(2，b)，(3，a)，(3，b)，(a，b)}，共10个样本点，2瓶都过保质期的样本点只有1个，∴P＝.答案：7．从长度分别为2,3,4,5的四条线段中任意取出三条，则以这三条线段为边可以构成三角形的概率是________. 解析：此试验的样本空间Ω＝{(2,3,4)，(2,3,5)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有4个样本点，设事件A＝“可构成三角形”，则A＝{(2,3,4)，(2,4,5)，(3,4,5)}，共有3个样本点，故P(A)＝＝.答案：8．从3男3女共6名同学中任选2名(每名同学被选中的机会均等)，这2名都是女同学的概率等于________．解析：设3名男同学分别为a1，a2，a3,3名女同学分别为b1，b2，b3，则试验的样本空间Ω＝{a1a2，a1a3，a2a3，a1b1，a1b2，a1b3，a2b1，a2b2，a2b3，a3b1，a3b2，a3b3，b1b2，b1b3，b2b3}，其中共有15个样本点．设事件A＝“都是女同学”，则A＝{b1b2，b1b3，b2b3}，所以n(A)＝3.故P(A)＝＝＝.答案：9．某地区有小学21所，中学14所，大学7所，现采取分层抽样的方法从这些学校中抽取6所学校对学生进行视力调查．(1)求应从小学、中学、大学中分别抽取的学校数目；(2)若从抽取的6所学校中随机抽取2所学校做进一步数据分析：①列出所有可能的抽取结果；②求抽取的2所学校均为小学的概率．解：(1)由分层抽样的定义知，从小学抽取的学校数目为6×＝3(所)，从中学抽取的学校数目为6×＝2(所)，从大学抽取的学校数目为6×＝1(所)．(2)①在抽取到的6所学校中，3所小学分别记为A1，A2，A3,2所中学分别记为A4，A5,1所大学记为A6，则抽取2所学校的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，A4)，(A1，A5)，(A1，A6)，(A2，A3)，(A2，A4)，(A2，A5)，(A2，A6)，(A3，A4)，(A3，A5)，(A3，A6)，(A4，A5)，(A4，A6)，(A5，A6)}，共15个样本点．②“抽取的2所学校均为小学”记为事件B，则B＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3个样本点，所以P(B)＝＝.10．抛掷两粒均匀的骰子，求：(1)点数之和为5的概率；(2)点数之和为7的概率；(3)出现两个4点的概率．解：在抛掷两粒均匀的骰子的试验中，每粒骰子均可出现1点，2点，…，6点，共6种结果．两粒骰子出现的点数可以用有序实数对(x，y)来表示，它与直角坐标系内的一个点对应，则该试验的样本空间Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共36个样本点．(1)设事件A＝“点数之和为5”，从图中可以看到事件A＝{(1,4)，(2,3)，(3,2)，(4,1)}，所以P(A)＝＝.(2)设事件B＝“点数之和为7”，从图中可以看到事件B＝{(6,1)，(5,2)，(4,3)，(3,4)，(2,5)，(1,6)}，所以P(B)＝＝.(3)设事件C＝“出现两个4点”，则从图中可以看到事件C＝{(4,4)}，所以P(C)＝.B级——面向全国卷高考高分练1．(2019·全国卷Ⅲ)两位男同学和两位女同学随机排成一列，则两位女同学相邻的概率是(　　)A.   B.C.   D.解析：选D　设两位男同学分别为A，B，两位女同学分别为a，b，则用“树状图”表示四位同学排成一列所有可能的结果如图所示．由图知，共有24种等可能的结果，其中两位女同学相邻的结果(画“√”的情况)共有12种，故所求概率为＝.故选D.2．某天上午要安排语文、数学、历史、体育四节课，则体育课不排在第一节的概率为(　　)A.   B.C.   D.解析：选D　我们不考虑语文、数学、历史排在第几节，只考虑体育的排法，体育等可能地排在第一节、第二节、第三节、第四节，共4个样本点，因此体育课不排在第一节的概率为.故选D.3．从{1,2,3,4,5}中随机选取一个数a，从{2,3,4}中随机选取一个数b，则b>a的概率是(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　此试验的样本空间Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，其中共有15个样本点．设事件A＝“b>a”，则A＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,3)，(2,4)，(3,4)}，所以n(A)＝6，故所求的概率为P(A)＝＝＝.故选C.4．古代“五行”学说认为：“物质分金、木、水、火、土五种属性，金克木、木克土、土克水、水克火、火克金．”从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则抽取的两种物质不相克的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　从五种不同属性的物质中随机抽取两种，则样本空间Ω＝{(金，木)，(金，水)，(金，火)，(金，土)，(木，水)，(木，火)，(木，土)，(水，火)，(水，土)，(火，土)}，共10个样本点．其中金克木，木克土，土克水，水克火，火克金，即相克的有5种，则不相克的也是5种，所以抽取的两种物质不相克的概率为.故选C.5．在两个袋内，分别装着写有0,1,2,3,4,5六个数字的6张卡片，从每个袋中各任取一张卡片，则两张卡片上数字之和等于7的概率为________．解析：试验结果如表所示： 0123450012345112345622345673345678445678955678910 由表可知，此试验的样本空间共有36个样本点，其中和为7的有4个样本点，∴所求事件的概率为＝.答案：6．将一枚质地均匀的骰子投两次，得到的点数依次记为a和b，则方程ax2＋bx＋1＝0有实数解的概率是________．解析：由题意，a，b∈{1,2,3,4,5,6}，所以(a，b)的不同取值情况如下表所示，b a　　1234561(1,1)(1,2)(1,3)(1,4)(1,5)(1,6)2(2,1)(2,2)(2,3)(2,4)(2,5)(2,6)3(3,1)(3,2)(3,3)(3,4)(3,5)(3,6)4(4,1)(4,2)(4,3)(4,4)(4,5)(4,6)5(5,1)(5,2)(5,3)(5,4)(5,5)(5,6)6(6,1)(6,2)(6,3)(6,4)(6,5)(6,6)共有6×6＝36(种)，即总的样本点总数n＝36.记“方程ax2＋bx＋1＝0有实数解”为事件A，下面求事件A所包含的样本点的个数n(A)．由题意，事件为“方程ax2＋bx＋1＝0无实数解”．显然方程无解的条件是Δ＝b2－4a<0，可得a>.故b＝1时，a>，故a＝1,2,3,4,5,6；b＝2时，a>1，故a＝2,3,4,5,6；b＝3时，a>，故a＝3,4,5,6；b＝4时，a>4，故a＝5,6；b＝5时，a>，故a无解；b＝6时，a>9，故a无解．所以事件包含的样本点共有6＋5＋4＋2＋0＋0＝17(个)．故事件的概率为P()＝.故P(A)＝1－P()＝1－＝.答案：7．2019年，我国施行个人所得税专项附加扣除办法，涉及子女教育、继续教育、大病医疗、住房贷款利息或者住房租金、赡养老人等六项专项附加扣除．某单位老、中、青员工分别有72,108,120人，现采用分层抽样的方法，从该单位上述员工中抽取25人调查专项附加扣除的享受情况．(1)应从老、中、青员工中分别抽取多少人？(2)抽取的25人中，享受至少两项专项附加扣除的员工有6人，分别记为A，B，C，D，E，F.享受情况如下表，其中“○”表示享受，“×”表示不享受．现从这6人中随机抽取2人接受采访.员工项目 　　　ABCDEF子女教育○○×○×○继续教育××○×○○大病医疗×××○××住房贷款利息○○××○○住房租金××○×××赡养老人○○×××○ ①试用所给字母列举出所有可能的抽取结果；②设事件M＝“抽取的2人享受的专项附加扣除至少有一项相同”，求事件M发生的概率．解：(1)由已知得老、中、青员工人数之比为6∶9∶10，由于采用分层抽样的方法从中抽取25位员工，因此应从老、中、青员工中分别抽取6人，9人，10人．(2)①从已知的6人中随机抽取2人的样本空间Ω＝{(A，B)，(A，C)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，C)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，D)，(C，E)，(C，F)，(D，E)，(D，F)，(E，F)}，共有15个样本点．②由表格知，M＝{(A，B)，(A，D)，(A，E)，(A，F)，(B，D)，(B，E)，(B，F)，(C，E)，(C，F)，(D，F)，(E，F)}，所以n(M)＝11.从而，事件M发生的概率P(M)＝＝.C级——拓展探索性题目应用练海关对同时从A，B，C三个不同地区进口的某种商品进行抽样检测，从各地区进口此种商品的数量(单位：件)如表所示．工作人员用分层抽样的方法从这些商品中共抽取6件样品进行检测.地区ABC数量50150100 (1)求这6件样品中来自A，B，C各地区商品的数量；(2)若在这6件样品中随机抽取2件送往甲机构进行进一步检测，求这2件商品来自相同地区的概率．解：(1)因为样本量与总体中的个体数的比是＝，所以样本中包含三个地区的个体数量分别是：50×＝1(件)，150×＝3(件)，100×＝2(件)，所以A，B，C三个地区的商品被抽取的件数分别为1,3,2.(2)设6件来自A，B，C三个地区的样品分别为A1；B1，B2，B3；C1，C2，则此试验的样本空间Ω＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A1，C1)，(A1，C2)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B1，C1)，(B1，C2)，(B2，B3)，(B2，C1)，(B2，C2)，(B3，C1)，(B3，C2)，(C1，C2)}．每个样品被抽到的机会均等，因此这些样本点出现的可能性相等．设事件D＝“抽取的这2件商品来自相同地区”，则D＝{(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)，(C1，C2)}，所以n(D)＝4，从而P(D)＝＝，即这2件商品来自相同地区的概率为.10．1.4 概率的基本性质 新课程标准新学法解读1.结合具体实例，理解概率的6个性质．2.掌握互斥事件、对立事件概率的运算法则.1.结合具体实例，理解概率的性质．2.掌握互斥事件、对立事件概率求法．3.通过互斥事件和的概率求解公式的推广及对立事件概率的意义，培养学生的化归转化思想，提升数学运算核心素养. 1．若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，则P(B)等于(　　)A．0.3　　　　　　　　　 B．0.7C．0.1  D．1解析：选A　∵A，B是互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故选A.2．一个袋子里有4个红球，2个白球，6个黑球，若随机地摸出一个球，记A＝{摸出黑球}，B＝{摸出红球}，C＝{摸出白球}，则事件A∪B及B∪C的概率分别为(　　)A.，  B．，C.，  D.，解析：选A　P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝. P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝. P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝.故选A.3．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，则P(B)的取值范围是(　　)A．[0,0.9]  B．[0.1,0.9]C．(0,0.9]  D．[0,1]解析：选A　由于事件A和B是互斥事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故选A.4．掷一枚均匀的正六面体骰子，设A表示事件“出现3点”，B表示事件“出现偶数点”，则P(A∪B)等于________．解析：显然事件A与事件B互斥，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝.答案：5．某城市2019年的空气质量状况如下表所示：污染指数T3060100110130140概率P 其中污染指数T≤50时，空气质量为优；50＜T≤100时，空气质量为良；100＜T≤150时，空气质量为轻微污染．该城市2019年空气质量达到良或优的概率为________．解析：所求概率为＋＋＝.答案：1．概率的性质(1)对任意事件A，都有P(A)≥0.(2)P(Ω)＝1，P(∅)＝0.(3)A与B互斥，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(4)A与B互为对立事件，P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)．(5)如果A⊆B，P(A)≤P(B)．(6)A，B是一个随机试验中的两个事件，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．2．概率的加法公式(1)当A与B互斥(即AB＝∅)时，有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，这称为互斥事件的概率加法公式．(2)一般地，如果A1，A2，…，Am是两两互斥的事件，则P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．(3)P(A)＋P()＝1.3．求复杂事件的概率通常有两种方法(1)将所求事件转化成彼此互斥事件的并事件；(2)先求其对立事件的概率，再求所求事件的概率．  互斥事件、对立事件的概率 [例1]　某射击运动员在一次射击中射中10环、9环、8环、7环、7环以下的概率分别为0.1,0.2,0.3,0.3,0.1.计算这个运动员在一次射击中：(1)射中10环或9环的概率；(2)至少射中7环的概率．[解]　设“射中10环”、“射中9环”、“射中8环”、“射中7环”、“射中7环以下”的事件分别为A，B，C，D，E，则(1)P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋0.2＝0.3.所以射中10环或9环的概率为0.3.(2)因为射中7环以下的概率为0.1，所以由对立事件的概率公式得，至少射中7环的概率为1－0.1＝0.9.含“至多”、“至少”等词语的概率的计算(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．(2)当求解的问题中有“至多”“至少”“最少”等关键词语时，常常考虑其反面，通过求其反面，然后转化为所求问题．　　　　 [变式训练]经统计，在某储蓄所一个营业窗口等候的人数及相应的概率如下：排队人数012345人及5人以上概率0.10.160.30.30.10.04 求：(1)至多2人排队等候的概率是多少？(2)至少3人排队等候的概率是多少？解：记“无人排队等候”为事件A，“1人排队等候”为事件B，“2人排队等候”为事件C，“3人排队等候”为事件D，“4人排队等候”为事件E，“5人及5人以上排队等候”为事件F，则事件A，B，C，D，E，F互斥．(1)记“至多2人排队等候”为事件G，则G＝A∪B∪C，所以P(G)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.1＋0.16＋0.3＝0.56.(2)法一：记“至少3人排队等候”为事件H，则H＝D∪E∪F，所以P(H)＝P(D∪E∪F)＝P(D)＋P(E)＋P(F)＝0.3＋0.1＋0.04＝0.44.法二：记“至少3人排队等候”为事件H，则其对立事件为事件G，所以P(H)＝1－P(G)＝0.44.互斥事件与对立事件概率的综合问题 [例2]　在数学考试中，小明的成绩在90分(含90分)以上的概率是0.18，在80分～89分(包括89分，下同)的概率是0.51，在70分～79分的概率是0.15，在60分～69分的概率是0.09，在60分以下的概率是0.07，计算：(1)小明在数学考试中取得80分以上的成绩的概率；(2)小明数学考试及格的概率．[解]　分别记小明的成绩“在90分以上”“在80分～89分”“在70分～79分”在“60分～69分”为事件B，C，D，E，这四个事件彼此互斥，根据互斥事件的概率加法公式，得(1)小明的成绩在80分以上的概率是P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝0.18＋0.51＝0.69.(2)法一：小明数学考试及格的概率是P(B∪C∪D∪E)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＋P(E)＝0.18＋0.51＋0.15＋0.09＝0.93.法二：小明数学考试不及格的概率是0.07，所以小明数学考试及格的概率是1－0.07＝0.93.化归转化思想的应用(1)互斥事件的概率加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)是一个非常重要的公式，运用公式解题时，首先要分清事件间是否互斥，同时要学会把一个事件分拆为几个互斥事件，然后求出各事件的概率，用加法公式得出结果．(2)当直接计算复合条件的事件的概率比较麻烦时，可间接地计算出其对立事件的概率，求得对立事件的概率，然后再用对立事件的概率加法公式求解．　　　　 [变式训练]1．[变结论]本例条件不变，求小明在数学考试中取得80分以下的成绩的概率．解：分别记小明的成绩“在90分以上”“在80～89分”“在70～79分”“在60～69分”“在60分以下”为事件A，B，C，D，E，则这五个事件彼此互斥．根据互斥事件的概率加法公式，小明成绩在80分以下的概率是P(C∪D∪E)＝0.15＋0.09＋0.07＝0.31.2．一盒中装有大小质地完全相同的各种色球12个，其中5个红球、4个黑球、2个白球、1个绿球．从中随机取出1球，求：(1)取出1球是红球或黑球的概率；(2)取出的1球是红球或黑球或白球的概率．解：法一：(利用互斥事件求概率)记事件A1＝{任取1球为红球}，A2＝{任取1球为黑球}，A3＝{任取1球为白球}，A4＝{任取1球为绿球}，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝，P(A4)＝.根据题意知，事件A1，A2，A3，A4彼此互斥，由互斥事件的概率加法公式，得(1)取出1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝P(A1)＋P(A2)＝＋＝.(2)取出1球为红球或黑球或白球的概率为P(A1∪A2∪A3)＝P(A1)＋P(A2)＋P(A3)＝＋＋＝.法二：(利用对立事件求概率)(1)由法一知，取出1球为红球或黑球的对立事件为取出1球为白球或绿球，即A1∪A2的对立事件为A3∪A4，所以取得1球为红球或黑球的概率为P(A1∪A2)＝1－P(A3∪A4)＝1－P(A3)－P(A4)＝1－－＝＝.(2)A1∪A2∪A3的对立事件为A4.所以P(A1∪A2∪A3)＝1－P(A4)＝1－＝.A级——学考合格性考试达标练1．某学校高一年级派甲、乙两个班参加学校组织的拔河比赛，甲、乙两个班取得冠军的概率分别为和，则该年级在拔河比赛中取得冠军的概率为(　　)A.　　　　　　　　　　　 B.C.  D.解析：选A　甲班取得冠军和乙班取得冠军是两个互斥事件，该校高一年级取得冠军是这两个互斥事件的和事件，其概率为两个互斥事件的概率之和，即为＋＝.故选A.2．某产品分为甲、乙、丙三级，其中乙、丙两级均属次品，若生产中出现乙级品的概率为0.03，出现丙级品的概率为0.01，则对产品抽查一次抽得正品的概率是(　　)A．0.09  B．0.98C．0.97  D．0.96解析：选D　抽查一次抽得正品与抽得次品是对立事件，而抽得次品的概率为0.03＋0.01＝0.04，故抽得正品的概率为1－0.04＝0.96.故选D.3．根据湖北某医疗所的调查，某地区居民血型的分布为：O型52%，A型15%，AB型5%，B型28%.现有一血型为A型的病人需要输血，若在该地区任选一人，则此人能为病人输血的概率为(　　)A．67%  B．85%C．48%  D．15%解析：选A　O型血与A型血的人能为A型血的人输血，故所求的概率为52%＋15%＝67%.故选A.4．甲、乙两人下棋，甲获胜的概率为40%，甲不输的概率为90%，则甲、乙两人下成和棋的概率为(　　)A．60%  B．30%C．10%  D．50%解析：选D　设A＝{甲获胜}，B＝{甲不输}，C＝{甲、乙和棋}，则A，C互斥，且B＝A∪C，故P(B)＝P(A∪C)＝P(A)＋P(C)，即P(C)＝P(B)－P(A)＝50%.故选D.5．抛掷一个质地均匀的骰子的试验，事件A表示“小于5的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点数出现”，则一次试验中，事件A＋发生的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　掷一个骰子的试验有6种可能结果，依题意P(A)＝＝，P(B)＝＝，所以P()＝1－P(B)＝1－＝，因为表示“出现5点或6点”的事件，所以事件A与互斥，从而P(A＋)＝P(A)＋P()＝＋＝.故选C.6．一商店有奖促销活动中只有一等奖与二等奖两个奖项，其中中一等奖的概率为0.1，中二等奖的概率为0.25，则不中奖的概率为________. 解析：中奖的概率为0.1＋0.25＝0.35，中奖与不中奖互为对立事件，所以不中奖的概率为1－0.35＝0.65.答案：0.657．口袋内装有一些大小质地完全相同的红球、白球和黑球，从中摸出1个球，摸出红球的概率是0.42，摸出白球的概率是0.28，那么摸出黑球的概率是________．解析：摸出红球、白球、黑球是互斥事件，所以摸出黑球的概率是1－0.42－0.28＝0.3.答案：0.38．向三个相邻的军火库投一枚炸弹，炸中第一军火库的概率为0.025，炸中第二、三军火库的概率均为0.1，只要炸中一个，另两个也会发生爆炸，军火库爆炸的概率为________．解析：设A，B，C分别表示炸弹炸中第一、第二、第三军火库这三个事件，D表示军火库爆炸，则P(A)＝0.025，P(B)＝0.1，P(C)＝0.1，其中A，B，C互斥，故P(D)＝P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.025＋0.1＋0.1＝0.225.答案：0.2259．某家庭电话在家中有人时，打进的电话响第一声时被接的概率为0.1，响第二声时被接的概率为0.3，响第三声时被接的概率为0.4，响第四声时被接的概率为0.1，那么电话在响前四声内被接的概率是多少？解：记“响第一声时被接”为事件A，“响第二声时被接”为事件B，“响第三声时被接”为事件C，“响第四声时被接”为事件D.“响前四声内被接”为事件E，则易知A，B，C，D互斥，且E＝A∪B∪C∪D，所以由互斥事件的概率加法公式得，P(E)＝P(A∪B∪C∪D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝0.1＋0.3＋0.4＋0.1＝0.9.即电话在响前四声内被接的概率是0.9.10．某公务员去开会，他乘火车、轮船、汽车、飞机去的概率分别为0.3,0.2,0.1,0.4.(1)求他乘火车或乘飞机去的概率；(2)求他不乘轮船去的概率；(3)如果他乘某种交通工具的概率为0.5，请问他有可能乘哪种交通工具去？解：(1)记“他乘火车去”为事件A，“他乘轮船去”为事件B，“他乘汽车去”为事件C，“他乘飞机去”为事件D.这四个事件两两不可能同时发生，故它们彼此互斥．所以P(A∪D)＝P(A)＋P(D)＝0.3＋0.4＝0.7.即他乘火车或乘飞机去的概率为0.7.(2)设他不乘轮船去的概率为P()，则P()＝1－P(B)＝1－0.2＝0.8，所以，他不乘轮船去的概率为0.8.(3)由于P(A)＋P(B)＝0.3＋0.2＝0.5，P(C)＋P(D)＝0.1＋0.4＝0.5，故他可能乘火车或乘轮船去，也有可能乘汽车或乘飞机去．B级——面向全国卷高考高分练1．对一批产品的长度(单位：毫米)进行抽样检测，如图为检测结果的频率分布直方图．根据标准，产品长度在区间[20,25)上的为一等品，在区间[15,20)和区间[25,30)上的为二等品，在区间[10,15)和[30,35)上的为三等品．用频率估计概率，现从该批产品中随机抽取一件，则其为二等品的概率为(　　)A．0.09  B．0.20C．0.25  D．0.45解析：选D　由图可知抽得一等品的概率为0.3，抽得三等品的概率为0.25，则抽得二等品的概率为1－0.3－0.25＝0.45.故选D.2．某学校教务处决定对数学组的老师进行“评教”，根据数学成绩从某班学生中任意找出一人，如果该同学的数学成绩低于90分的概率为0.2，该同学的成绩在[90,120]之间的概率为0.5，那么该同学的数学成绩超过120分的概率为(　　)A．0.2  B．0.3C．0.7  D．0.8解析：选B　该同学数学成绩超过120分(事件A)与该同学数学成绩不超过120分(事件B)是对立事件，而不超过120分的事件为低于90分(事件C)和[90,120](事件D)两事件的和事件，即P(A)＝1－P(B)＝1－[P(C)＋P(D)]＝ 1－(0.2＋0.5)＝0.3.故选B.3．抛掷一枚质地均匀的骰子(骰子的六个面上分别标有1,2,3,4,5,6个点)一次，观察掷出向上的点数，设事件A为“掷出向上为偶数点”，事件B为“掷出向上为3点”，则P(A∪B)＝(　　)A.  B．C.  D.解析：选B　事件A为“掷出向上为偶数点”，所以P(A)＝.事件B为“掷出向上为3点”，所以P(B)＝.又事件A，B是互斥事件，根据互斥事件的概率加法公式，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝.故选B.4．若随机事件A，B互斥，A，B发生的概率均不等于0，且P(A)＝2－a，P(B)＝4a－5，则实数a的取值范围是(　　)A.  B．  C.  D.解析：选D　由题意可得即解得<a≤.故选D.5．若A，B为互斥事件，P(A)＝0.4，P(A∪B)＝0.7，则P(B)＝________.解析：∵A，B为互斥事件，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，∴P(B)＝P(A∪B)－P(A)＝0.7－0.4＝0.3.答案：0.36.如图所示，靶子由一个中心圆面Ⅰ和两个同心圆环Ⅱ，Ⅲ构成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分别为0.35,0.30,0.25，则不命中靶的概率是________．解析：“射手命中圆面Ⅰ”为事件A，“命中圆环Ⅱ”为事件B，“命中圆环Ⅲ”为事件C，“不中靶”为事件D，则A、B、C彼此互斥，故射手中靶的概率为P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.30＋0.25＝0.90.因为中靶和不中靶是对立事件，故不命中靶的概率为P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.90＝0.10.答案：0.107．某商场有奖销售中，购满100元商品得一张奖券，多购多得，每1 000张奖券为一个开奖单位．设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个．设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为A，B，C，求：(1)P(A)，P(B)，P(C)；(2)抽取1张奖券中奖概率；(3)抽取1张奖券不中特等奖或一等奖的概率．解：(1)∵每1 000张奖券中设特等奖1个，一等奖10个，二等奖50个，∴P(A)＝，P(B)＝＝，P(C)＝＝.(2)设“抽取1张奖券中奖”为事件D，则P(D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝＋＋＝.(3)设“抽取1张奖券不中特等奖或一等奖”为事件E，则P(E)＝1－P(A)－P(B)＝1－－＝.C级——拓展探索性题目应用练袋中有12个大小质地完全相同的小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率是，得到黑球或黄球的概率是，得到黄球或绿球的概率也是，试求得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率各是多少？解：从袋中任取一球，记事件“得到红球”“得到黑球”“得到黄球”“得到绿球”分别为A，B，C，D，则P(A)＝，P(B∪C)＝P(B)＋P(C)＝，P(C∪D)＝P(C)＋P(D)＝，P(B∪C∪D)＝P(B)＋P(C)＋P(D)＝1－P(A)＝1－＝.联立解得P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝，故得到黑球，得到黄球，得到绿球的概率分别为，，.          10．2 事件的相互独立性 新课程标准新学法解读1.结合有限样本空间，了解两个随机事件相互独立的含义．2.结合古典概型，利用独立性计算积事件的概率.1.通过阅读教材实例，弄清随机事件相互独立的含义，注意相互独立事件与互斥事件的区别．2.能够运用相互独立事件的概率计算公式进行概率计算. 1．把标有1,2的两张卡片随机地分给甲、乙；把标有3,4的两张卡片随机地分给丙、丁，每人一张，事件“甲得1号纸片”与“丙得4号纸片”是(　　)A．互斥但非对立事件　　　 B．对立事件C．相互独立事件  D．以上答案都不对解析：选C　相互独立的两个事件彼此没有影响，可以同时发生，因此它们不可能互斥．故选C.2．打靶时甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若两人同时射击一个目标，则它们都中靶的概率是(　　)A.  B．C.  D.解析：选D　由题意知甲中靶的概率为，乙中靶的概率为，两人打靶相互独立，同时中靶的概率P＝×＝.