课时跟踪检测（三十） 直线与直线垂直

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1.如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，直线BD与A1C1的位置关系是( )
A．平行
B．相交
C．异面但不垂直
D．异面且垂直
解析：选D 因为正方体的对面平行，所以直线BD与A1C1异面，连接AC，则AC∥A1C1，AC⊥BD，所以直线BD与A1C1垂直，所以直线BD与A1C1异面且垂直．故选D.
2．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，与直线AA1垂直的棱有________条．( )
A．2 B．4
C．6 D．8
解析：选D 在正方体AC1中，与AA1垂直的棱为A1B1，B1C1，C1D1，D1A1，AB，BC，CD，DA，共8条．故选D.
3．空间四边形ABCD中，E，F分别为AC，BD中点，若CD＝2AB，EF⊥AB，则EF与CD所成的角为( )
A．30° B．45°
C．60° D．90°
解析：选A 取AD的中点H，连FH，EH，在△EFH中 ∠EFH＝90°，HE＝2HF，从而∠FEH＝30°.故选A.
4.如图，正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC与BC1所成角的大小是( )
A．120° B．90°
C．60° D．30°
解析：选C 如图，连接AD1，则AD1∥BC1.
∴∠CAD1(或其补角)就是AC与BC1所成的角，连接CD1，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，AC＝AD1＝CD1，
∴∠CAD1＝60°，
即AC与BC1所成的角为60°.故选C.
5.[多选]如图，三棱柱ABC­A1B1C1中，底面三角形A1B1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是( )
A．直线CC1与直线B1E相交
B．CC1与AE共面
C．AE与B1C1是异面直线
D．AE与B1C1垂直
解析：选ACD 因为CE∥B1C1且CE＝eq \f(1,2)B1C1，所以
四边形CEB1C1为梯形．CC1与B1E必相交．A正确．由几何图形可知B错误，C正确．AE与B1C1所成的角就是AE与BC所成的角，又E为BC的中点，△ABC为正三角形，所以AE⊥BC，即AE与B1C1所成的角为90°，选项D正确．故选A、C、D.
6．如图，空间四边形ABCD的对角线AC＝8，BD＝6，M，N分别为AB，CD的中点，并且异面直线AC与BD所成的角为90°，则MN＝________.
解析：取AD的中点P，连接PM，PN，
则BD∥PM，AC∥PN，∴∠MPN即为异面直线AC与BD所成的角，∴∠MPN＝90°，PN＝eq \f(1,2)AC＝4，PM＝eq \f(1,2)BD＝3，∴MN＝5.
答案：5
7.如图，在三棱锥A­BCD中，E，F，G分别是AB，BC，AD的中点，∠GEF＝120°，则BD和AC所成角的度数为________．
解析：依题意知，EG∥BD，EF∥AC，所以∠GEF或其补角即为异面直线AC与BD所成的角，又∠GEF＝120°，所以异面直线BD与AC所成的角为60°.
答案：60°
8．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB＝2，AD＝1，点E，F，G分别是DD1，AB，CC1的中点，则异面直线A1E与GF所成的角是________．
解析：如图，连接EG，GB1，可得A1B1綊EG，所以四边形A1B1GE为平行四边形，所以A1E∥B1G，连接FB1，则∠FGB1就是异面直线A1E与GF所成的角．因为FB1＝eq \r(5)，GB1＝eq \r(2)，FG＝ eq \r(CG2＋CF2)＝eq \r(1＋1＋1)＝eq \r(3)，所以FBeq \\al(2,1)＝FG2＋GBeq \\al(2,1)，即∠FGB1＝90°.
答案：90°
9．如图所示，在空间四边形ABCD中，AD＝BC＝2，E，F分别是AB，CD的中点．若EF＝eq \r(2).
求证：AD⊥BC.
证明：取BD的中点H，连接EH，FH，
因为E是AB的中点，且AD＝2，
所以EH∥AD，EH＝1.同理FH∥BC，FH＝1，
所以∠EHF(或其补角)是异面直线AD，BC所成的角，
又因为EF＝eq \r(2)，所以EH2＋FH2＝EF2，
所以△EFH是等腰直角三角形，EF是斜边，
所以∠EHF＝90°，即AD，BC所成的角是90°.
故AD⊥BC.
10．如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，M，N分别是棱CD，CC1的中点．求异面直线A1M与DN所成的角的大小．
解：如图，过点M作ME∥DN交CC1于点E，连接A1E，则∠A1ME为异面直线A1M与DN所成的角(或其补角)．
设正方体的棱长为a，则A1M＝eq \f(3,2)a，ME＝eq \f(\r(5),4)a，A1E＝eq \f(\r(41),4)a，
所以A1M2＋ME2＝A1E2，所以∠A1ME＝90°，即异面直线A1M与DN所成的角为90°.
