课时跟踪检测（四十四） 事件的相互独立性

这是一份课时跟踪检测（四十四） 事件的相互独立性，共6页。
1．袋内有3个白球和2个黑球，从中不放回地摸球，用A表示“第一次摸得白球”，用B表示“第二次摸得白球”，则A与B是( )
A．互斥事件 B．相互独立事件
C．对立事件 D．不相互独立事件
解析：选D 根据互斥事件、对立事件和相互独立事件的定义可知，A与B不是相互独立事件．故选D.
2．若P(AB)＝eq \f(1,9)，P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，P(B)＝eq \f(1,3)，则事件A与B的关系是( )
A．事件A与B互斥 B．事件A与B对立
C．事件A与B相互独立 D．事件A与B既互斥又独立
解析：选C 因为P(eq \x\t(A))＝eq \f(2,3)，所以P(A)＝eq \f(1,3)，又P(B)＝eq \f(1,3)，P(AB)＝eq \f(1,9)，所以有P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A与B相互独立但不一定互斥．故选C.
3.如图，A，B，C表示3个开关，若在某段时间内它们正常工作的概率分别为0.9，0.8，0.7，那么系统的可靠性为( )
A．0.054 B．0.994
C．0.496 D．0.06
解析：选B 记三个开关都正常工作分别为事件A，B，C，则P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.7.
三个开关同时出现故障的事件为eq \x\t(A)∩eq \x\t(B)∩eq \x\t(C)，则此系统正常工作的概率为P＝1－P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))＝1－0.1×0.2×0.3＝0.994.故选B.
4．周老师上数学课时，给班里同学出了两道选择题，她预估做对第一道题的概率为0.80，做对两道题的概率为0.60，则预估做对第二道题的概率是( )
A．0.80 B．0.75
C．0.60 D．0.48
解析：选B 设“做对第一道题”为事件A，“做对第二道题”为事件B，则P(AB)＝P(A)P(B)＝0.8×P(B)＝0.6，故P(B)＝0.75.故选B.
5．设每个工作日甲、乙、丙、丁4人需使用某种设备的概率分别为0.6,0.5,0.5,0.4，各人是否需使用设备相互独立，则同一工作日至少3人需使用设备的概率为( )
A．0.25 B．0.30
C．0.31 D．0.35
解析：选C 设甲、乙、丙、丁需使用设备分别为事件A，B，C，D，则P(A)＝0.6，P(B)＝P(C)＝0.5，P(D)＝0.4，恰好3人使用设备的概率P1＝P(eq \x\t(A)BCD∪Aeq \x\t(B)CD∪ABeq \x\t(C)D∪ABCeq \x\t(D))＝(1－0.6)×0.5×0.5×0.4＋0.6×(1－0.5)×0.5×0.4＋0.6×0.5×(1－0.5)×0.4＋0.6×0.5×0.5×(1－0.4)＝0.25，
4人使用设备的概率P2＝P(ABCD)＝0.6×0.5×0.5×0.4＝0.06，
故所求概率P＝P1＋P2＝0.25＋0.06＝0.31.故选C.
6．有甲、乙两批种子，发芽率分别为0.8和0.9，在两批种子中各取一粒，则恰有一粒种子能发芽的概率是________．
解析：所求概率P＝0.8×0.1＋0.2×0.9＝0.26.
答案：0.26
7．在某道路A，B，C三处设有交通灯，这三盏灯在一分钟内开放绿灯的时间分别为25秒、35秒、45秒，某辆车在这条道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为________．
解析：由题意可知，每个交通灯开放绿灯的概率分别为eq \f(5,12)，eq \f(7,12)，eq \f(3,4). 在这个道路上匀速行驶，则三处都不停车的概率为eq \f(5,12)×eq \f(7,12)×eq \f(3,4)＝eq \f(35,192).
答案：eq \f(35,192)
8．某天上午，李明要参加“青年文明号”活动．为了准时起床，他用甲、乙两个闹钟叫醒自己．假设甲闹钟准时响的概率是0.80，乙闹钟准时响的概率是0.90，则两个闹钟至少有一个准时响的概率是________．
解析：至少有一个准时响的概率为1－(1－0.90)·(1－0.80)＝1－0.10×0.20＝0.98.
