课时跟踪检测（七） 平面向量的正交分解及坐标表示

这是一份课时跟踪检测（七） 平面向量的正交分解及坐标表示，共5页。试卷主要包含了故选C.，已知向量a＝，b＝，c＝等内容，欢迎下载使用。

平面向量加、减运算的坐标表示
平面向量数乘运算的坐标表示
A级——新课合格性考试达标练
1．若O(0,0)，A(1,2)，且eq \(OA′,\s\up7(―→))＝2eq \(OA,\s\up7(―→))，则A′点坐标为( )
A．(1,4) B．(2,2)
C．(2,4) D．(4,2)
解析：选C 设A′(x，y)，eq \(OA′,\s\up7(―→))＝(x，y)，eq \(OA,\s\up7(―→))＝(1,2)，
∴(x，y)＝(2,4)．故选C.
2．已知向量a＝(－2,4)，b＝(1，－2)，则a与b的关系是( )
A．不共线 B．相等
C．方向相同 D．方向相反
解析：选D ∵a＝－2b，∴a与b方向相反．故选D.
3．已知向量a＝(1,2)，2a＋b＝(3,2)，则b＝( )
A．(1，－2) B．(1,2)
C．(5,6) D．(2,0)
解析：选A b＝(3,2)－2a＝(3,2)－(2,4)＝(1，－2)．故选A.
4．若向量a＝(eq \r(3)，1)，b＝(0，－2)，则与a＋2b共线的向量可以是( )
A．(eq \r(3)，－1) B．(－1，－eq \r(3))
C．(－eq \r(3)，－1) D．(－1，eq \r(3))
解析：选D 法一：∵a＋2b＝(eq \r(3)，－3)，
∴eq \r(3)×eq \r(3)－(－1)×(－3)＝0.∴(－1，eq \r(3))与a＋2b是共线向量．故选D.
法二：∵a＋2b＝(eq \r(3)，－3)＝－eq \r(3)(－1，eq \r(3))，
∴向量a＋2b与(－1，eq \r(3))是共线向量．故选D.
5．在平行四边形ABCD中，A(1,2)，B(3,5)，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，则eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝( )
A．(－2,4) B．(4,6)
C．(－6，－2) D．(－1,9)
解析：选A 在平行四边形ABCD中，因为A(1,2)，B(3，5)，所以eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)．又eq \(AD,\s\up7(―→))＝(－1,2)，所以eq \(AC,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝(1,5)，eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(AD,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→))＝(－3，－1)，所以eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＝(－2,4)．故选A.
6．已知向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，则实数x的值为________．
解析：∵向量a＝(3x－1,4)与b＝(1,2)共线，
∴2(3x－1)－4×1＝0，解得x＝1.
答案：1
7．若A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，则eq \(AB,\s\up7(―→))＋2eq \(BC,\s\up7(―→))＝________.
解析：∵A(2，－1)，B(4,2)，C(1,5)，
∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝(2,3)，eq \(BC,\s\up7(―→))＝(－3,3)．∴eq \(AB,\s\up7(―→))＋2eq \(BC,\s\up7(―→))＝(2,3)＋2(－3，3)＝(2,3)＋(－6,6)＝(－4,9)．
答案：(－4,9)
8．已知向量a＝(3,1)，b＝(1,3)，c＝(k,7)．若(a－c)∥b，则k＝________.
解析：a－c＝(3－k，－6)，∵(a－c)∥b，
∴3(3－k)＋6＝0，解得k＝5.
答案：5
9．已知向量a＝(1,2)，b＝(x,1)，u＝a＋2b，v＝2a－b，且u∥v，求实数x的值．
解：因为a＝(1,2)，b＝(x,1)，
所以u＝a＋2b＝(1,2)＋2(x,1)＝(2x＋1,4)，
v＝2a－b＝2(1,2)－(x,1)＝(2－x,3)．
又因为u∥v，所以3(2x＋1)－4(2－x)＝0，解得x＝eq \f(1,2).
10．已知a＝eq \(AB,\s\up7(―→))，B点坐标为(1,0)，b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，且a＝3b－2c，求点A的坐标．
解：∵b＝(－3,4)，c＝(－1,1)，
∴3b－2c＝3(－3,4)－2(－1,1)＝(－9,12)－(－2,2)＝(－7,10)，
即a＝(－7,10)＝eq \(AB,\s\up7(―→)).
又B(1,0)，设A点坐标为(x，y)，
则eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1－x,0－y)＝(－7,10)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1－x＝－7，,0－y＝10，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝8，,y＝－10.))
∴A点坐标为(8，－10)．
B级——面向全国卷高考高分练
1．已知向量a＝(1,2)，b＝(1,0)，c＝(3,4)．若λ为实数，(a＋λb)∥c，则λ＝( )
A.eq \f(1,4) B.eq \f(1,2)
C．1 D．2
解析：选B 由题意可得a＋λb＝(1＋λ，2)．由(a＋λb)∥c，得(1＋λ)4－3×2＝0，解得λ＝eq \f(1,2).故选B.