故选D.3．甲、乙两人参加“社会主义核心价值观”知识竞赛，甲、乙两人能荣获一等奖的概率分别为和，甲、乙两人是否获得一等奖相互独立，则这两个人中恰有一人获得一等奖的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选D　根据题意，恰有一人获得一等奖即甲获得乙没有获得或甲没有获得乙获得，则所求概率是×＋×＝，故选D.4．甲、乙两水文站同时作水文预报，如果甲站、乙站各自预报的准确率为0.8和0.7.那么，在一次预报中，甲、乙两站预报都准确的概率为________．解析：由题意知，两水文站水文预报相互独立，故在一次预报中甲、乙两站预报都准确的概率为0.8×0.7＝0.56.答案：0.565．一件产品要经过两道独立的工序， 第一道工序的次品率为a, 第二道工序的次品率为b, 则该产品的正品率为________．解析：由题意可知，该产品为正品是第一道工序和第二道工序都为正品，故该产品为正品的概率为P＝(1－a)(1－b)．答案：(1－a)(1－b)1．事件的相互独立性(1)定义：对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立．(2)性质：如果事件A与B相互独立，那么A与，与B，与也都相互独立．(3)公式的推广如果事件A1，A2，…，An相互独立，那么这n个事件同时发生的概率等于每个事件发生的概率的积，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．(4)两个事件独立与互斥的区别两个事件互斥是指两个事件不可能同时发生；两个事件相互独立是指一个事件的发生与否对另一事件发生的概率没有影响．一般地，两个事件不可能既互斥又相互独立，因为互斥事件不可能同时发生，而相互独立事件是以它们能够同时发生为前提．2．相互独立事件与互斥事件的概率计算概率A，B互斥A，B相互独立P(A∪B)P(A)＋P(B)1－P()P()P(AB)0P(A)P(B)P( )1－[P(A)＋P(B)]P()P()P(A∪B)P(A)＋P(B)P(A)P()＋P()P(B) [说明]　①(A)＋(B)，表示的是A与B的和，实际意义是：A发生且B不发生，或者A不发生且B发生，换句话说就是A与B中恰有一个发生．②同数的加、减、乘、除混合运算一样，事件的混合运算也有优先级，我们规定：求积运算的优先级高于求和运算，因此(A)＋(B)可简写为A＋B.事件独立性的判断 [例1]　判断下列各对事件是不是相互独立事件：(1)甲组3名男生，2名女生；乙组2名男生，3名女生，现从甲、乙两组中各选1名同学参加演讲比赛，“从甲组中选出1名男生”与“从乙组中选出1名女生”；(2)容器内盛有5个白乒乓球和3个黄乒乓球，“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”与“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的还是白球”；(3)掷一枚骰子一次，“出现偶数点”与“出现3点或6点”．[解]　(1)“从甲组中选出1名男生”这一事件是否发生，对“从乙组中选出1名女生”这一事件发生的概率没有影响，所以它们是相互独立事件．(2)“从8个球中任意取出1个，取出的是白球”的概率为，若这一事件发生了，则“从剩下的7个球中任意取出1个，取出的仍是白球”的概率为，若前一事件没有发生，则后一事件发生的概率为.可见，前一事件是否发生，对后一事件发生的概率有影响，所以两者不是相互独立事件．(3)记A＝“出现偶数点”，B＝“出现3点或6点”，则A＝{2,4,6}，B＝{3,6}，AB＝{6}，所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝，所以P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立．两个事件是否相互独立的判断(1)直接法：由事件本身的性质直接判定两个事件发生是否相互影响．(2)定义法：如果事件A，B同时发生的概率等于事件A发生的概率与事件B发生的概率的积，则事件A，B为相互独立事件．　　　　      [变式训练]　从52张扑克牌(不含大小王)中任抽一张，记事件A为“抽得K”，记事件B为“抽得红牌”，记事件C为“抽到J”．判断下列每对事件是否相互独立？为什么？(1)A与B；(2)C与A.解：(1)P(A)＝＝，P(B)＝＝，事件AB即为“既抽得K又抽得红牌”，亦即“抽得红桃K或方块K”，故P(AB)＝＝，从而有P(A)P(B)＝P(AB)，因此事件A与B相互独立．(2)事件A与事件C是互斥的，因此事件A与C不是相互独立事件．求相互独立事件的概率[例2]　甲、乙、丙3位大学生同时应聘某个用人单位的职位，3人能被选中的概率分别为，，，且各自能否被选中互不影响．(1)求3人同时被选中的概率；(2)求3人中至少有1人被选中的概率．[解]　设甲、乙、丙能被选中的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)3人同时被选中的概率P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.(2)3人中有2人被选中的概率P2＝P(AB∪AC∪BC)＝××＋××＋××＝.3人中只有1人被选中的概率P3＝P(A∪B∪C)＝××＋××＋××＝.故3人中至少有1人被选中的概率为P1＋P2＋P3＝＋＋＝.1．求相互独立事件同时发生的概率的步骤：(1)首先确定各事件之间是相互独立的；(2)确定这些事件可以同时发生；(3)求出每个事件的概率，再求积．2．使用相互独立事件同时发生的概率计算公式时，要掌握公式的适用条件，即各个事件是相互独立的，而且它们同时发生．　　　　 [变式训练]1．[变设问]在本例条件不变下，求三人均未被选中的概率．解：法一：三人均未被选中的概率P＝P(  )＝××＝.法二：由例2(2)知，三人至少有1人被选中的概率为，∴P＝1－＝.2．[变条件，变设问]若本例条件“3人能被选中的概率分别为，，”变为“甲、乙两人只有一人被选中的概率为，两人都被选中的概率为，丙被选中的概率为”，求恰好有2人被选中的概率．解：设甲被选中的概率为P(A)，乙被选中的概率为P(B)，则P(A)[1－P(B)]＋P(B)[1－P(A)]＝，①P(A)P(B)＝，②由①②知P(A)＝，P(B)＝，故恰有2人被选中的概率P＝P(AB)＋P(AC)＋P(BC)＝.相互独立事件概率的实际应用 [例3]　三个元件T1，T2，T3正常工作的概率分别为，，，将它们中的某两个元件并联后再和第三个元件串联接入电路，如图所示，求电路不发生故障的概率．[解]　记“三个元件T1，T2，T3正常工作”分别为事件A1，A2，A3，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.不发生故障的事件为(A2∪A3)A1，则不发生故障的概率为P＝P[(A2∪A3)A1]＝P(A2∪A3)·P(A1)＝[1－P(2)·P(3)]·P(A1)＝×＝.求较为复杂事件的概率的方法(1)列出题中涉及的各事件，并且用适当的符号表示；(2)理清事件之间的关系(两事件是互斥还是对立，或者是相互独立)，列出关系式；(3)根据事件之间的关系准确选取概率公式进行计算；(4)当直接计算符合条件的事件的概率较复杂时，可先间接地计算对立事件的概率，再求出符合条件的事件的概率．　　　　 [变式训练]某项选拔共有三轮考核，每轮设有一个问题，能正确回答问题者进入下一轮考核，否则即被淘汰．已知某选手能正确回答第一、二、三轮问题的概率分别为，，，且各轮问题能否正确回答互不影响．求该选手被淘汰的概率．解：记事件“该选手能正确回答第i轮的问题”为Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝，P(A2)＝，P(A3)＝.法一：该选手被淘汰的概率为P(1)＋P(A12)＋P(A1A23)＝P(1)＋P(A1)P(2)＋P(A1)P(A2)P(3)＝＋×＋××＝.法二：该选手被淘汰的概率为1－P(A1A2A3)＝1－××＝. A级——学考合格性考试达标练1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是(　　)A．互斥事件　　　　　 B．相互独立事件C．对立事件  D．不相互独立事件解析：选D　根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D.2．若P(AB)＝，P()＝，P(B)＝，则事件A与B的关系是(　　)A．事件A与B互斥  B．事件A与B对立C．事件A与B相互独立  D．事件A与B既互斥又独立解析：选C　因为P()＝，所以P(A)＝，又P(B)＝，P(AB)＝，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C.3.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为(　　)A．0.054  B．0.994C．0.496  D．0.06解析：选B　记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.三个开关同时出现故障的事件为∩∩，则此系统正常工作的概率为P＝1－P(  )＝1－P()P()P()＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故选B.4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是(　　)A．0.80  B．0.75C．0.60  D．0.48解析：选B　设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为(　　)A．0.25  B．0.30C．0.31  D．0.35解析：选C　设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(BCD∪ACD∪ABD∪ABC)＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，4人使用设备的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.答案：0.267．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为，，. 在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为××＝.答案：8．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.答案：0.989．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为和.求：(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；(2)至少有一个气象台预报准确的概率．解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.显然事件A，B相互独立，且P(A)＝，P(B)＝.(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率P(AB)＝P(A)P(B)＝×＝.(2)至少有一个气象台预报准确的概率为P＝1－P( )＝1－P()P()＝1－×＝.10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.(1)应聘者用方案一考试通过的概率为P1＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＋P(ABC)＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.(2)应聘者用方案二考试通过的概率为P2＝P(AB)＋P(BC)＋P(AC)＝×0.5×0.6＋×0.6×0.9＋×0.5×0.9＝0.43.B级——面向全国卷高考高分练1．有一道数学难题，学生A解出的概率为，学生B解出的概率为，学生C解出的概率为.若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为(　　)A．1  B．C.  D.解析：选C　一道数学难题，恰有一人解出，包括：①A解出，B，C解不出，概率为××＝；②B解出，A，C解不出，概率为××＝；③C解出，A，B解不出，概率为××＝.所以恰有1人解出的概率为＋＋＝.故选C.2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为，乙、丙去北京旅游的概率分别为，.假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选B　因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为，，，所以他们不去北京旅游的概率分别为，，，故至少有1人去北京旅游的概率为1－××＝.故选B.3．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是(　　)A.  B．C.  D.解析：选B　由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为××＝.故选B.4.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是，且是互相独立的，则灯亮的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P()P()[1－P(AB)]＝××＝.所以灯亮的概率为1－＝.故选C.5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．解析：由题意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.答案：0.656．某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且每个人的选择相互之间没有影响．任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是________．解析：设事件A表示“女农民工参加家政培训”，事件B表示“女农民工参加医院陪护工培训”，则P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，任选1名女农民工，她两项培训都没参加的概率为P( )＝P()P()＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1，则她参加过培训的概率是1－P( )＝1－0.1＝0.9.答案：0.97．某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用  表示，所求的概率为P(  )＝P()P()P()＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(BC)∪(AC)∪(AB)表示．