答案：0.98
9．在同一时间内，甲、乙两个气象台独立预报天气准确的概率分别为eq \f(4,5)和eq \f(3,4).求：
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率；
(2)至少有一个气象台预报准确的概率．
解：记“甲气象台预报天气准确”为事件A，“乙气象台预报天气准确”为事件B.
显然事件A，B相互独立，且P(A)＝eq \f(4,5)，P(B)＝eq \f(3,4).
(1)甲、乙两个气象台同时预报天气准确的概率
P(AB)＝P(A)P(B)＝eq \f(4,5)×eq \f(3,4)＝eq \f(3,5).
(2)至少有一个气象台预报准确的概率为
P＝1－P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝1－P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝1－eq \f(1,5)×eq \f(1,4)＝eq \f(19,20).
10．某公司招聘员工，指定三门考试课程，有两种考试方案．
方案一：考三门课程，至少有两门及格为考试通过．
方案二：在三门课程中，随机选取两门，这两门都及格为考试通过．
假设某应聘者对三门指定课程考试及格的概率分别为0.5,0.6,0.9，且三门课程考试是否及格相互之间没有影响．
求：(1)该应聘者用方案一考试通过的概率；
(2)该应聘者用方案二考试通过的概率．
解：记该应聘者对三门指定课程考试及格的事件分别为A，B，C，则P(A)＝0.5，P(B)＝0.6，P(C)＝0.9.
(1)应聘者用方案一考试通过的概率为
P1＝P(ABeq \x\t(C))＋P(eq \x\t(A)BC)＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(ABC)
＝0.5×0.6×0.1＋0.5×0.6×0.9＋0.5×0.4×0.9＋0.5×0.6×0.9＝0.75.
(2)应聘者用方案二考试通过的概率为
P2＝eq \f(1,3)P(AB)＋eq \f(1,3)P(BC)＋eq \f(1,3)P(AC)
＝eq \f(1,3)×0.5×0.6＋eq \f(1,3)×0.6×0.9＋eq \f(1,3)×0.5×0.9＝0.43.
B级——面向全国卷高考高分练
1．有一道数学难题，学生A解出的概率为eq \f(1,2)，学生B解出的概率为eq \f(1,3)，学生C解出的概率为eq \f(1,4).若A，B，C三人独立去解答此题，则恰有一人解出的概率为( )
A．1 B．eq \f(6,24)
C.eq \f(11,24) D.eq \f(17,24)
解析：选C 一道数学难题，恰有一人解出，包括：
①A解出，B，C解不出，概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,4)；
②B解出，A，C解不出，概率为eq \f(1,2)×eq \f(1,3)×eq \f(3,4)＝eq \f(1,8)；
③C解出，A，B解不出，概率为eq \f(1,2)×eq \f(2,3)×eq \f(1,4)＝eq \f(1,12).
所以恰有1人解出的概率为eq \f(1,4)＋eq \f(1,8)＋eq \f(1,12)＝eq \f(11,24).故选C.
2．国庆节放假，甲去北京旅游的概率为eq \f(1,3)，乙、丙去北京旅游的概率分别为eq \f(1,4)，eq \f(1,5).假定3人的行动相互之间没有影响，那么这段时间内至少有1人去北京旅游的概率为( )
A.eq \f(59,60) B．eq \f(3,5)
C.eq \f(1,2) D.eq \f(1,60)
解析：选B 因为甲、乙、丙去北京旅游的概率分别为eq \f(1,3)，eq \f(1,4)，eq \f(1,5)，所以他们不去北京旅游的概率分别为eq \f(2,3)，eq \f(3,4)，eq \f(4,5)，故至少有1人去北京旅游的概率为1－eq \f(2,3)×eq \f(3,4)×eq \f(4,5)＝eq \f(3,5).故选B.
3．甲骑自行车从A地到B地，途中要经过4个十字路口，已知甲在每个十字路口遇到红灯的概率都是eq \f(1,3)，且在每个路口是否遇到红灯相互独立，那么甲在前两个十字路口都没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率是( )
A.eq \f(1,3) B．eq \f(4,27)
C.eq \f(4,9) D.eq \f(1,27)
解析：选B 由题意知，甲在前两个十字路口没有遇到红灯，直到第三个路口才首次遇到红灯的概率为eq \f(2,3)×eq \f(2,3)×eq \f(1,3)＝eq \f(4,27).故选B.