2．已知三点A(－1,1)，B(0,2)，C(2,0)，若eq \(AB,\s\up7(―→))和eq \(CD,\s\up7(―→))是相反向量，则D点坐标是( )
A．(1,0) B．(－1,0)
C．(1，－1) D．(－1,1)
解析：选C ∵eq \(AB,\s\up7(―→))与eq \(CD,\s\up7(―→))是相反向量，∴eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \(CD,\s\up7(―→)). 又eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,1)，∴eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－1，－1)．设D(x，y)，则eq \(CD,\s\up7(―→))＝(x－2，y)＝(－1，－1)．从而x＝1，y＝－1，即D(1，－1)．故选C.
3．已知四边形ABCD为平行四边形，其中A(5，－1)，B(－1，7)，C(1,2)，则顶点D的坐标为( )
A．(－7,6) B．(7,6)
C．(6,7) D．(7，－6)
解析：选D 设D(x，y)，由eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))，得(x－5，y＋1)＝(2，－5)，∴x＝7，y＝－6，∴D(7，－6)．故选D.
4．[多选]已知向量i＝(1,0)，j＝(0,1)，对坐标平面内的任一向量a，下列说法错误的是( )
A．存在唯一的一对实数x，y，使得a＝(x，y)
B．若x1，x2，y1，y2∈R，a＝(x1，y1)≠(x2，y2)，则x1≠x2，且y1≠y2
C．若x，y∈R，a＝(x，y)，且a≠0，则a的起点是原点O
D．若x，y∈R，a≠0，且a的终点坐标是(x，y)，则a＝(x，y)
解析：选BCD 由平面向量基本定理，可知A正确；例如，a＝(1,0)≠(1,3)，但1＝1，故B错误；因为向量可以平移，所以a＝(x，y)与a的起点是不是原点无关，故C错误；当a的终点坐标是(x，y)时，a＝(x，y)是以a的始点是原点为前提的，故D错误．故选B、C、D.
5．设向量a＝(1,2)，b＝(－3,5)，c＝(4，x)，若a＋b＝λc(λ∈R)，则λ＋x＝________.
解析：由已知，可得(1,2)＋(－3,5)＝λ(4，x)，所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(4λ＝－2，,xλ＝7，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λ＝－\f(1,2)，,x＝－14，))所以λ＋x＝－eq \f(29,2).
答案：－eq \f(29,2)
6．已知A，B，C三点共线，eq \(BA,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up7(―→))，点A，B的纵坐标分别为2,5，则点C的纵坐标为________．
解析：设点C的纵坐标为y，∵A，B，C三点共线，eq \(BA,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,8)eq \(AC,\s\up7(―→))，A，B的纵坐标分别为2,5，
∴2－5＝－eq \f(3,8)(y－2)．∴y＝10.
答案：10
7．已知向量eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)．
(1)若点A，B，C不能构成三角形，求x，y满足的条件；
(2)若eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(BC,\s\up7(―→))，求x，y的值．
解：(1)因为点A，B，C不能构成三角形，则A，B，C三点共线．
由eq \(OA,\s\up7(―→))＝(3，－4)，eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，
eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)得eq \(AB,\s\up7(―→))＝(3,1)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2－x,1－y)，
所以3(1－y)＝2－x.
所以x，y满足的条件为x－3y＋1＝0.
(2)由eq \(OB,\s\up7(―→))＝(6，－3)，eq \(OC,\s\up7(―→))＝(5－x，－3－y)，得
eq \(BC,\s\up7(―→))＝(－x－1，－y)，
由eq \(AC,\s\up7(―→))＝2eq \(BC,\s\up7(―→))得(2－x,1－y)＝2(－x－1，－y)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2－x＝－2x－2，,1－y＝－2y，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝－4，,y＝－1.))
C级——拓展探索性题目应用练
已知A(1，－2)，B(2,1)，C(3,2)和D(－2,3)，以eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AC,\s\up7(―→))为一组基底来表示eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→)).
解：∵eq \(AB,\s\up7(―→))＝(1,3)，eq \(AC,\s\up7(―→))＝(2,4)，eq \(AD,\s\up7(―→))＝(－3,5)，
eq \(BD,\s\up7(―→))＝(－4,2)，eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－5,1)，
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝(－3,5)＋(－4,2)＋(－5,1)＝(－12，8)．
根据平面向量基本定理，一定存在实数m，n，使得
eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝meq \(AB,\s\up7(―→))＋neq \(AC,\s\up7(―→))，
∴(－12,8)＝m(1,3)＋n(2,4)，
即(－12,8)＝(m＋2n,3m＋4n)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＋2n＝－12，,3m＋4n＝8，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(m＝32，,n＝－22.))
∴eq \(AD,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝32eq \(AB,\s\up7(―→))－22eq \(AC,\s\up7(―→)).