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课时跟踪检测(十二) 余弦定理、正弦定理应用举例
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这是一份课时跟踪检测(十二) 余弦定理、正弦定理应用举例,共6页。试卷主要包含了故选A.等内容,欢迎下载使用。
1.从地面上观察一建在山顶上的建筑物,测得其视角为α,同时测得建筑物顶部仰角为β,则山顶的仰角为( )
A.α+β B.α-β
C.β-α D.α
解析:选C 如图可知,山顶的仰角为β-α.故选C.
2.两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等,灯塔A在观察站北偏东40°,灯塔B在观察站南偏东60°,则灯塔A在灯塔B的( )
A.北偏东10° B.北偏西10°
C.南偏东10° D.南偏西10°
解析:选B 灯塔A,B的相对位置如图所示,由已知得∠ACB=80°,∠CAB=∠CBA=50°,则α=60°-50°=10°,即北偏西10°.故选B.
3.一艘船自西向东匀速航行,上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处,下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处,则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B.34eq \r(6) n mile/h
C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D.34eq \r(2) n mile/h
解析:选A 如图所示,在△PMN中,eq \f(PM,sin 45°)=eq \f(MN,sin 120°),
∴MN=eq \f(68×\r(3),\r(2))=34eq \r(6),∴v=eq \f(MN,4)=eq \f(17\r(6),2) (n mile/h).故选A.
4.在地面上点D处,测量某建筑物的高度,测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°,已知建筑物底部高出地面D点20 m,则建筑物高度为( )
A.20 m B.30 m
C.40 m D.60 m
解析:选C 如图,设O为塔顶在地面的射影,在Rt△BOD中,∠ODB=30°,OB=20,BD=40,OD=20eq \r(3). 在Rt△AOD中,OA=OD·tan 60°=60. ∴AB=OA-OB=40. 故选C.
5.一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行,已知河水流速为2 km/h,则经过eq \r(3) h,则船实际航程为( )
A.2eq \r(15) km B.6 km
C.2eq \r(21) km D.8 km
解析:选B 如图所示,在△ACD中,AC=2eq \r(3),CD=4eq \r(3),∠ACD=60°,∴AD2=12+48-2×2eq \r(3)×4eq \r(3)×eq \f(1,2)=36.∴AD=6.即该船实际航程为6 km.故选B.
6.某人从A处出发,沿北偏东60°行走3eq \r(3) km到B处,再沿正东方向行走2 km到C处,则A,C两地的距离为________km.
解析:如图所示,由题意可知AB=3eq \r(3),BC=2,∠ABC=150°.由余弦定理,得AC2=27+4-2×3eq \r(3)×2×cs 150°=49,AC=7. 则A,C两地的距离为7 km.
答案:7
7.如图,小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶,小明在A处测得公路上B,C两点的俯角分别为30°,45°,且∠BAC=135°.若山高AD=100 m,汽车从C点到B点历时14 s,则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1,参考数据:eq \r(2)≈1.414,eq \r(5)≈2.236)
解析:由题意,AB=200 m,AC=100 eq \r(2) m,
由余弦定理可得
BC= eq \r(40 000+20 000-2×200×100 \r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(\r(2),2))))
≈316.2 (m),
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6 (m/s).
答案:22.6
8.上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道,中国馆位于世博轴的一侧.现测得中国馆到世博轴两端的距离相等,并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算,中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.
解析:如图所示,设A,B为世博轴的两端点,C为中国馆,由题意知∠ACB=120°,且AC=BC,过C作AB的垂线交AB于D,在Rt△CBD中,DB=500 m,∠DCB=60°,∴BC=eq \f(1 000\r(3),3) m.
答案:eq \f(1 000\r(3),3)
9.如图,某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°,距离为12eq \r(6) n mile,货轮由A处向正北航行到D处时,再看灯塔B在北偏东120°,求A与D间的距离.
解:在△ABD中,∠ADB=60°,∠DAB=75°,
∴B=45°.
∴AD=eq \f(ABsin B,sin ∠ADB)=eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))=24(n mile).
即A与D间的距离为24 n mile.
10.在海岸A处,发现北偏东45°方向,距离A处(eq \r(3)-1)n mile的B处有一艘走私船,在A处北偏西75°的方向,距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船.此时,走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜,问缉私船沿什么方向能最快追上走私船?