由于事件BC，AC和AB两两互斥，根据概率的加法公式和事件独立性定义，所求的概率为P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()P(C)＋P(A)P(B)P()＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.C级——拓展探索性题目应用练某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．(1)求学生小张选修甲的概率；(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，则解得所以学生小张选修甲的概率为0.4.(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0，当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选．所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，即事件A的概率为0.24.10．3 频率与概率　10．3.1 频率的稳定性10．3.2 随机模拟　　新课程标准新学法解读结合具体实例，会用频率估计概率.1.了解随机事件发生频率的随机性与概率的稳定性以及频率与概率含义上的区别．2.会通过大量的重复试验，用这个事件的频率近似地作为它的概率. 1．已知某人在投篮时投中的概率为50%，则下列说法正确的是(　　)A．若他投100次，一定有50次投中B．若他投一次，一定投中C．他投一次投中的可能性大小为50%D．以上说法均错解析：选C　概率是指一件事情发生的可能性大小．2．某人将一枚硬币连抛20次，正面朝上的情况出现了12次，若用A表示事件“正面向上”，则A的(　　)A．频率为　　　　　　　 B．概率为C．频率为12  D．概率接近解析：选A　抛硬币20次，正面朝上出现了12次，记事件A＝“正面向上”，所以A的频率为P＝＝.3．经过市场抽检，质检部门得知市场上食用油合格率为80%，经调查，某市市场上的食用油大约有80个品牌，则不合格的食用油品牌大约有(　　)A．64个  B．640个C．16个  D．160个解析：选C　由题意知，经抽检市场上食用油的合格率为80%，则不合格率为20%.已知市场上的食用油大约有80个品牌．用频率估计概率可得80×20%＝16(个)，故市场上不合格的食用油大约有16个品牌．4．如果袋中装有数量差别很大而大小相同的白球和黄球(只是颜色不同)若干个，从中任取1球，取了10次有7个白球，估计袋中数量较多的是________球．解析：取10次球有7次是白球，则取出白球的频率是0.7，故可估计袋中数量较多的是白球．答案：白5．某家具厂为足球比赛场馆生产观众座椅．质检人员对该厂所生产的2 500套座椅进行抽检，共抽检了100套，发现有2套次品，则该厂所生产的2 500套座椅中大约有________套次品．解析：设有n套次品，由概率的统计定义，知＝，解得n＝50，所以该厂所生产的2 500套座椅中大约有50套次品．答案：501．概率的统计定义(1)对频率随机性的理解在任何确定次数的随机试验中，一个随机事件A发生的频率具有随机性．(2)对频率稳定性的理解随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．如果在n次重复进行的试验中，事件A发生的频率，当n很大时，可以认为事件A发生的概率P(A)的估计值为，且0≤P(A)≤1.2．频率与概率的关系概率可以通过频率来“测量”或者说频率是概率的一个近似，概率从数量上反映了一个事件发生的可能性的大小．[说明]　(1)频率本身是随机的，在试验前不能确定，做同样次数的重复试验得到事件的频率会不同．而概率是一个确定的常数，是客观存在的，与每次试验无关．(2)频率是概率的近似值，随着试验次数的增加，频率会越来越接近概率． 概率的定义 [例1]　解释下列概率的含义：(1)某厂生产产品的合格率为0.9；(2)一次抽奖活动中，中奖的概率为0.2.[解]　(1)“某厂生产产品的合格率为0.9”．说明该厂产品合格的可能性为90%，也就是说100件该厂的产品中大约有90件是合格的．(2)“中奖的概率为0.2”说明参加抽奖的人中有20%的人可能中奖，也就是说，若有100人参加抽奖，约有20人中奖．三个方面理解概率(1)概率是随机事件发生可能性大小的度量，是随机事件A的本质属性，随机事件A发生的概率是大量重复试验中事件A发生的频率的近似值．(2)由概率的定义我们可以知道随机事件A在一次试验中发生与否是随机的，但随机中含有规律性，而概率就是其规律性在数量上的反映．(3)正确理解概率的意义，要清楚与频率的区别与联系，对具体的问题要从全局和整体上去看待，而不是局限于某一次试验或某一个具体的事件．　　　　 [变式训练]1．下列说法正确的是(　　)A．由生物学知道生男、生女的概率均约为0.5，一对夫妇先后生两小孩，则一定为一男一女B．一次摸奖活动中，中奖概率为0.2，则摸5张票，一定有一张中奖C．10张票中有1张奖票，10人去摸，谁先摸则谁摸到奖票的可能性大D．10张票中有1张奖票，10人去摸，无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1解析：选D　一对夫妇生两小孩可能是(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)，所以A不正确；中奖概率为0.2是说中奖的可能性为0.2，当摸5张票时，可能都中奖，也可能中一张、两张、三张、四张、五张，或者都不中奖，所以B不正确；10张票中有1张奖票，10人去摸，每人摸到的可能性是相同的，即无论谁先摸，摸到奖票的概率都是0.1，所以C不正确，D正确．2．某射击教练评价一名运动员时说：“你射中的概率是90%.”你认为下面两个解释中能人表教练的观点的为________(填序号)．①该射击运动员射击了100次，恰有90次击中目标；②该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.解析：能代表教练的观点的为该射击运动员射击一次，中靶的机会是90%.答案：②利用频率估计概率 [例2]　(1)下表中列出了10次抛掷硬币的试验结果．n为抛掷硬币的次数，m为硬币正面朝上的次数，计算每次试验中“正面朝上”这一事件的频率，并估算它的概率.试验序号抛掷的次数n正面朝上的次数m“正面朝上”出现的频率1500251 2500249 3500256 4500253 5500251 6500245 7500244 8500258 9500262 10500247  (2)某公司在过去几年内使用某种型号的灯管1 000支，该公司对这些灯管的使用寿命(单位：小时)进行了统计，统计结果如表所示：分组频数频率[500,900)48 [900,1 100)121 [1 100,1 300)208 [1 300,1 500)223 [1 500,1 700)193 [1 700,1 900)165 [1 900，＋∞)42  ①求各组的频率；②根据上述统计结果，估计灯管使用寿命不足1 500小时的概率．[解]　(1)由fn(A)＝可得出这10次试验中“正面朝上”这一事件出现的频率依次为0.502,0.498,0.512，0.506，0.502,0.49,0.488,0.516,0.524,0.494，这些数字在0.5左右摆动，由概率的统计定义可得，“正面朝上”的概率为0.5.(2)①频率依次是：0.048,0.121,0.208,0.223，0.193，0.165,0.042.②样本中寿命不足1 500小时的频数是48＋121＋208＋223＝600，所以样本中寿命不足1 500小时的频率是＝0.6.即灯管使用寿命不足1 500小时的概率约为0.6.(1)频率是事件A发生的次数m与试验总次数n的比值，利用此公式可求出它们的频率．频率本身是随机变量，当n很大时，频率总是在一个稳定值附近摆动，这个稳定值就是概率．(2)解此类题目的步骤：先利用频率的计算公式依次计算频率，然后用频率估计概率．　　　　 [变式训练]国家乒乓球比赛的用球有严格标准，下面是有关部门对某乒乓球生产企业某批次产品的抽样检测，结果如表所示： 抽取球数目501002005001 0002 000优等品数目45921944709541 902优等品频率       (1)计算表中优等品的各个频率；(2)从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是多少？解：(1)如表所示：抽取球数目501002005001 0002 000优等品数目45921944709541 902优等品频率0.90.920.970.940.9540.951 (2)根据频率与概率的关系，可以认为从这批产品中任取一个乒乓球，质量检测为优等品的概率约是0.95.A级——学考合格性考试达标练 1．在掷一枚硬币的试验中，共掷了100次，“正面朝上”的频率为0.49，则“正面朝下”的次数为(　　)A．0.49　　　　　　　　 B．49C．0.51  D．51解析：选D　正面朝下的频率为1－0.49＝0.51，次数为0.51×100＝51次．故选D.2．已知使用一剂某种药物治愈某种疾病的概率为90%，则下列说法正确的是(　　)A．如果有100个这种病人各使用一剂这样的药物，那么有90人会被治愈B．如果一个患有这种疾病的病人使用两剂这样的药物就一定会被治愈C．使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%D．以上说法都不对解析：选C　治愈某种疾病的概率为90%，说明使用一剂这种药物治愈这种疾病的可能性是90%，但不能说明使用一剂这种药物一定可以治愈这种疾病，只能说治愈的可能性较大．故选C.3．在进行n次重复试验中，事件A发生的频率为，当n很大时，事件A发生的概率P(A)与的关系是(　　)A．P(A)≈  B．P(A)<C．P(A)>  D．P(A)＝解析：选A　对于给定的随机事件A，事件A发生的频率fn(A)随着试验次数的增加稳定于概率P(A)，因此可以用频率fn(A)来估计概率P(A)．即P(A)≈.故选A.4．在下列各事件中，发生的可能性最大的为(　　)A．任意买1张电影票，座位号是奇数B．掷1枚骰子，点数小于等于2C．有10 000张彩票，其中100张是获奖彩票，从中随机买1张是获奖彩票D．一袋中装有8个红球，2个白球，从中随机摸出1个球是红球解析：选D　设四个选项对应的事件分别为A，B，C，D.概率分别是P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝，P(D)＝.故选D.5．甲、乙两人做游戏，下列游戏中不公平的是(　　)A．抛一枚骰子，向上的点数为奇数则甲胜，向上的点数为偶数则乙胜B．同时抛掷两枚硬币，恰有一枚正面向上则甲胜，两枚都是正面向上则乙胜C．从一副不含大、小王的扑克牌中抽一张，扑克牌是红色则甲胜，是黑色则乙胜D．甲、乙两人各写一个数字，若是同奇或同偶则甲胜，否则乙胜解析：选B　A项，P(点数为奇数)＝P(点数为偶数)＝；B项，P(恰有一枚正面向上)＝，P(两枚都正面向上)＝；C项，P(牌色为红)＝P(牌色为黑)＝；D项，P(同奇或同偶)＝P(奇偶不同)＝.故选B.6．鱼池中共有N条鱼，从中捕出n条并标上记号后放回池中，经过一段时间后，再从池中捕出M条，其中有记号的有m条，则估计鱼池中共有鱼N＝________条．解析：由≈得N＝.答案：7．一家保险公司想了解汽车的挡风玻璃破碎的概率，公司收集了20 000部汽车的相关信息，时间是从某年的5月1日到下一年的5月1日，共发现有600部汽车的挡风玻璃破碎，则一部汽车在一年内挡风玻璃破碎的概率近似是________．解析：P＝＝0.03.答案：0.038．某工厂为了节约用电，规定每天的用电量指标为1 000度，按照上个月的用电记录，在30天中有12天的用电量超过指标，若这个月(按30天计)仍没有具体的节电措施，则该月的第一天用电量超过指标的概率约是________．解析：由频率的定义可知用电量超过指标的频率为＝0.4，由频率估计概率知第一天用电量超过指标的概率约是0.4.答案：0.49．在一个试验中，一种血清被注射到500只豚鼠体内．最初，这些豚鼠中有150只有圆形细胞，250只有椭圆形细胞，100只有不规则形状细胞．被注射这种血清之后，具有圆形细胞的豚鼠没有被感染，50只具有椭圆形细胞的豚鼠被感染，具有不规则形状细胞的豚鼠全部被感染．根据实验结果估计，分别具有圆形细胞、椭圆形细胞、不规则形状细胞的豚鼠被这种血清感染的概率．解：①记“具有圆形细胞的豚鼠被感染”为事件A，则由题意可知，A为不可能事件，所以P(A)＝0.②记“具有椭圆形细胞的豚鼠被感染”为事件B，则由题意，得P(B)＝＝＝0.2.③记“具有不规则形状细胞的豚鼠被感染”为事件C，则由题意可知，C为必然事件，P(C)＝1.10．随机抽取一个年份，对西安市该年4月份的天气情况进行统计，结果如下：   日期123456789101112131415天气晴雨阴阴阴雨阴晴晴晴阴晴晴晴晴日期161718192021222324252627282930天气晴阴雨阴阴晴阴晴晴晴阴晴晴晴雨 (1)在4月份任取一天，估计西安市在该天不下雨的概率；(2)西安市某学校拟从4月份的一个晴天开始举行连续2天的运动会，估计运动会期间不下雨的概率．解：(1)在容量为30的样本中，不下雨的天数是26，以频率估计概率，得在4月份任取一天，西安市在该天不下雨的概率约为.(2)称相邻的两个日期为“互邻日期对”(如1日与2日，2日与3日等)．这样，在4月份中，前一天为晴天的互邻日期对有16个，其中后一天不下雨的有14个，所以晴天的次日不下雨的频率为.以频率估计概率，得运动会期间不下雨的概率约为.B级——面向全国卷高考高分练1．“不怕一万，就怕万一”这句民间谚语说明(　　)A．小概率事件虽很少发生，但也可能发生，需提防B．小概率事件很少发生，不用怕C．小概率事件就是不可能事件，不会发生D．大概率事件就是必然事件，一定发生解析：选A　因为这句谚语是提醒人们需提防小概率事件．故选A.2．(2019·江西省上饶市统考)数学名著《九章算术》有“米谷粒分”题：粮仓开仓收粮，有人送来米2 018石，验得米内夹谷，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，则这批米内夹谷约为(　　)A．222石  B．224石C．230石  D．232石解析：选B　由题意，抽样取米一把，数得270粒内夹谷30粒，即夹谷占有的概率为＝，所以2 018石米中夹谷约为2 018×≈224(石)．故选B.3．下面有三种游戏规则：袋子中分别装有大小相同的球，从袋中取球，游戏1游戏2游戏33个黑球和1个白球1个黑球和1个白球2个黑球和2个白球取1个球，再取1个球取1个球取1个球，再取1个球取出的两个球同色→甲胜取出的球是黑球→甲胜取出的两个球同色→甲胜取出的两个球不同色→乙胜取出的球是白球→乙胜取出的两个球不同色→乙胜 问其中不公平的游戏是(　　)A．游戏1  B．游戏1和游戏3C．游戏2  D．游戏3解析：选D　游戏1中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，黑3)，(黑2，黑3)，(黑1，白)，(黑2，白)，(黑3，白)．