B级——面向全国卷高考高分练
1．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，则异面直线C1M与BN所成角为( )
A．30° B．60°
C．90° D．120°
解析：选C 如图，在正方体ABCD­A1B1C1D1中，CD的中点为M，AA1的中点为N，作AB的中点P，连接B1P，则B1P∥C1M，易得B1P⊥BN，所以异面直线C1M与BN所成的角为90°.故选C.
2．空间四边形的对角线互相垂直且相等，顺次连接这个四边形各边中点，所组成的四边形是( )
A．梯形 B．矩形
C．平行四边形 D．正方形
解析：选D ∵E，F，G，H分别为中点，如图．
∴FG綊EH綊eq \f(1,2)BD，
HG綊EF綊eq \f(1,2)AC，
又∵BD⊥AC且BD＝AC，
∴FG⊥HG且FG＝HG，∴四边形EFGH为正方形．故选D.
3．点E，F分别是三棱锥P­ABC的棱AP，BC的中点，AB＝6，PC＝8，EF＝5，则异面直线AB与PC所成的角为( )
A．60° B．45°
C．30° D．90°
解析：选D 如图，取PB的中点G，连接EG，FG，则EG綊eq \f(1,2)AB，GF綊eq \f(1,2)PC，则∠EGF(或其补角)即为AB与PC所成的角，在△EFG中，EG＝eq \f(1,2)AB＝3，FG＝eq \f(1,2)PC＝4，EF＝5，所以∠EGF＝90°.故选D.
4．在正三棱柱ABC­A1B1C1中，若AB＝eq \r(2)BB1，则AB1与BC1所成的角的大小是( )
A．60° B．75°
C．90° D．105°
解析：选C 设BB1＝1，如图，延长CC1至C2，使C1C2＝CC1＝1，连接B1C2，则B1C2∥BC1，所以∠AB1C2为AB1与BC1所成的角(或其补角)，连接AC2，因为AB1＝eq \r(3)，B1C2＝eq \r(3)，AC2＝eq \r(6)，所以ACeq \\al(2,2)＝ABeq \\al(2,1)＋B1Ceq \\al(2,2)，则∠AB1C2＝90°.故选C.
5.如图正方体ABCD­A1B1C1D1中，与AD1异面且与AD1所成的角为90°的面对角线(面对角线是指正方体各个面上的对角线)共有________条．
解析：与AD1异面的面对角线分别为：A1C1，B1C，BD，BA1，C1D，其中只有B1C和AD1所成的角为90°.
答案：1
6.一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中有如下结论：
①AB⊥EF；
②AB与CM所成的角为60°；
③EF与MN是异面直线；
④MN∥CD.
以上结论正确的为________．(填序号)
解析：把正方体的平面展开图还原成原来的正方体可知，AB⊥EF，EF与MN是异面直线，AB∥CM，MN⊥CD，只有①③正确．
答案：①③
7.如图所示，在正方体ABCD­EFGH中，O为侧面ADHE的中心，求：
(1)BE与CG所成的角；
(2)FO与BD所成的角.
解：(1)如题图，因为CG∥BF，
所以∠EBF(或其补角)为异面直线BE与CG所成的角，又在△BEF中，∠EBF＝45°，
所以BE与CG所成的角为45°.
(2)如图，连接FH，因为HD∥EA，EA∥FB，所以HD∥FB，又HD＝FB，所以四边形HFBD为平行四边形．
所以HF∥BD，所以∠HFO(或其补角)为异面直线FO与BD所成的角．
连接HA，AF，易得FH＝HA＝AF，
所以△AFH为等边三角形，
又知O为AH的中点．
所以∠HFO＝30°，即FO与BD所成的角为30°.
C级——拓展探索性题目应用练
在四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，侧面都是矩形，底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2 eq \r(3)，∠ABC＝120°，若异面直线A1B和AD1所成的角为90°，试求AA1.
解：连接CD1，AC，由题意得四棱柱ABCD­A1B1C1D1中A1D1∥BC，A1D1＝BC，所以四边形A1BCD1是平行四边形，
所以A1B∥CD1，
所以∠AD1C(或其补角)为A1B和AD1所成的角，
因为异面直线A1B和AD1所成的角为90°，
所以∠AD1C＝90°，
因为四棱柱ABCD­A1B1C1D1中AB＝BC＝2 eq \r(3)，
所以△ACD1是等腰直角三角形，所以AD1＝eq \f(\r(2),2)AC，
因为底面ABCD是菱形且AB＝BC＝2 eq \r(3)，∠ABC＝120°，
所以AC＝2 eq \r(3)×sin 60°×2＝6，∴AD1＝eq \f(\r(2),2)AC＝3 eq \r(2)，
所以AA1＝ eq \r(AD\\al(2,1)－A1D\\al(2,1))＝ eq \r(3 \r(2)2－2 \r(3)2)＝eq \r(6).