解:设缉私船用t h在D处追上走私船,画出示意图,
则有CD=10eq \r(3)t,BD=10t,
在△ABC中,∵AB=eq \r(3)-1,AC=2,∠BAC=120°,
∴由余弦定理,得BC2=AB2+AC2-2AB·AC·cs∠BAC=(eq \r(3)-1)2+22-2·(eq \r(3)-1)·2·cs 120°=6,
∴BC=eq \r(6),且sin∠ABC=eq \f(AC,BC)·sin∠BAC=eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)=eq \f(\r(2),2),
∴∠ABC=45°,BC与正北方向成90°角.
∵∠CBD=90°+30°=120°,在△BCD中,由正弦定理,得sin∠BCD=eq \f(BD·sin∠CBD,CD)=eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)=eq \f(1,2),
∴∠BCD=30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船.
B级——面向全国卷高考高分练
1.如图所示,为了测量某湖泊两侧A,B间的距离,李宁同学首先选定了与A,B不共线的一点C,然后给出了三种测量方案(△ABC的角A,B,C所对的边分别记为a,b,c):
①测量A,B,b;②测量a,b,C;③测量A,B,a.
则一定能确定A,B间距离的所有方案的个数为( )
A.3 B.2
C.1 D.0
解析:选A 对于①,利用内角和定理先求出C=π-A-B,再利用正弦定理eq \f(b,sin B)=eq \f(c,sin C)解出c;
对于②,直接利用余弦定理c2=a2+b2-2abcs C即可解出c;
对于③,先利用内角和定理求出C=π-A-B,再利用正弦定理eq \f(a,sin A)=eq \f(c,sin C)解出c.故选A.
2.甲船在湖中B岛的正南A处,AB=3 km,甲船以8 km/h的速度向正北方向航行,同时乙船从B岛出发,以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去,则行驶15 min时,两船的距离是( )
A.eq \r(7) km B.eq \r(13) km
C.eq \r(19) km D.eq \r(10-3\r(3)) km
解析:选B 由题意知AM=8×eq \f(15,60)=2,BN=12×eq \f(15,60)=3,MB=AB-AM=3-2=1,所以由余弦定理,得MN2=MB2+BN2-2MB·BNcs 120°=1+9-2×1×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(-\f(1,2)))=13,所以MN=eq \r(13) km.故选B.
3.如图所示,在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB=45°,沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点,又测得山顶仰角∠DSB=75°,则山高BC为( )
A.500eq \r(2) m
B.200 m
C.1 000eq \r(2) m
D.1 000 m
解析:选D ∵∠SAB=45°-30°=15°,∠SBA=∠ABC-∠SBC=45°-(90°-75°)=30°,在△ABS中,AB=eq \f(AS·sin 135°,sin 30°)=eq \f(1 000×\f(\r(2),2),\f(1,2))=1 000eq \r(2),∴BC=AB·sin 45°=1 000eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)=1 000(m).故选D.
4.如图,从气球A上测得其正前下方的河流两岸B,C的俯角分别为75°,30°,此时气球的高度AD是60 m,则河流的宽度BC是( )
A.240(eq \r(3)-1)m B.180(eq \r(2)-1)m
C.120(eq \r(3)-1)m D.30(eq \r(3)+1)m
解析:选C 由题意知,在Rt△ADC中,∠C=30°,AD=60 m,∴AC=120 m.在△ABC中,∠BAC=75°-30°=45°,∠ABC=180°-45°-30°=105°,由正弦定理,得BC=eq \f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)=eq \f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)+\r(2),4))=120(eq \r(3)-1)(m).故选C.
5.台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动,离台风中心30 km内的地区为危险区,城市B在A的正东40 km处,B城市处于危险区内的持续时间为________h.
解析:设t h时,B市恰好处于危险区,则由余弦定理得(20t)2+402-2×20t×40×cs 45°=302. 化简,得4t2-8eq \r(2)t+7=0,∴t1+t2=2eq \r(2),t1·t2=eq \f(7,4).从而|t1-t2|=eq \r(t1+t22-4t1t2)=1(h).
答案:1
6.当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时,一根长为2 m的竹竿,要使它的影子最长,则竹竿与地面所成的角α=________.
解析:如图,设竹竿与地面所成的角为α,影子长为x,依据正弦定理可得eq \f(2,sin 60°)=eq \f(x,sin120°-α).
所以x=eq \f(4,\r(3))·sin(120°-α).因为0°
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