所以甲胜的可能性为0.5，故游戏是公平的；游戏2中，显然甲胜的可能性为0.5，游戏是公平的；游戏3中，取2个球的所有可能情况为：(黑1，黑2)，(黑1，白1)，(黑2，白1)，(黑1，白2)，(黑2，白2)，(白1，白2)．所以甲胜的可能性为，游戏是不公平的．故选D.4．某市交警部门在调查一起车祸过程中，所有的目击证人都指证肇事车是一辆普通桑塔纳出租车，但由于天黑，均未看清该车的车牌号码及颜色，而该市有两家出租车公司，其中甲公司有100辆桑塔纳出租车，3 000辆帕萨特出租车；乙公司有3 000辆桑塔纳出租车，100辆帕萨特出租车，交警部门应认定肇事车为哪个公司的车辆较合理？(　　)A．甲公司  B．乙公司C．甲、乙公司均可  D．以上都对解析：选B　由题意得肇事车是甲公司的概率为＝，是乙公司的概率为＝，可以认定肇事车为乙公司的车辆较为合理．故选B.5．容量为200的样本的频率分布直方图如图所示．根据样本的频率分布直方图计算样本数据落在[6,10)内的频数为__________，估计数据落在[2,10)内的概率约为________．解析：数据落在[6,10)内的频数为200×0.08×4＝64，数据落在[2,10)内的频率为(0.02＋0.08)×4＝0.4，由频率估计概率知，所求概率约为0.4.答案：64　0.46．某盒子中有四个小球，分别写有“中”“美”“建”“交”四个字(2019年是中美建交40周年)，从中任取一个小球，有放回抽取，直到取到“建”“交”二字就停止，用随机模拟的方法估计恰好在第三次停止的概率：利用电脑随机产生0到3之间取整数值的随机数，分别用0,1,2,3代表“中”“美”“建”“交”这四个字，以每三个随机数为一组，表示取球三次的结果，经随机模拟产生了以下18组随机数：323　231　320　032　132　031　123　330　110321　120　122　321　221　230　132　322　130由此可以估计，恰好第三次就停止的概率为________．解析：经随机模拟产生的18组随机数中恰好第三次就停止的有032,132,123,132，共4组随机数．所以恰好第三次就停止的概率为＝.答案：7．某超市随机选取1 000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其中“√”表示购买，“×”表示未购买.商品顾客人数　 　甲乙丙丁100√×√√217×√×√200√√√×300√×√×85√×××98×√×× (1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？解：(1)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为＝0.2.(2)从统计表可以看出，在这1 000位顾客中，有100位顾客同时购买了甲、丙、丁，另有200位顾客同时购买了甲、乙、丙，其他顾客最多购买了2种商品．所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为＝0.3.(3)与(1)同理，可得：顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为＝0.2，顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为＝0.6，顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为＝0.1.所以，如果顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大．C级——拓展探索性题目应用练　如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，现随机抽取100位从A地到火车站的人进行调查，调查结果如下： 所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60选择L1的人数612181212选择L2的人数0416164(1)试估计40分钟内不能赶到火车站的概率；(2)分别求通过路径L1和L2所用时间落在上表中各时间段内的频率；(3)现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站，为了尽最大可能在允许的时间内赶到火车站，试通过计算说明，他们应如何选择各自的路径．解：(1)共调查了100人，其中40分钟内不能赶到火车站的有12＋12＋16＋4＝44(人)，用频率估计概率，可得所求概率为＝0.44.(2)选择L1的有60人，选择L2的有40人，故由调查结果得所求各频率为所用时间(分钟)10～2020～3030～4040～5050～60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1(3)记事件A1，A2分别表示甲选择L1和L2时，在40分钟内赶到火车站；记事件B1，B2分别表示乙选择L1和L2时，在50分钟内赶到火车站．由(2)知P(A1)＝0.1＋0.2＋0.3＝0.6，P(A2)＝0.1＋0.4＝0.5，P(A1)>P(A2)，∴甲应选择L1；P(B1)＝0.1＋0.2＋0.3＋0.2＝0.8，P(B2)＝0.1＋0.4＋0.4＝0.9，P(B2)>P(B1)，∴乙应选择L2. 　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 　 [本章知识结构——建体系][核心知识点拨——握重难] 1．随机试验的特点(1)试验可以在相同条件下重复进行；(2)试验的所有可能结果是明确可知的，并且不止一个；(3)每次试验总是恰好出现这些可能结果中的一个，但事先不能确定出现哪一个结果．2．有限样本空间与随机事件(1)有限样本空间：随机试验E的每个可能的基本结果称为样本点，用ω表示，全体样本点的集合称为试验E的样本空间，用Ω表示，称样本空间Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}为有限样本空间．(2)样本空间Ω的子集称为随机事件，称Ω为必然事件，称∅为不可能事件．3．事件的关系与运算事件关系或运算含义符号表示包含A发生导致B发生A⊆B并事件(和事件)A与B至少一个发生A∪B或A＋B交事件(积事件)A与B同时发生A∩B或AB互斥(互不相容)A与B不能同时发生A∩B＝∅互为对立A与B有且仅有一个发生A∩B＝∅，且A∪B＝Ω 4．古典概型计算公式P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分别表示事件A和样本空间Ω包含的样本点个数．5．概率的基本性质性质1 对任意事件A，都有P(A)≥0；性质2 必然事件的概率为1，不可能事件的概率为0，即P(Ω)＝1；P(∅)＝0；性质3 如果事件A与事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；性质4 如果事件A与事件B互为对立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；性质5 如果A⊆B，那么P(A)≤P(B)；性质6 设A，B是一个随机试验中的两个事件，我们有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．6．事件的相互独立性对任意两个事件A与B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，则称事件A与事件B相互独立，简称为独立．7．频率与概率一般地，随着试验次数n的增大，频率偏离概率的幅度会缩小，即事件A发生的频率fn(A)会逐渐稳定于事件A发生的概率P(A)．我们称频率的这个性质为频率的稳定性．因此，可以用频率fn(A)估计概率P(A)．[阅读与思考]——大数学家判赌局伟大的数学家、物理学家和哲学家帕斯卡有一次出外旅行．他偶遇贵族子弟梅累，为了打发无聊的旅途时光，两人闲聊起来．梅累嗜赌如命，他曾经遇到过的一个分赌金的问题，至今让他迷惑不解．这次和大数学家帕斯卡同行，他开始请教帕斯卡这个问题．梅累说，一次他和赌友掷骰子，各用32个金币做赌注，约定，如果梅累先掷出三次“6点”，或赌友先掷出三次“4点”，就算赢了对方．两个人赌了一阵儿，梅累已经掷出了两次“6点”，赌友也掷出了一次“4点”．可就在即将分出输赢的时候，梅累得到命令，需要立刻觐见国王，所以这场赌局中断了．那么他们俩该怎样分这64个金币的赌金呢？梅累和赌友争起来．赌友说，梅累要再掷一次“6点”才算赢，而他自己如果掷出两次“4点”也就赢了，这样一来，自己所得的应该是梅累的一半，就是说，梅累得到64个金币的2/3，他自己得1/3.可梅累说，即使是下一次赌友掷出个“4点”，自己没掷出“6点”，两人“6点”、“4点”各掷出两次，那金币也该平分，各自收回32个金币，更何况如果自己掷出个“6点”来，那就彻底赢了，64个金币就该全归他了．所以，他应该先分得一定能到手的32个金币，剩下的32个金币应该对半分，那么梅累自己该得到64×3/4＝48个金币，而赌友只能得16个金币．自己和赌友到底谁说得对呢？梅累迷惑地问帕斯卡．就是这样一个看起来简单的问题，竟把帕斯卡这位大数学家给难住了．帕斯卡为此足足苦想了三年，才悟出了一些道理来．于是他又和自己的好朋友，当时的另外两位数学家费尔马和惠更斯展开了讨论．他们得出一致的意见：梅累的分法是对的．因为在赌博必须中断的时候，梅累赢得全局的可能性是3/4，而赌友的可能性是1/4.梅累一方赢的可能性更大．后来，三位数学家的讨论结果被惠更斯写进了《论赌博中的计算》一书，这本书被公认为世界上第一部有关概率论的著作．你明白概率是什么了吗？概率就是量化了的可能性，说得再明白点就是取胜的把握或者失败的可能性有多大．它是一个重要的数学分支，并且被广泛应用到现实生活中．[阅读与思考]——大将军狄青智破侬志高公元1053年(北宋仁宗时期)，南方蛮族首领侬志高起兵反宋，大将军狄青奉旨征讨．将士们晓行夜宿，一路奔波，由于劳累，士气渐渐萎靡不振，狄青看在眼里急在心里．当时南方有崇拜鬼神的风俗，所以大军刚到桂林以南，狄青便设坛拜神说：“这次用兵，胜败还没有把握，特此祭拜祈求神灵保佑．”于是他命人搬来一百枚铜币，许愿：“如果这次出征能够打败敌人，那么把这些铜币扔在地上，钱面(铸文字的那一面)定然会全部朝上．”僚属们都大吃一惊，认为绝无百钱字面都朝上之理，这样干只会动摇军心，影响本来就不高的士气，于是纷纷劝阻．可是狄青对此劝告不予理会，神色庄重地对侍从说了声：“铜钱伺候．”侍从立即从一个小布袋中将铜钱取出，只见一百枚铜钱齐刷刷地一串儿穿在一根细麻绳上．侍从把系着的绳头儿解开，将铜钱一个不少地置入狄青的手掌中，狄青双手合拢，像摇卦筒似将铜钱“哗哗”地摇了几摇，忽然，一个“孔雀开屏”，那百枚铜钱纷纷飞起，又“劈劈啪啪”地先后落下．结果这一百个铜币的钱面，竟然鬼使神差般全部朝上．全军将士欢声如雷．狄青本人也很兴奋，命令士兵，取来一百枚钉子，把铜钱钉在地上，然后说道：“胜利归来，定将酬谢神灵，收回铜钱．”由于士兵个个认定神灵护佑，战斗中奋勇争先．于是，狄青迅速平定邕州(今广西南宁)．有神灵保佑的说法显然是迷信，身为大将军的狄青何尝不知道：掷一枚铜钱，正面朝上还是反面朝上，是个随机事件，正面朝上和反面朝上的可能性相等，都是1/2；两枚都正面朝上的可能性是1/4；三枚都正面朝上的可能性是1/8；4枚铜币都是正面朝上的可能性是1/16；……100枚都正面朝上的可能性是 2的100次方分之一．你知道吗，2的100次方就是100个2相乘，其积可是一个天文数字1 267 650 600 228 229 401 496 703 205 376.可见，一百枚钱币都正面朝上的可能性是少之又少，近乎不可能．此时你也一定觉得，狄青这样做真是太冒险啦！回师时，按原先所约，把钱取下．将士们一看，原来那些铜币两面都是铸成一样的，都是有文字的．对狄青来说，一百个钱面全部朝上，是个必然事件，但在别人看来，却是几乎不可能出现的．从“不可能”到“可能”、从“随机事件” 到“必然事件”，这一切足以显示出大英雄狄青非凡的数学智慧．    A卷——学考合格性考试滚动检测卷　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　 (时间：100分钟，满分100分)一、选择题(本大题共20小题，每小题3分，共60分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．同时投掷两颗大小完全相同的骰子，用(x，y)表示结果，记A为“所得点数之和小于5”，则事件A包含的样本点的个数为(　　)A．3　　　　　　　　　 B．4C．5  D．6解析：选D　事件A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)}，共有6个样本点．故选D.2．某工厂生产的产品合格率是99.99%，这说明(　　)A．该厂生产的10 000件产品中不合格的产品一定有1件B．该厂生产的10 000件产品中合格的产品一定有9 999件C．合格率是99.99%，很高，说明该厂生产的10 000件产品中没有不合格产品D．该厂生产的产品合格的可能性是99.99%解析：选D　合格率是99.99%，是指该工厂生产的每件产品合格的可能性大小．故选D.3．事件A发生的概率接近于0，则(　　)A．事件A不可能发生  B．事件A也可能发生C．事件A一定发生  D．事件A发生的可能性很大解析：选B　概率只能度量事件发生的可能性的大小，不能确定是否发生．故选B.4．在天气预报中，有“降水概率预报”．例如，预报“明天降水概率为85%”，这是指(　　)A．明天该地区有85%的地区降水，其他15%地区不降水B．明天该地区约有85%的时间降水，其他时间不降水C．气象台的专家中，有85%的人认为会降水，另外15%的专家认为不降水D．明天该地区降水的可能性为85%解析：选D　概率的本质含义是事件发生的可能性大小，因此D正确．故选D.5．先后抛掷均匀的一分、二分硬币各一枚，观察落地后硬币的正反面情况，则下列试验包含3个样本点的是(　　)A．“至少一枚硬币正面向上”B．“只有一枚硬币正面向上”C．“两枚硬币都是正面向上”D．“两枚硬币一枚正面向上，另一枚反面向上”解析：选A　“至少一枚硬币正面向上”包括“1分向上，2分向下”、“1分向下，2分向上”、“1分、2分都向上”三个样本点．故选A.6．若干个人站成一排，其中为互斥事件的是(　　)A．“甲站排头”与“乙站排头”B．“甲站排头”与“乙不站排尾”C．“甲站排头”与“乙站排尾”D．“甲不站排头”与“乙不站排尾”解析：选A　由互斥事件的定义知，“甲站在排头”与“乙站在排头”不能同时发生，是互斥事件．故选A.7．若A，B是互斥事件，则(　　)A．P(A∪B)<1  B．P(A∪B)＝1C．P(A∪B)>1  D．P(A∪B)≤1解析：选D　∵A，B互斥，∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)≤1(当A，B对立时，P(A∪B)＝1)．故选D.8．下列是古典概型的是(　　)A．任意掷两枚骰子，所得点数之和作为样本点时B．求任意的一个正整数平方的个位数字是1的概率，将取出的正整数作为样本点时C．从甲地到乙地共n条路线，求某人正好选中最短路线的概率D．口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取一球，样本点为{取中白球}和{取中黑球}解析：选C　A项中由于点数的和出现的可能性不相等，故A不是；B项中的样本空间中的样本点是无限的，故B不是；C项满足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D项中两个样本点不是等可能的，故D不是．