课时跟踪检测（十二） 余弦定理、正弦定理应用举例

这是一份课时跟踪检测（十二） 余弦定理、正弦定理应用举例，共6页。试卷主要包含了故选A.等内容，欢迎下载使用。
1．从地面上观察一建在山顶上的建筑物，测得其视角为α，同时测得建筑物顶部仰角为β，则山顶的仰角为( )
A．α＋β B．α－β
C．β－α D．α
解析：选C 如图可知，山顶的仰角为β－α.故选C.
2．两座灯塔A和B与海岸观察站C的距离相等，灯塔A在观察站北偏东40°，灯塔B在观察站南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的( )
A．北偏东10° B．北偏西10°
C．南偏东10° D．南偏西10°
解析：选B 灯塔A，B的相对位置如图所示，由已知得∠ACB＝80°，∠CAB＝∠CBA＝50°，则α＝60°－50°＝10°，即北偏西10°.故选B.
3．一艘船自西向东匀速航行，上午10时到达一座灯塔P的南偏西75°距塔68 n mile的M处，下午2时到达这座灯塔的东南方向的N处，则这只船的航行速度为( )
A.eq \f(17\r(6),2) n mile/h B．34eq \r(6) n mile/h
C.eq \f(17\r(2),2) n mile/h D．34eq \r(2) n mile/h
解析：选A 如图所示，在△PMN中，eq \f(PM,sin 45°)＝eq \f(MN,sin 120°)，
∴MN＝eq \f(68×\r(3),\r(2))＝34eq \r(6)，∴v＝eq \f(MN,4)＝eq \f(17\r(6),2) (n mile/h)．故选A.
4．在地面上点D处，测量某建筑物的高度，测得此建筑物顶端A与底部B的仰角分别为60°和30°，已知建筑物底部高出地面D点20 m，则建筑物高度为( )
A．20 m B．30 m
C．40 m D．60 m
解析：选C 如图，设O为塔顶在地面的射影，在Rt△BOD中，∠ODB＝30°，OB＝20，BD＝40，OD＝20eq \r(3). 在Rt△AOD中，OA＝OD·tan 60°＝60. ∴AB＝OA－OB＝40. 故选C.
5．一艘船以4 km/h的速度与水流方向成120°的方向航行，已知河水流速为2 km/h，则经过eq \r(3) h，则船实际航程为( )
A．2eq \r(15) km B．6 km
C．2eq \r(21) km D．8 km
解析：选B 如图所示，在△ACD中，AC＝2eq \r(3)，CD＝4eq \r(3)，∠ACD＝60°，∴AD2＝12＋48－2×2eq \r(3)×4eq \r(3)×eq \f(1,2)＝36.∴AD＝6.即该船实际航程为6 km.故选B.
6．某人从A处出发，沿北偏东60°行走3eq \r(3) km到B处，再沿正东方向行走2 km到C处，则A，C两地的距离为________km.
解析：如图所示，由题意可知AB＝3eq \r(3)，BC＝2，∠ABC＝150°.由余弦定理，得AC2＝27＋4－2×3eq \r(3)×2×cs 150°＝49，AC＝7. 则A，C两地的距离为7 km.
答案：7
7．如图，小明同学在山顶A处观测到一辆汽车在一条水平的公路上沿直线匀速行驶，小明在A处测得公路上B，C两点的俯角分别为30°，45°，且∠BAC＝135°.若山高AD＝100 m，汽车从C点到B点历时14 s，则这辆汽车的速度为________m/s.(精确到0.1，参考数据：eq \r(2)≈1.414，eq \r(5)≈2.236)
解析：由题意，AB＝200 m，AC＝100 eq \r(2) m，
由余弦定理可得
BC＝ eq \r(40 000＋20 000－2×200×100 \r(2)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(\r(2),2))))
≈316.2 (m)，
这辆汽车的速度为316.2÷14≈22.6 (m/s)．
答案：22.6
8．上海世博园中的世博轴是一条1 000 m长的直线型通道，中国馆位于世博轴的一侧．现测得中国馆到世博轴两端的距离相等，并且从中国馆看世博轴两端的视角为120°.据此数据计算，中国馆到世博轴其中一端的距离是________m.
解析：如图所示，设A，B为世博轴的两端点，C为中国馆，由题意知∠ACB＝120°，且AC＝BC，过C作AB的垂线交AB于D，在Rt△CBD中，DB＝500 m，∠DCB＝60°，∴BC＝eq \f(1 000\r(3),3) m.
答案：eq \f(1 000\r(3),3)
9.如图，某货轮在A处看灯塔B在货轮的北偏东75°，距离为12eq \r(6) n mile，货轮由A处向正北航行到D处时，再看灯塔B在北偏东120°，求A与D间的距离．
解：在△ABD中，∠ADB＝60°，∠DAB＝75°，
∴B＝45°.
∴AD＝eq \f(ABsin B,sin ∠ADB)＝eq \f(12\r(6)×\f(\r(2),2),\f(\r(3),2))＝24(n mile)．
即A与D间的距离为24 n mile.
