课时跟踪检测（二十五） 直线与直线平行

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1．两等角的一组对应边平行，则( )
A．另一组对应边平行
B．另一组对应边不平行
C．另一组对应边不可能垂直
D．以上都不对
解析：选D 另一组对应边可能平行，也可能不平行，也可能垂直．注意和等角定理(若两个角的对应边平行，则这两个角相等或互补)的区别．故选D.
2.如图所示，在三棱锥S ­MNP中，E，F，G，H分别是棱SN，SP，MN，MP的中点，则EF与HG的位置关系是( )
A．平行 B．相交
C．异面 D．平行或异面
解析：选A ∵E，F分别是SN和SP的中点，∴EF∥PN.同理可证HG∥PN，∴EF∥HG.故选A.
3.如图，用正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是BC1，CD1的中点，则下列说法错误的是( )
A．MN与CC1垂直
B．MN与AC垂直
C．MN与BD平行
D．MN与A1B1平行
解析：选D 如图，连接C1D，在△C1DB中，MN∥BD，故C正确；
∵BB1⊥BD，BB1∥CC1，
∴CC1⊥BD，
∴MN与CC1垂直，故A正确；
∵AC⊥BD，MN∥BD，
∴MN与AC垂直，故B正确；
∵A1B1与BD异面，MN∥BD，
∴MN与A1B1不可能平行，故D错误．故选D.
4．已知直线a，b，c，下列三个命题：
①若a与b异面，b与c异面，则c与c异面；
②若a∥b，a和c相交，则b和c也相交；
③若a⊥b，a⊥c，则b∥c.
其中，正确命题的个数是( )
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选A ①不正确如图；②不正确，有可能相交也有可能异面；③不正确；可能平行，可能相交也可能异面．故选A.
5．[多选]在空间四面体ABCD中，如图E，F，G，H分别是AB，BC，AD，DC的中点，则下列结论一定正确的选项为( )
A．EG＝FH B．EF＝GH
C．EH与FG相交 D．EG＝HG
解析：选ABC 由题意知，EG綊eq \f(1,2)BD，FH綊eq \f(1,2)BD，∴EG綊FH，
∴四边形EGHF为平行四边形．
∴EG＝FH，EF＝GH.
∴EH与FG共面且相交，故A、B、C正确，但EG不一定与HG相等．故选A、B、C.
6．如图，在三棱柱ABC­A1B1C1中，E，F分别是AB，AC上的点，且AE∶EB＝AF∶FC，则EF与B1C1的位置关系是__________.
解析：在△ABC中，因为AE∶EB＝AF∶FC，所以EF∥BC.又在三棱柱ABC­A1B1C1中，BC∥B1C1，所以EF∥B1C1.
答案：平行
7．在空间四边形ABCD中，如图所示，eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)，则EH与FG的位置关系是________．
解析：如图，连接BD，在△ABD中，
eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)，
则EH∥BD，
同理可得FG∥BD.
∴EH∥FG.
答案：平行
8．如图，在四面体A­BCD中，M，N，P，Q，E分别是AB，BC，CD，AD，AC的中点，则下列说法中正确的序号是________．
①M，N，P，Q四点共面；②∠QME＝∠CBD；③△BCD∽△MEQ；④四边形MNPQ为梯形．
解析：由中位线定理，易知MQ∥BD，ME∥BC，QE∥CD，NP∥BD.对于①，有MQ∥NP，所以M，N，P，Q四点共面，故①说法正确；对于②，根据等角定理，得∠QME＝∠CBD，故②说法正确；对于③，由等角定理，知∠QME＝∠CBD，∠MEQ＝∠BCD，所以△BCD∽△MEQ，故③说法正确；由三角形的中位线定理，知MQ綊eq \f(1,2)BD，NP綊eq \f(1,2)BD，所以MQ綊NP，所以四边形MNPQ为平行四边形，故④说法不正确．
答案：①②③
9．已知E，F，G，H为空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA上的点，若eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，试判断四边形EFGH形状．
解：如图，在△ABD中，
∵eq \f(AE,AB)＝eq \f(AH,AD)＝eq \f(1,2)，∴EH∥BD且EH＝eq \f(1,2)BD.
在△BCD中，∵eq \f(CF,CB)＝eq \f(CG,CD)＝eq \f(1,3)，∴FG∥BD且FG＝eq \f(1,3)BD，
∴EH∥FG且EH>FG，
∴四边形EFGH为梯形．
10．已知正方体ABCD­A1B1C1D1，E，F分别为AA1，CC1的中点. 求证：BF∥ED1.