4.如图，已知电路中4个开关闭合的概率都是eq \f(1,2)，且是互相独立的，则灯亮的概率为( )
A.eq \f(3,16) B．eq \f(3,4)
C.eq \f(13,16) D.eq \f(1,4)
解析：选C 记“A，B，C，D四个开关闭合”分别为事件A，B，C，D，可用对立事件求解，图中含开关的三条线路同时断开的概率为：P(eq \x\t(C))P(eq \x\t(D))[1－P(AB)]＝eq \f(1,2)×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－\f(1,2)×\f(1,2)))＝eq \f(3,16).所以灯亮的概率为1－eq \f(3,16)＝eq \f(13,16).故选C.
5．甲、乙同时炮击一架敌机，已知甲击中敌机的概率为0.3，乙击中敌机的概率为0.5，敌机被击中的概率为________．
解析：由题意知P＝1－(1－0.3)×(1－0.5)＝0.65.
答案：0.65
6．某地区为女农民工免费提供家政和医院陪护工培训，每人可选择参加一项、两项培训或不参加培训，已知参加过家政培训的有60%，参加过医院陪护工培训的有75%，假设每个人对培训项目的选择是相互独立的，且每个人的选择相互之间没有影响．任选1名女农民工，则她参加过培训的概率是________．
解析：设事件A表示“女农民工参加家政培训”，
事件B表示“女农民工参加医院陪护工培训”，
则P(A)＝0.6，P(B)＝0.75，
任选1名女农民工，她两项培训都没参加的概率为
P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))＝(1－0.6)×(1－0.75)＝0.1，
则她参加过培训的概率是1－P(eq \x\t(A) eq \x\t(B))＝1－0.1＝0.9.
答案：0.9
7．某同学语文、数学、英语三科的考试成绩在一次考试中排名全班第一的概率：语文为0.9，数学为0.8，英语为0.85，求：
(1)三科成绩均未获得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成绩未获得第一名的概率是多少？
解：分别记该生语文、数学、英语考试成绩排名全班第一的事件为A，B，C，则A，B，C两两相互独立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成绩均未获得第一名”可以用eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C)表示，所求的概率为P(eq \x\t(A) eq \x\t(B) eq \x\t(C))＝P(eq \x\t(A))P(eq \x\t(B))P(eq \x\t(C))
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003，
即三科成绩均未获得第一名的概率是0.003.
(2)“恰有一科成绩未获得第一名”可以用(eq \x\t(A)BC)∪(Aeq \x\t(B)C)∪(ABeq \x\t(C))表示．
由于事件eq \x\t(A)BC，Aeq \x\t(B)C和ABeq \x\t(C)两两互斥，
根据概率的加法公式和事件独立性定义，所求的概率为P(eq \x\t(A)BC)＋P(Aeq \x\t(B)C)＋P(ABeq \x\t(C))
＝P(eq \x\t(A))P(B)P(C)＋P(A)P(eq \x\t(B))P(C)＋P(A)P(B)P(eq \x\t(C))
＝[1－P(A)]P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]
＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
即恰有一科成绩未获得第一名的概率是0.329.
C级——拓展探索性题目应用练
某大学开设甲、乙、丙三门选修课，学生选修哪门课互不影响．已知学生小张只选甲的概率为0.08，只选甲和乙的概率为0.12，至少选一门课的概率为0.88，用ξ表示小张选修的课程门数和没有选修的课程门数的乘积．
(1)求学生小张选修甲的概率；
(2)记“函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数”为事件A，求事件A的概率．
解：(1)设学生小张选修甲、乙、丙的概率分别为x，y，z，
则eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x1－y1－z＝0.08，,xy1－z＝0.12，,1－x1－y1－z＝0.12，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＝0.4，,y＝0.6，,z＝0.5.))
所以学生小张选修甲的概率为0.4.
(2)若函数f(x)＝x2＋ξx为R上的偶函数，则ξ＝0，当ξ＝0时，表示小张选修三门课或三门课都不选．
所以P(A)＝P(ξ＝0)＝xyz＋(1－x)(1－y)(1－z)＝0.4×0.6×0.5＋(1－0.4)(1－0.6)(1－0.5)＝0.24，
即事件A的概率为0.24.