故选C.9．根据山东省教育研究机构的统计资料，今在校中学生近视率约为37.4%，某眼镜商要到一中学给学生配镜，若已知该校学生总数为600人，则该眼镜商应带眼镜的数目为(　　)A．374副  B．224.4副C．不少于225副  D．不多于225副解析：选C　根据概率相关知识，该校近视生人数约为600×37.4%＝224.4，结合实际情况，眼镜商应带眼镜数不少于225副．故选C.10．从某自动包装机包装的食盐中，随机抽取20袋，测得各袋的质量分别为(单位：g)：492　496　494　495　498　497　501　502　504　496497　503　506　508　507　492　496　500　501　499根据样本频率分布估计总体分布的原理，该自动包装机包装的袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的概率约为(　　)A．0.25  B．0.20C．0.35  D．0.45解析：选A　袋装食盐质量在497.5～501.5 g之间的有5袋，故所求概率P≈0.25.故选A.11．据人口普查统计，育龄妇女生男生女是等可能的，如果生育二胎，则某一育龄妇女两胎均是女孩的概率是(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　此试验的样本空间Ω＝{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}，两胎均是女孩的样本点有1个，故概率为.故选C.12．某校新生分班，现有A，B，C三个不同的班，甲和乙同学将被分到这三个班，每个同学分到各班的可能性相同，则这两名同学被分到同一个班的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选A　甲、乙两名同学分班有以下情况：(A，A)，(A，B)，(A，C)，(B，A)，(B，B)(B，C)，(C，A)，(C，B)，(C，C)，共9种，其中符合条件的有3种，所以这两名同学被分到同一个班的概率为＝.故选A.13．掷一枚质地均匀的正方体骰子(六个面上分别写有1,2,3,4,5,6)，若前3次连续掷到“6点朝上”，则对于第4次抛掷结果的预测，下列说法中正确的是(　　)A．一定出现“6点朝上”B．出现“6点朝上”的概率大于C．出现“6点朝上”的概率等于D．无法预测“6点朝上”的概率解析：选C　随机事件具有不确定性，与前面的试验结果无关，由于正方体骰子质地均匀，所以它出现哪一面朝上的可能性都是.故选C.14．从高中应届毕业生中选拔飞行员，已知这批学生体型合格的概率为，视力合格的概率为，其他标准合格的概率为，从中任选一名学生，则该学生三项均合格的概率为(假设三项标准互不影响)(　　)A.  B．C.  D.解析：选D　设这批学生“体型合格”为事件A，“视力合格”为事件B，“其他标准合格”为事件C，因A，B，C相互独立，所以P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.故选D.15．设a是掷一枚骰子得到的点数，则方程x2＋ax＋2＝0有两个不相等的实根的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选A　此试验的样本空间Ω＝{1,2,3,4,5,6}，若方程有两个不相等的实根则Δ＝a2－8＞0，满足上述条件的样本点有4个，故P＝＝.故选A.16．在国庆阅兵中，某兵种A，B，C三个方阵按一定次序通过主席台，若先后次序是随机排定的，则B先于A，C通过的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选B　用(A，B，C)表示A，B，C通过主席台的次序，此试验的样本空间Ω＝{(A，B，C)，(A，C，B)，(B，A，C)，(B，C，A)，(C，A，B)，(C，B，A)}，其中B先于A，C通过的样本点有(B，C，A)和(B，A，C)，共2种，故所求概率P＝＝.故选B.17．某班准备到郊外野营，为此向商店订了帐篷，如果下雨与不下雨是等可能的，能否准时收到帐篷也是等可能的，只要帐篷如期运到，他们就不会淋雨，则下列说法正确的是(　　)A．一定不会淋雨  B．淋雨机会为C．淋雨机会为  D．淋雨机会为解析：选D　用A，B分别表示下雨和不下雨，用a，b表示帐篷运到和运不到，则此试验的样本空间Ω＝{(A，a)，(A，b)，(B，a)，(B，b)}，则当样本点(A，b)发生时就会被雨淋到，故淋雨的概率为P＝.故选D.18．坛子中放有3个白球，2个黑球，从中进行不放回地取球2次，每次取一球，用A1表示第一次取得白球，A2表示第二次取得白球，则A1和A2是(　　)A．互斥的事件  B．相互独立的事件C．对立的事件  D．不相互独立的事件解析：选D　P(A1)＝，若A1发生，则P(A2)＝＝；若A1不发生，则P(A2)＝，即A1发生的结果对A2发生的结果有影响，故A1与A2不是相互独立事件．故选D.19．从甲袋中摸出一个红球的概率是，从乙袋中摸出一个红球的概率是，从两袋各摸出一个球，则等于(　　)A．2个球不都是红球的概率B．2个球都是红球的概率C．至少有1个红球的概率D．2个球中恰有1个红球的概率解析：选C　分别记从甲、乙袋中摸出一个红球为事件A，B，则P(A)＝，P(B)＝，由于A，B相互独立，所以1－P()P()＝1－×＝.根据互斥事件可知C正确．故选C.20．甲、乙两位同学各拿出6张游戏牌，用作投骰子的奖品，两人商定：骰子朝上的面的点数为奇数时甲得1分，否则乙得1分，先积得3分者获胜得所有12张游戏牌，并结束游戏．比赛开始后，甲积2分，乙积1分，这时因意外事件中断游戏，以后他们不想再继续这场游戏，下面对这12张游戏牌的分配合理的是(　　)A．甲得9张，乙得3张  B．甲得6张，乙得6张C．甲得8张，乙得4张  D．甲得10张，乙得2张解析：选A　由题意，为了决出胜负，最多再赛两局，用“甲”表示甲胜，用“乙”表示乙胜．于是这两局有四种可能，即(甲，甲)，(甲，乙)，(乙，甲)，(乙，乙)其中甲获胜有3种，而乙只有1种，所以甲获胜的概率为，乙获胜的概率为.所以甲得到的游戏牌为12×＝9(张)，乙得到的游戏牌为12×＝3(张)．故选A.二、填空题(本大题共5小题，每小题3分，共15分，请把答案填写在题中横线上)21．已知随机事件A发生的频率是0.02，事件A出现了10次，那么共进行了________次试验．解析：设共进行了n次试验，则有＝0.02，得n＝500，故共进行500次试验．答案：50022．袋中有3只白球和a只黑球，从中任取1只，是白球的概率为，则a＝________.解析：由＝，得a＝18.答案：1823.如图所示，沿田字形路线从A往N走，且只能向右或向下走，随机地选一种走法，则经过点C的概率为________．解析：由A到N所有走法共有6种，而经过点C的走法有4种，故P＝＝.答案：24．将一个各个面上均涂有颜色的正方体锯成27个同样大小的小正方体，从这些小正方体中任取1个，其中恰有两个面涂有颜色的概率是________．解析：27个小正方体中两面涂有颜色的共有12个．如右图所示，每层分成9个小正方体，共分成了三层，其中每一层中有4个小正方体恰有2个面涂有颜色．故恰有两个面涂有颜色的概率P＝＝.答案：25．已知两个实习生每人加工一个零件，加工为一等品的概率分别为和，两个零件是否加工为一等品相互独立，则这两个零件中恰有一个一等品的概率为________. 解析：记两个零件中“恰有一个一等品”的事件为A，则P(A)＝1－×－×＝.答案：三、解答题(本大题共3小题，共25分，解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤)26．(本小题满分8分)某教授为了测试贫困地区和发达地区的同龄儿童的智力，出了10个智力题，每个题10分．然后作了统计，下表是统计结果．贫困地区：参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数162752104256402得60分以上的频率      发达地区：参加测试的人数3050100200500800得60分以上的人数172956111276440得60分以上的频率       (1)利用计算器计算两地区参加测试的儿童中得60分以上的频率；(2)求两个地区参加测试的儿童得60分以上的概率．解：(1)贫困地区依次填：0.533,0.540,0.520,0.520，0.512，0.503.发达地区依次填：0.567,0.580,0.560,0.555,0.552,0.550.(2)贫困地区和发达地区参加测试的儿童得60分以上的频率逐渐趋于0.5和0.55，故概率分别为0.5和0.55.27．(本小题满分8分)某同学参加科普知识竞赛，需回答三个问题．竞赛规则规定：答对第一、二、三个问题分别得100分、100分、200分，答错得零分．假设这名同学答对第一、二、三个问题的概率分别为0.8,0.7,0.6，且各题答对与否相互之间没有影响．(1)求这名同学得300分的概率；(2)求这名同学至少得300分的概率．解：记“这名同学答对第i个问题”为事件Ai(i＝1,2,3)，则P(A1)＝0.8，P(A2)＝0.7，P(A3)＝0.6.(1)这名同学得300分的概率P1＝P(A12A3∪1A2A3)＝P(A1)P(2)P(A3)＋P(1)P(A2)P(A3)＝0.8×0.3×0.6＋0.2×0.7×0.6＝0.228.(2)这名同学至少得300分的概率P2＝P1＋P(A1A2A3)＝0.228＋P(A1)P(A2)P(A3)＝0.228＋0.8×0.7×0.6＝0.564.28．(本小题满分9分)甲、乙两人玩一种游戏，每次由甲、乙各出1到5根手指，若和为偶数算甲赢，否则算乙赢．(1)若以A表示和为6的事件，求P(A)；(2)现连玩三次，若以B表示甲至少赢一次的事件，C表示乙至少赢两次的事件，试问B与C是否为互斥事件？为什么？(3)这种游戏规则公平吗？试说明理由．解：(1)甲、乙出手指都有5种可能的结果，甲出手指的每一个结果都可与乙出手指的任意一个结果配对，组成甲、乙出手指游戏的一个结果．用数字m表示甲出手指的根数，数字n表示乙出手指的根数．则数组(m，n)表示这个试验的一个样本点，因此该试验的样本空间Ω＝{(m，n)|m，n∈{1,2,3,4,5}}，其中共有25个样本点，因为A＝{(1,5)，(5,1)，(2,4)，(4,2)，(3,3)}，所以n(A)＝5，从而P(A)＝＝＝.(2)B与C不是互斥事件．因为事件B与C可以同时发生，如甲赢一次，乙赢两次的事件即符合题意．(3)这种游戏规则不公平．设事件D＝“和为偶数”，则D＝{(1,1)，(1,3)，(1,5)，(2,2)，(2,4)，(3,1)，(3,3)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(5,1)，(5,3)，(5,5)}，所以n(D)＝13.所以甲赢的概率为P(D)＝，乙赢的概率为1－P(D)＝.所以这种游戏规则不公平．B卷——面向全国卷高考滚动检测卷 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．下列事件是随机事件的是(　　)①同种电荷，互相排斥；②明天是晴天；③自由下落的物体作匀速直线运动；④函数y＝ax(a>0且a≠1)在定义域上是增函数．A．①③　　　　　　　　 B．①④C．②④  D．③④解析：选C　②④是随机事件；①是必然事件；③是不可能事件．故选C.2．从4双不同的鞋中任意摸出4只，事件“4只全部成对”的对立事件是(　　)A．至多有2只不成对  B．恰有2只不成对C．4只全部不成对  D．至少有2只不成对解析：选D　从四双不同的鞋中任意摸出4只，可能的结果为“恰有2只成对”，“4只全部成对”，“4只都不成对”，∴事件“4只全部成对”的对立事件是“恰有2只成对”＋“4只都不成对”＝“至少有两只不成对”．故选D.3．下列各组事件中，不是互斥事件的是(　　)A．一个射手进行一次射击，命中环数大于8与命中环数小于6B．统计一个班的数学成绩，平均分不低于90分与平均分不高于90分C．播种100粒菜籽，发芽90粒与发芽80粒D．检验某种产品，合格率高于70%与合格率低于70%解析：选B　对于B，设事件A1为平均分不低于90分，事件A2为平均分不高于90分，则A1∩A2为平均分等于90分，A1，A2可能同时发生，故它们不是互斥事件．故选B.4．我国历法中将一年分为春、夏、秋、冬四个季节，每个季节6个节气，如春季包含立春、雨水、惊蛰、春分、清明、谷雨．某书画院甲、乙、丙、丁4位同学接到绘制二十四节气彩绘任务，现4位同学抽签确定每位同学完成一个季节中的6幅彩绘，在制签抽签公平的前提下，甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是(　　)A.  B．C.  D.解析：选B　由题意可知，每个人抽到的可能性都是相同的，因此甲抽到绘制夏季6幅彩绘的概率是.故选B.5．《中国诗词大会》节目以“赏中华诗词、寻文化基因、品生活之美”为宗旨，邀请全国各个年龄段、各个领域的诗词爱好者共同参与诗词知识竞赛．现组委会要从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人进行比拼，记“甲被选上且乙不被选上”为事件A，则事件A发生的概率为(　　)A．0.3  B．0.4C．0.5  D．0.6解析：选A　甲、乙等五位候选参赛者分别记为甲，乙，c，d，e.则从甲、乙等五位候选参赛者中随机选取2人，该试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)，(乙，c)，(乙，d)，(乙，e)，(c，d)，(c，e)，(d，e)}共有10个样本点．事件A＝{(甲，c)，(甲，d)，(甲，e)}，所以n(A)＝6，从而P(A)＝＝＝0.3.故选A.6．某年级有12个班，现要从2班到12班中选1个班的学生参加一项活动，有人提议：掷两个骰子，得到的点数之和是几就选几班，这种选法(　　)A．公平，每个班被选到的概率都为B．公平，每个班被选到的概率都为C．不公平，6班被选到的概率最大D．不公平，7班被选到的概率最大解析：选D　P(1)＝0，P(2)＝P(12)＝，P(3)＝P(11)＝，P(4)＝P(10)＝，P(5)＝P(9)＝，P(6)＝P(8)＝，P(7)＝.故选D.7．先后抛掷两颗质地均匀的骰子，设出现的点数之和是12,11,10的概率依次是P1，P2，P3，则(　　)A．P1＝P2<P3  B．P1<P2<P3C．P1<P2＝P3  D．P3＝P2<P1解析：选B　先后抛掷两颗质地均匀的骰子的点数共有36个样本点：(1,1)，(1,2)，(1,3)，…，(6,6)，并且每个样本点都是等可能发生的，而点数之和为12的只有1个：(6,6)；点数之和为11的有2个：(5,6)，(6,5)；点数之和为10的有3个：(4,6)，(5,5)，(6,4)，故P1<P2<P3.故选B.8．在一次随机试验中，彼此互斥的事件A，B，C，D发生的概率分别是0.2,0.2,0.3,0.3，则下列说法正确的是(　　)A．A∪B与C是互斥事件，也是对立事件B．B∪C与D是互斥事件，也是对立事件C．A∪C与B∪D是互斥事件，但不是对立事件D．