证明：如图，取BB1的中点G，连接GC1，GE，
因为F为CC1的中点，所以BG∥C1F，
所以四边形BGC1F为平行四边形，所以BF∥GC1，
又因为EG∥A1B1，A1B1∥C1D1 ，所以EG∥C1D1，
所以四边形EGC1D1为平行四边形，
所以ED1∥GC1，所以BF∥ED1.
B级——面向全国卷高考高分练
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，E，F分别是侧面AA1D1D，侧面CC1D1D的中心，G，H分别是线段AB，BC的中点，则直线EF与直线GH的位置关系是( )
A．相交 B．异面
C．平行 D．垂直
解析：选C 如图，连接AD1，CD1，AC，则E，F分别为AD1，CD1的中点．由三角形的中位线定理，知EF∥AC，GH∥AC，所以EF∥GH.故选C.
2．已知在空间四边形ABCD中，M，N分别是AB，CD的中点，且AC＝4，BD＝6，则( )
A．1＜MN＜5 B．2＜MN＜10
C．1≤MN≤5 D．2＜MN＜5
解析：选A 取AD的中点H，连接MH，NH(图略)，则MH∥BD，且MH＝eq \f(1,2)BD，NH∥AC，且NH＝eq \f(1,2)AC，且M，N，H三点构成三角形，由三角形中三边关系，可得MH－NH3．已知直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的( )
A．必要不充分条件 B．充分不必要条件
C．充要条件 D．既不充分又不必要条件
解析：选B 直线a，b分别在两个不同的平面α，β内，则由“直线a和直线b相交”可得“平面α和平面β相交”，反之不成立．所以“直线a和直线b相交”是“平面α和平面β相交”的充分不必要条件．故选B.
4．已知l1，l2，l3是空间中三条不同的直线，则下列命题正确的是( )
A．l1⊥l2，l2⊥l3⇒l1∥l3
B．l1⊥l2，l2∥l3⇒l1⊥l3
C．l1∥l2∥l3⇒l1，l2，l3共面
D．l1，l2，l3共点⇒l1，l2，l3共面
解析：选B 在空间中，垂直于同一直线的两条直线不一定平行，故A错；两条平行直线中的一条垂直于第三条直线，则另一条也垂直于第三条直线，故B正确；相互平行的三条直线不一定共面，如三棱柱的三条侧棱，故C错；共点的三条直线不一定共面，如三棱锥的三条侧棱，故D错．故选B.
5．给出下列四个命题，其中正确命题的序号是_________．
①在空间中若两条直线不相交，则它们一定平行；
②平行于同一条直线的两条直线平行；
③一条直线和两条平行直线的一条相交，那么它也和另一条相交；
④空间四条直线 a，b，c，d，如果 a∥b，c∥d，且 a∥d，那么 b∥c.
解析：①错，可以异面；②正确，是基本事实4；③错误，和另一条可以异面；④正确，由平行直线的传递性可知．
答案：②④
6．如图，长方体ABCD­A1B1C1D1中．
(1)直线A1B与直线D1C的位置关系是________．
(2)∠A1BA与∠D1CD的大小关系是________．
解析：(1)在长方体ABCD­A1B1C1D1中，A1D1綊BC，
∴四边形A1BCD1为平行四边形，∴A1B∥D1C.
(2)由(1)及AB∥DC，根据等角定理可得∠A1BA＝∠D1CD.
答案：(1)A1B∥D1C (2)∠A1BA＝∠D1CD
7．如图，已知E，F，G，H分别是空间四边形ABCD的边AB，BC，CD，DA的中点．
(1)求证：E，F，G，H四点共面；
(2)若四边形EFGH是矩形，求证：AC⊥BD.
证明：(1)如题图，在△ABD中，
∵E，H分别是AB，AD的中点，
∴EH∥BD.同理FG∥BD，则EH∥FG.
故E，F，G，H四点共面．
(2)由(1)知EH∥BD，同理AC∥GH.
又∵四边形EFGH是矩形，
∴EH⊥GH.故AC⊥BD.
C级——拓展探索性题目应用练
如图所示为一长方体木料，经过木料的面A1C1内有一点P，经过点P作棱BC的平行线，应该怎样画？并说明理由．
解：如图所示，在面A1C1内过P作直线EF∥B1C1，交A1B1于点E，交C1D1于点F，则直线EF即为所求．
理由：因为EF∥B1C1，BC∥B1C1，所以EF∥BC.