10．在海岸A处，发现北偏东45°方向，距离A处(eq \r(3)－1)n mile的B处有一艘走私船，在A处北偏西75°的方向，距离A 2 n mile的C处的缉私船奉命以10eq \r(3) n mile/h的速度追截走私船．此时，走私船正以10 n mile/h的速度从B处向北偏东30°方向逃窜，问缉私船沿什么方向能最快追上走私船？
解：设缉私船用t h在D处追上走私船，画出示意图，
则有CD＝10eq \r(3)t，BD＝10t，
在△ABC中，∵AB＝eq \r(3)－1，AC＝2，∠BAC＝120°，
∴由余弦定理，得BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cs∠BAC＝(eq \r(3)－1)2＋22－2·(eq \r(3)－1)·2·cs 120°＝6，
∴BC＝eq \r(6)，且sin∠ABC＝eq \f(AC,BC)·sin∠BAC＝eq \f(2,\r(6))·eq \f(\r(3),2)＝eq \f(\r(2),2)，
∴∠ABC＝45°，BC与正北方向成90°角．
∵∠CBD＝90°＋30°＝120°，在△BCD中，由正弦定理，得sin∠BCD＝eq \f(BD·sin∠CBD,CD)＝eq \f(10tsin 120°,10\r(3)t)＝eq \f(1,2)，
∴∠BCD＝30°.即缉私船沿北偏东60°方向能最快追上走私船．
B级——面向全国卷高考高分练
1．如图所示，为了测量某湖泊两侧A，B间的距离，李宁同学首先选定了与A，B不共线的一点C，然后给出了三种测量方案(△ABC的角A，B，C所对的边分别记为a，b，c)：
①测量A，B，b；②测量a，b，C；③测量A，B，a.
则一定能确定A，B间距离的所有方案的个数为( )
A．3 B．2
C．1 D．0
解析：选A 对于①，利用内角和定理先求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq \f(b,sin B)＝eq \f(c,sin C)解出c；
对于②，直接利用余弦定理c2＝a2＋b2－2abcs C即可解出c；
对于③，先利用内角和定理求出C＝π－A－B，再利用正弦定理eq \f(a,sin A)＝eq \f(c,sin C)解出c.故选A.
2．甲船在湖中B岛的正南A处，AB＝3 km，甲船以8 km/h的速度向正北方向航行，同时乙船从B岛出发，以12 km/h 的速度向北偏东60°方向驶去，则行驶15 min时，两船的距离是( )
A.eq \r(7) km B.eq \r(13) km
C.eq \r(19) km D.eq \r(10－3\r(3)) km
解析：选B 由题意知AM＝8×eq \f(15,60)＝2，BN＝12×eq \f(15,60)＝3，MB＝AB－AM＝3－2＝1，所以由余弦定理，得MN2＝MB2＋BN2－2MB·BNcs 120°＝1＋9－2×1×3×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝13，所以MN＝eq \r(13) km.故选B.
3.如图所示，在山底A处测得山顶B的仰角∠CAB＝45°，沿倾斜角为30°的山坡向山顶走1 000 m到达S点，又测得山顶仰角∠DSB＝75°，则山高BC为( )
A．500eq \r(2) m
B．200 m
C．1 000eq \r(2) m
D．1 000 m
解析：选D ∵∠SAB＝45°－30°＝15°，∠SBA＝∠ABC－∠SBC＝45°－(90°－75°)＝30°，在△ABS中，AB＝eq \f(AS·sin 135°,sin 30°)＝eq \f(1 000×\f(\r(2),2),\f(1,2))＝1 000eq \r(2)，∴BC＝AB·sin 45°＝1 000eq \r(2)×eq \f(\r(2),2)＝1 000(m)．故选D.
4．如图，从气球A上测得其正前下方的河流两岸B，C的俯角分别为75°，30°，此时气球的高度AD是60 m，则河流的宽度BC是( )
A．240(eq \r(3)－1)m B．180(eq \r(2)－1)m
C．120(eq \r(3)－1)m D．30(eq \r(3)＋1)m
解析：选C 由题意知，在Rt△ADC中，∠C＝30°，AD＝60 m，∴AC＝120 m．在△ABC中，∠BAC＝75°－30°＝45°，∠ABC＝180°－45°－30°＝105°，由正弦定理，得BC＝eq \f(ACsin∠BAC,sin∠ABC)＝eq \f(120×\f(\r(2),2),\f(\r(6)＋\r(2),4))＝120(eq \r(3)－1)(m)．故选C.
5．台风中心从A地以每小时20 km的速度向东北方向移动，离台风中心30 km内的地区为危险区，城市B在A的正东40 km处，B城市处于危险区内的持续时间为________h.
解析：设t h时，B市恰好处于危险区，则由余弦定理得(20t)2＋402－2×20t×40×cs 45°＝302. 化简，得4t2－8eq \r(2)t＋7＝0，∴t1＋t2＝2eq \r(2)，t1·t2＝eq \f(7,4).从而|t1－t2|＝eq \r(t1＋t22－4t1t2)＝1(h)．
答案：1
6．当太阳光线与水平面的倾斜角为60°时，一根长为2 m的竹竿，要使它的影子最长，则竹竿与地面所成的角α＝________.
解析：如图，设竹竿与地面所成的角为α，影子长为x，依据正弦定理可得eq \f(2,sin 60°)＝eq \f(x,sin120°－α).
所以x＝eq \f(4,\r(3))·sin(120°－α)．因为0°