A与B∪C∪D是互斥事件，也是对立事件解析：选D　由于A，B，C，D彼此互斥，且A∪B∪C∪D是一个必然事件，故其事件的关系可如图所示，任何一个事件与其余三个事件的和事件必然是对立事件，任何两个事件的和事件与其余两个事件的和事件也是对立事件．故选D.9．2021年某省新高考改革方案正式出台，本科高校考试招生主要安排在夏季进行，考试科目按“3＋1＋2”模式设置，“3”为全国统一高考的语文、数学、外语，“1”由考生在物理、历史2门中选择1门，“2”由考生在思想政治、地理、化学、生物4门中选择2门．在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　“3＋1＋2”模式中选考科有(物理，生物，化学)，(物理，生物，地理)，(物理，生物，思想政治)，(物理，化学，地理)，(物理，化学，思想政治)，(物理，地理，思想政治)，(历史，生物，化学)，(历史，生物，地理)，(历史，生物，思想政治)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，(历史，地理，思想政治)，共12种情况，其中该学生选择考历史和化学的选法有(历史，化学，生物)，(历史，化学，地理)，(历史，化学，思想政治)，共3种情况，∴在所有选项中某学生选择考历史和化学的概率是＝.故选C.10．已知A，B是相互独立事件，若P(A)＝0.2，P(AB∪B∪A)＝0.44，则P(B)＝(　　)A．0.3  B．0.4C．0.5  D．0.6解析：选A　因为A，B是相互独立事件，所以，B和A，均相互独立．因为P(A)＝0.2，P(AB∪B∪A)＝0.44，所以P(A)P(B)＋P()P(B)＋P(A)P()＝0.44，所以0.2P(B)＋0.8P(B)＋0.2[1－P(B)]＝0.44，解得P(B)＝0.3.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．下列各选项表述正确的是(　　)A．若事件A与事件B为同一样本空间的两个事件，则P(A∪B)＝P(A)＋P(B)B．若事件A与事件B互斥，则P(A)＋P(B)>1C．若事件A与事件B相互独立，则P(A∩B)＝P(A)·P(B)D．A∪B表示A，B两事件恰有一个发生解析：选CD　对于A，同一样本空间内的两个事件A，B，只有A与B互斥时，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，否则不成立，A错；对于B，A与B互斥，则P(A)＋P(B)≤1，B错；对于C，由相互独立事件的定义可知，C正确；对于D，A表示A发生且B不发生，B表示A不发生且B发生，事件A∪B表示A，B两事件恰有一个发生，D正确．故选C、D.12．利用简单随机抽样的方法抽查某工厂的100件产品，其中一等品为20件，二等品为70件，其余为次品，现在这个工厂随机抽查一件产品，设事件A＝“是一等品”，B＝“是二等品”，C＝“是次品”，则下列结果正确的是(　　)A．P(B)＝  B．P(A∪B)＝C．P(A∩B)＝0  D．P(A∪B)＝P(C)解析：选ABC　根据事件的关系及运算求解，A，B为互斥事件，故C项正确；又因为从100件中抽取产品符合古典概型的条件，则A、B两项正确，D项错误．故选A、B、C.13．把一颗质地均匀的骰子任意地掷一次，下列各组事件不是独立事件的组数为(　　)A．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出奇数点}B．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3点}C．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出3的倍数点}D．M＝{掷出偶数点}，N＝{掷出的点数小于4}解析：选ABD　对于A，∵P(M)＝，P(N)＝，P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；对于B，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝0，∴事件M与事件N不独立；对于C，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，∴事件M与事件N独立；对于D，∵P(M)＝，P(N)＝且P(MN)＝，∴事件M与事件N不独立．故选A、B、D.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)14．为了调查某野生动物保护区内某种野生动物的数量，调查人员逮到这种动物1 200只作过标记后放回，一星期后，调查人员再次逮到该种动物1 000只，其中作过标记的有100只，估算保护区有这种动物________只．解析：设保护区内有这种动物x只，因为每只动物被逮到的概率是相同的，所以＝，解得x＝12 000.答案：12 00015．若甲、乙、丙三人随机地站成一排，则甲、乙两人相邻而站的概率为________．解析：此试验的样本空间Ω＝{(甲，乙，丙)，(甲，丙，乙)，(乙，甲，丙)，(乙，丙，甲)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}．记“甲，乙相邻而站”为事件A，则A＝{(甲，乙，丙)，(乙，甲，丙)，(丙，甲，乙)，(丙，乙，甲)}，所以n(A)＝4，从而甲，乙两人相邻而站的概率为P(A)＝＝.答案：16．在抛掷一颗骰子的试验中，事件A表示“不大于4的偶数点出现”，事件B表示“小于5的点出现”，则事件A∪发生的概率为________．( 表示B的对立事件)解析：事件A包含的样本点为“出现2点”或“出现4点”；表示“大于等于5的点出现”，包含的样本点为“出现5点”或“出现6点”．显然A与是互斥的，故P(A∪)＝P(A)＋P()＝＋＝.答案：17．甲袋中有8个白球，4个红球；乙袋中有6个白球，6个红球．从每袋中任取一个球，则取得同色球的概率为________．解析：设从甲袋中任取一个球，事件A为“取得白球”，则事件为“取得红球”，从乙袋中任取一个球，事件B为“取得白球”，则事件为“取得红球”．因为事件A与B相互独立，所以事件与相互独立．所以从每袋中任取一个球，取得同色球的概率为P(AB∪)＝P(AB)＋P()＝P(A)P(B)＋P()·P()＝×＋×＝.答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)从甲、乙、丙、丁四个人中选两名代表，求：(1)甲被选中的概率；(2)丁没被选中的概率．解：四人中选两名代表，这个试验的样本空间Ω＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)，(乙，丙)，(乙，丁)，(丙，丁)}．(1)记“甲被选中”为事件A，则A＝{(甲，乙)，(甲，丙)，(甲，丁)}，所以n(A)＝3，从而P(A)＝＝＝.(2)记“丁没被选中”为事件B，则B＝{(甲，乙)，(甲，丙), (乙，丙)}，所以n(B)＝3，从而P(B)＝＝＝.19．(本小题满分14分)有7位歌手(1至7号)参加一场歌唱比赛，由500名大众评委现场投票决定歌手名次，根据年龄将大众评委分为五组，各组的人数如下：组别ABCDE人数5010015015050 (1)为了调查大众评委对7位歌手的支持情况，现用分层抽样方法从各组中抽取若干评委，其中从B组中抽取了6人．请将其余各组抽取的人数填入下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数 6    (2)在(1)中，若A，B两组被抽到的评委中各有2人支持1号歌手，现从这两组被抽到的评委中分别任选1人，求这2人都支持1号歌手的概率．解：(1)由题设知，分层抽样的抽取比例为6%，所以各组抽取的人数如下表：组别ABCDE人数5010015015050抽取人数36993 (2)记从A组抽到的3个评委为a1，a2，a3，其中a1，a2支持1号歌手；从B组抽到的6个评委为b1，b2，b3，b4，b5，b6，其中b1，b2支持1号歌手．从{a1，a2，a3}和{b1，b2，b3，b4，b5，b6}中各抽取1人的所有可能结果为：由以上树状图知共有18个样本点，其中2人都支持1号歌手的有a1b1，a1b2，a2b1，a2b2，共4个样本点，故所求概率P＝＝.20．(本小题满分14分)某班甲、乙、丙三名同学竞选班委，甲当选的概率为，乙当选的概率为，丙当选的概率为.(1)求恰有一名同学当选的概率；(2)求至多有两人当选的概率．解：设甲、乙、丙当选的事件分别为A，B，C，则P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.(1)易知事件A，B，C相互独立，所以恰有一名同学当选的概率为P(A )＋P(B)＋P( C)＝P(A)P()P()＋P()P(B)P()＋P()P()P(C)＝××＋××＋××＝.(2)至多有两人当选的概率为1－P(ABC)＝1－P(A)P(B)P(C)＝1－××＝.21．(本小题满分14分)(2018·北京高考)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影类型第一类第二类第三类第四类第五类第六类电影部数14050300200800510好评率0.40.20.150.250.20.1好评率是指：一类电影中获得好评的部数与该类电影的部数的比值．(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)随机选取1部电影，估计这部电影没有获得好评的概率；(3)电影公司为增加投资回报，拟改变投资策略，这将导致不同类型电影的好评率发生变化．假设表格中只有两类电影的好评率数据发生变化，那么哪类电影的好评率增加0.1，哪类电影的好评率减少0.1，使得获得好评的电影总部数与样本中的电影总部数的比值达到最大？(只需写出结论)解：(1)由题意知，样本中电影的总部数是140＋50＋300＋200＋800＋510＝2 000(部)，获得好评的第四类电影的部数是200×0.25＝50(部)，故所求概率为＝0.025.(2)由题意知，样本中获得好评的电影部数是140×0.4＋50×0.2＋300×0.15＋200×0.25＋800×0.2＋510×0.1＝56＋10＋45＋50＋160＋51＝372(部)，故所求概率估计为1－＝0.814.(3)增加第五类电影的好评率，减少第二类电影的好评率．22．(本小题满分14分)(2019·辽宁省凌源三校联考)某研究机构为了了解各年龄层对高考改革方案的关注程度，随机选取了200名年龄在[20,45]内的市民进行了调查，并将结果绘制成如图所示的频率分布直方图(第一～五组区间分别为[20,25)，[25,30)，[30,35)，[35,40)，[40,45])．(1)求选取的市民年龄在[40,45]内的人数；(2)若从第3,4组用分层抽样的方法选取5名市民进行座谈，再从中选取2人在座谈会中做重点发言，求做重点发言的市民中至少有一人的年龄在[35,40)内的概率．解：(1)由题意可知，年龄在[40,45]内的频率为P＝0.02×5＝0.1，故年龄在[40,45]内的市民人数为200×0.1＝20(人)．(2)易知，第3组的人数，第4组人数都多于20，且频率之比为3∶2，所以用分层抽样的方法在第3,4两组市民抽取5名参加座谈，应从第3,4组中分别抽取3人，2人．记第3组的3名市民分别为A1，A2，A3，第4组的2名市民分别为B1，B2，则从5名市民中选取2名做重点发言，这个试验的样本空间Ω＝{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，其中共有10个样本点．设事件A＝“第4组的2名B1，B2至少有一名被选中”，则A＝{(A1，B1)，(A1，B2)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A3，B1)，(A3，B2)，(B1，B2)}，共有7个样本点，所以n(A)＝7，所以至少有一人的年龄在[35,40)内的概率为P(A)＝＝.23．(本小题满分14分)A，B，C三个班共有100名学生，为调查他们的体育锻炼情况，通过分层抽样获得了部分学生一周的锻炼时间，数据如下表(单位：小时)：A班6　6.5　7　7.5　8B班6　7　8　9　10　11　12C班3　4.5　6　7.5　9　10.5　12　13.5(1)试估计C班的学生人数；(2)从A班和C班抽出的学生中，各随机选取一人，A班选出的人记为甲，C班选出的人记为乙，假设所有学生的锻炼时间相互独立，求该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长的概率．解：(1)由题意知，抽出的20名学生中，来自C班的学生有8名．根据分层抽样方法，C班的学生人数估计为100×＝40(人)．(2)设事件Ai为“甲是现有样本中A班的第i个人”，i＝1,2，…，5，事件Cj为“乙是现有样本中C班的第j个人”，j＝1,2，…，8.由题意可知，P(Ai)＝，i＝1,2，…，5；P(Cj)＝，j＝1,2，…，8.P(AiCj)＝P(Ai)P(Cj)＝×＝，i＝1,2，…，5，j＝1,2，…，8.设事件E为“该周甲的锻炼时间比乙的锻炼时间长”．由题意知，E＝A1C1∪A1C2∪A2C1∪A2C2∪A2C3∪A3C1∪A3C2∪A3C3∪A4C1∪A4C2∪A4C3∪A5C1∪A5C2∪A5C3∪A5C4.因此P(E)＝P(A1C1)＋P(A1C2)＋P(A2C1)＋P(A2C2)＋P(A2C3)＋P(A3C1)＋P(A3C2)＋P(A3C3)＋P(A4C1)＋P(A4C2)＋P(A4C3)＋P(A5C1)＋P(A5C2)＋P(A5C3)＋P(A5C4)＝15×＝.模块综合检测 (时间：120分钟，满分150分)一、单项选择题(本大题共10小题，每小题4分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．复数z＝，则||＝(　　)A．1　　　　　　　　　　 B．2C.  D.解析：选A　∵z＝＝＝i.∴||＝|z|＝1.故选A.2．已知向量i与j不共线，且＝i＋mj，＝ni＋j，m≠1，若A，B，D三点共线，则mn＝(　　)A.  B．2C．1  D．－3解析：选C　∵A，B，D三点共线，∴∥，设＝λ，则∴mn＝1.故选C.3．已知某运动员每次投篮投中的概率是40%，现采用随机数法估计该运动员三次投篮中，恰有两次投中的概率：先由计算器随机产生0～9中的整数，指定1,2,3,4表示投中，5,6,7,8,9,0表示未投中；再以每三个随机数为一组，代表三次投篮的结果．现产生了如下10组随机数：907,966,191,925,271,431,932,458,569,683.估计该运动员三次投篮恰有两次投中的概率为(　　)A.  B．C.  D.解析：选C　随机模拟产生了10组随机数，在这10组随机数中，表示三次投篮恰有两次投中的有191,271,932，共3组，故所求概率为.故选C.4．在空间中，有如下四个命题：①平行于同一个平面的两条直线是平行直线；②垂直于同一条直线的两个平面是平行平面；③若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α∥β；④过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直．其中正确的命题是(　　)A．①③  B．②④C．①④  D．②③解析：选B　平行于同一个平面的两条直线，可能平行、相交或异面，①不正确；垂直于同一条直线的两个平面是平行平面，②正确；若平面α内有不共线的三个点到平面β的距离相等，则α与β可能平行，也可能相交，③不正确；过平面α的一条斜线有且只有一个平面与平面α垂直，④正确，因为一条斜线只有一条射影，只能确定一个平面．故选B.5．已知数据x1，x2，…，x10,2的平均数为2，方差为1，则数据x1，x2，…，x10相对于原数据(　　)A．一样稳定  B．变得稳定C．变得不稳定  D．稳定性不可以判断解析：选C　数据x1，x2，…，x10,2的平均数为2，方差为1，故[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2＋(2－2)2]＝1，数据x1，x2，…，x10的方差s2＝[(x1－2)2＋(x2－2)2＋…＋(x10－2)2]>1，故相对于原数据变得不稳定．故选C.6．已知两个单位向量a，b的夹角为60°，则下列向量是单位向量的是(　　)A．a＋b  B．a＋bC．a－b  D．a－b解析：选C　法一：∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴a·b＝，∴|a－b|2＝a2－2a·b＋b2＝1－2×＋1＝1，即|a－b|＝1，∴a－b是单位向量．故选C.法二：如图，令＝a，＝b，∵a，b均是单位向量且夹角为60°，∴△OAB为等边三角形，∴||＝|a－b|＝|a|＝|b|＝1，∴a－b是单位向量．故选C.7．某位教师2018年的家庭总收入为80 000元，各种用途占比统计如下面的折线图.2019年收入的各种用途占比统计如下面的条形图，已知2019年的就医费用比2018年增加了4 750元，则该教师2019年的家庭总收入为(　　)A．100 000元  B．95 000元C．90 000元  D．85 000元解析：选D　由已知得，2018年的就医费用为80 000×10%＝8 000(元)，故2019年的就医费用为8 000＋4 750＝12 750(元)，所以该教师2019年的家庭总收入为＝85 000(元)．故选D.8．围棋盒子中有多粒黑子和白子，已知从中取出2粒都是黑子的概率为，都是白子的概率为.则从中任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为(　　)A.　　　　　　　　　　B.C.  D．1解析：选C　设“从中取出2粒都是黑子”为事件A，“从中取出2粒都是白子”为事件B，“任意取出2粒恰好是同一色”为事件C，则C＝A∪B，且事件A与B互斥．所以P(C)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，即任意取出2粒恰好是同一颜色的概率为.故选C.9．已知i为虚数单位，a为实数，复数z＝(a－2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M，则“a＝1”是“点M在第四象限”的(　　)A．充分不必要条件B．必要不充分条件C．充要条件D．既不充分又不必要条件解析：选A　∵复数z＝(a－2i)(1＋i)＝a＋2＋(a－2)i，∴z在复平面内对应的点M的坐标是(a＋2，a－2)．若点M在第四象限，则a＋2>0，a－2<0，∴－2<a<2 ，∴“a＝1”是“点M在第四象限”的充分不必要条件．故选A.10．已知三棱锥S­ABC的所有顶点都在球O的球面上，△ABC是边长为1的正三角形，SC为球O的直径，且SC＝2，则此棱锥的体积为(　　)A.  B．C.  D.解析：选A　在直角三角形ASC中，AC＝1，∠SAC＝90°，SC＝2，所以SA＝＝；同理，SB＝.过A点作SC的垂线交SC于D点，连接DB(图略)，因为△SAC≌△SBC，故BD⊥SC，故SC⊥平面ABD，且△ABD为等腰三角形．因为∠ASC＝30°，故AD＝SA＝，则△ABD的面积为×1× ＝，则三棱锥的体积为××2＝.故选A.二、多项选择题(本大题共3小题，每小题4分，共12分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的．全部选对的得4分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)11．设a＝(＋)＋(＋)，b是任一非零向量，则在下列结论中正确的为(　　)A．a∥b  B．a＋b＝bC．a－b＝b  D．|a－b|<|a|＋|b|解析：选AB　∵a＝(＋)＋(＋)＝(＋)＋(＋)＝＋＝0，b为任一非零向量．∴a∥b，a＋b＝0＋b＝b，∴A、B正确．a－b＝0－b＝－b，|a－b|＝|0－b|＝|b|，|a|＋|b|＝|0|＋|b|＝|b|，∴|a－b|＝|a|＋|b|，C、D错误．故选A、B.12．某城市为了解游客人数的变化规律，提高旅游服务质量，收集并整理了2017年1月至2019年12月期间月接待游客量(单位：万人)的数据，绘制了下面的折线图．根据该折线图，下列结论正确的是(　　)A．月接待游客量逐月增加B．年接待游客量逐年增加C．各年的月接待游客量高峰期大致在7、8月D．各年1月至6月的月接待游客量相对于7月至12月，波动性更小，变化比较平稳解析：选BCD　根据折线图可知，2017年8月到9月、2017年10月到11月等月接待游客量都在减少，所以A错误．由图可知，B、C、D正确．故选B、C、D.13.如图，正三棱柱ABC­A1B1C1各条棱的长度均相等，D为AA1的中点，M，N分别是线段BB1和线段CC1上的动点(含端点)，且满足BM＝C1N，当M，N运动时，下列结论中正确的是(　　)A．在△DMN内总存在与平面ABC平行的线段B．平面DMN⊥平面BCC1B1C．三棱锥A1­DMN的体积为定值D．△DMN可能为直角三角形解析：选ABC　用平行于平面ABC的平面截平面DMN，则交线平行于平面ABC，故A正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，若满足BM＝C1N，则线段MN必过正方形BCC1B1的中心O，由DO⊥平面BCC1B1可得平面DMN⊥平面BCC1B1，故B正确；当M，N分别在BB1，CC1上运动时，△A1DM的面积不变，点N到平面A1DM的距离不变，所以三棱锥N­A1DM 的体积不变，即三棱锥A1­DMN的体积为定值，故C正确；若△DMN为直角三角形，则必是以∠MDN为直角的直角三角形，易证DM＝DN，所以△DMN为等腰直角三角形，所以DO＝OM＝ON，即MN＝2DO.设正三棱柱的棱长为2，则DO＝，MN＝2.因为MN的最大值为BC1，BC1＝2，所以MN不可能为2，所以△DMN不可能为直角三角形，故D错误．故选A、B、C.三、填空题(本大题共4小题，每小题4分，共16分．把答案填在题中的横线上)14．若复数z满足i·z＝1＋2i，其中i是虚数单位，则z的实部为________．解析：∵复数z＝＝(1＋2i)(－i)＝2－i，∴z的实部为2.答案：215．去年，相关部门对某城市“五朵金花”之一的某景区在“十一”黄金周中每天的游客人数作了统计，其频率分布如下表所示：时间10月1日10月2日10月3日10月4日10月5日10月6日10月7日频率0.050.080.090.130.300.150.20已知10月1日这天该景区的营业额约为8万元，假定这七天每天游客人均消费相同，则这个黄金周该景区游客人数最多的那一天的营业额约为________万元．解析：由＝，得x＝48，即为该景区游客人数最多的一天的营业额．答案：4816．事件A，B，C相互独立，如果P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，则P(B)＝________，P(B)＝________.解析：由题意得由③÷①得P()＝，所以P(C)＝1－P()＝1－＝.将P(C)＝代入②得P()＝，所以P(B)＝1－P()＝，由①可得P(A)＝，所以P( B)＝P()P(B)＝×＝.答案：　17.如图所示，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，若存在平面α，使每条棱所在的直线与平面α所成的角都相等，则各棱所在的直线与此平面所成角的正切值为________．解析：根据题意可知，正方体的每条棱实质上可转化为过同一顶点的三条棱，不妨转化为过点B1的三条棱B1A1，B1C1，B1B，连接A1C1，A1B，BC1，如图所示，可以发现这三条棱所在的直线与平面A1BC1所成的角均相等．取BC1的中点E，连接A1E，B1E，则在正三棱锥B1­A1BC1中，顶点B1在平面A1BC1中的射影为等边三角形A1BC1的中心，即点M，连接B1M，则A1M是线段A1B1在平面A1BC1中的射影，所以∠B1A1E为棱B1A1所在的直线与平面A1BC1所成的角．设正方体棱长为a，则B1A1＝a，B1E＝a，且A1B1⊥B1E，则tan∠B1A1E＝＝＝.答案：四、解答题(本大题共6小题，共82分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤)18．(本小题满分12分)在平面直角坐标系xOy中，已知点A(1,4)，B(－2,3)，C(2，－1)．(1)求·及|＋|；(2)设实数t满足(－t)⊥，求t的值．解：(1)∵＝(－3，－1)，＝(1，－5)，∴·＝(－3)×1＋(－1)×(－5)＝2.∵＋＝(－2，－6)，∴|＋|＝＝2.(2)∵－t＝(－3－2t，－1＋t)，＝(2，－1)，且(－t)⊥，∴(－t)·＝0，∴(－3－2t)×2＋(－1＋t)×(－1)＝0，∴t＝－1.19．(本小题满分14分)设z是虚数，ω＝z＋是实数，且－1<ω<2，求(1)|z|；(2)z的实部的取值范围．解：(1)设z＝a＋bi(a，b∈R且b≠0)则ω＝a＋bi＋＝＋i因为ω是实数，z是虚数，且b≠0所以a2＋b2＝1即|z|＝ ＝1.(2)由(1)可知，ω＝2a又因－1<ω<2所以－1<2a<2即－<a<1所以z的实部的取值范围是.20．(本小题满分14分)某射击运动员进行双向飞碟射击训练，各次训练的成绩记录如下：射击次数100120150100150160150击中飞碟数819512382119129121击中飞碟的频率        (1)将各次记录击中飞碟的频率填入表中；(2)这个运动员击中飞碟的概率约为多少？解：(1)射击次数100，击中飞碟数是81，故击中飞碟的频率是＝0.81，同理可求得之后的频率依次约为0.792，0.820,0.820,0.793,0.806,0.807.(2)击中飞碟的频率稳定在0.81附近，故这个运动员击中飞碟的概率约为0.81.21．(本小题满分14分)为了了解学生参加体育活动的情况，某校对学生进行了随机抽样调查，其中一个问题是“你平均每天参加体育活动的时间是多少”，共有4个选项可供选择：A．1.5小时以上  B．1～1.5小时C．0.5～1小时  D．0.5小时以下下图是根据调查结果绘制的两幅不完整的统计图，请你根据统计图提供的信息解答以下问题：(1)本次一共调查了多少名学生；(2)在图①中将选项B对应的部分补充完整；(3)若该校有3 000名学生，你估计全校有多少名学生平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下？解：(1)由题图①知，选A的人数为60，而图②显示，选A的人数占总人数的30%，故本次调查的总人数为60÷30%＝200(人)．(2)由题图②知，选B的人数占总人数的50%，因此其人数为200×50%＝100(人)，图①补充如图所示：(3)根据图②知：平均每天参加体育活动的时间在0.5小时以下的人数占统计人数的5%，以此估计得3 000×5%＝150(人)．22．(本小题满分14分)如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．(1)求证：PE⊥BC；(2)求证：平面PAB⊥平面PCD；(3)求证：EF∥平面PCD.证明：(1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD.因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD，所以PE⊥BC.(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD.又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD，因为PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD.又因为PA⊥PD，AB∩PA＝A，所以PD⊥平面PAB.因为PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD.(3)如图，取PC的中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝BC.因为四边形ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝BC.所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD.23．(本小题满分14分)某服装店对过去100天其实体店和网店的销售量(单位：件)进行了统计，制成频率分布直方图如下：(1)若将上述频率视为概率，已知该服装店过去100天的销售中，实体店和网店销售量都不低于50的概率为0.24，求过去100天的销售中，实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数；(2)若将上述频率视为概率，已知该服装店实体店每天的人工成本为500元，门市成本为1 200元，每售出一件利润为50元，求该实体店一天获利不低于800元的概率；(3)根据销售量的频率分布直方图，求该服装店网店销售量的中位数的估计值(精确到0.01)．解：(1)由题意知，网店销售量不低于50共有(0.068＋0.046＋0.010＋0.008)×5×100＝66(天)，实体店销售量不低于50共有(0.032＋0.020＋0.012×2)×5×100＝38(天)，实体店和网店销售量都不低于50的天数为100×0.24＝24(天)．故实体店和网店至少有一边销售量不低于50的天数为66＋38－24＝80(天)．(2)由题意，设该实体店一天售出x件，则获利为(50x－1 700)元，50x－1 700≥800⇒x≥50.设“该实体店一天获利不低于800元”为事件A，则P(A)＝P(x≥50)＝(0.032＋0.020＋0.012＋0.012)×5＝0.38.故该实体店一天获利不低于800元的概率为0.38.(3)因为网店销售量频率分布直方图中，销售量低于50的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044)×5＝0.34<0.5，销售量低于55的直方图面积为(0.004＋0.020＋0.044＋0.068)×5＝0.68>0.5，因此中位数落在区间[50,55)内，设中位数为y，由0.34＋0.068×(y－50)＝0.5，解得y≈52.35.所以该服装店网店销售量的中位数约为52.35.