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课时跟踪检测（三十六） 分层随机抽样 获取数据的途径
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这是一份课时跟踪检测（三十六） 分层随机抽样 获取数据的途径，共6页。试卷主要包含了故选B.等内容，欢迎下载使用。
1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是( )
A．抽签法随机抽样
B．随机数法随机抽样
C．直接运用分层随机抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样
解析：选C 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层随机抽样．故选C.
2．在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用比例分配的分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球( )
A．33个 B．20个
C．5个 D．10个
解析：选C 样本抽样比为eq \f(100,1000)，设应抽红球x个，则eq \f(100,1 000)＝eq \f(x,50)，故x＝5.故选C.
3．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层随机抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为( )
A．5,10,15 B．3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
解析：选B 高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为eq \f(15,150)＝10%，eq \f(45,150)＝30%，eq \f(90,150)＝60%，则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3(人)，30%×30＝9(人)，60%×30＝18(人)．故选B.
4．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为( )
A．15 B．25
C．50 D．60
解析：选C 由分层抽样的特征知eq \f(10,n)＝eq \f(2,2＋3＋5)，解得n＝50.故选C.
5．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，则( )
A．p1p2C．p1＝p2 D．p1，p2没有关系
解析：选C 不管是简单随机抽样还是分层随机抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为eq \f(n,N).故选C.
6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.
答案：15
7．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．
解析：在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为eq \f(样本量,总样本量). 所以每个个体被抽取的可能性是eq \f(20,120)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
8．已知样本数据x1，x2，…，xn的均值eq \x\t(x)＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
解析：由条件知eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，
则所求均值eq \x\t(x)0＝eq \f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq \f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq \x\t(x)＋1＝2×5＋1＝11.
答案：11
9．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
解：(1)由eq \f(x,1 000)＝0.15，得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350(人)，第二车间的工人数是100＋150＝250(人)，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400(人)．
设应从第三车间抽取m名工人，则由eq \f(m,400)＝eq \f(50,1 000)，
得m＝20.
∴应在第三车间抽取20名工人．
10．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，准备抽取eq \f(1,30)，采用比例分配分层随机抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？如果让你来调查，你准备怎样做？
解：这种做法不妥当．原因：取样比例数eq \f(1,30)过小，很难准确反映总体情况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理．
考虑到本题的情况，可以采用分层随机抽样，可抽取抽样比为eq \f(1,5).
男生抽取40×eq \f(1,5)＝8(名)，女生抽取20×eq \f(1,5)＝4(名)，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本．
B级——面向全国卷高考高分练
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
解析：选A 该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000(人)，则样本量为10 000×2%＝200(人)，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20(人)．故选A.
2．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为( )
A．90 B．100
C．180 D．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及比例分配分层随机抽样的特点得eq \f(x,900)＝eq \f(320,1 600)，故x＝180.故选C.
3．在分层随机抽样中，每层中的样本抽取应采用简单随机抽样，如：在第一层中应从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(5,14) D.eq \f(10,27)
解析：选C 根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，解得n＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14).故选C.
4．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层随机抽样，那么在分层随机抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )
A．25,25,25,25 B．48,72,64,16
C．20,40,30,10 D．24,36,32,8
解析：选D 因为抽样比为eq \f(100,20 000)＝eq \f(1,200)，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×eq \f(1,200)＝24(人)，7 200×eq \f(1,200)＝36(人)，6 400×eq \f(1,200)＝32(人)，1 600×eq \f(1,200)＝8(人)．故选D.
5．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为________人．
解析：因为高一年级抽取学生的比例为eq \f(240,1 200)＝eq \f(1,5)，所以eq \f(k,k＋5＋3)＝eq \f(1,5)，解得k＝2，故高三年级抽取的人数为1 200×eq \f(3,2＋5＋3)＝360(人)．
答案：360
6．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均数，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均数，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均数为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均数为________．
解析：20个小球分4组，每组5个．
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，则这4个小球编号平均数为eq \f(2＋7＋12＋17,4)＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，则这4个小球编号平均数为eq \f(3＋8＋13＋18,4)＝10.5.
答案：(1)9.5 (2)10.5
7．某县共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个容量为300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用比例分配分层随机抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．
C级——拓展探索性题目应用练
某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的eq \f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用比例分配分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有eq \f(x·40%＋3xb,4x)＝47.5%，eq \f(x·10%＋3xc,4x)＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×eq \f(3,4)×40%＝60(人)；
抽取的中年人人数为200×eq \f(3,4)×50%＝75(人)；
抽取的老年人人数为200×eq \f(3,4)×10%＝15(人)．
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4 800
7 200
6 400
1 600
1．某单位有老年人28人，中年人54人，青年人81人，为了调查他们的身体情况，需从中抽取一个容量为36的样本，则适合的抽样方法是( )
A．抽签法随机抽样
B．随机数法随机抽样
C．直接运用分层随机抽样
D．先从老年人中剔除1人，再用分层随机抽样
解析：选C 因为总体由差异明显的三部分组成，所以考虑用分层随机抽样．故选C.
2．在1 000个球中有红球50个，从中抽取100个进行分析，如果用比例分配的分层随机抽样的方法对球进行抽样，则应抽红球( )
A．33个 B．20个
C．5个 D．10个
解析：选C 样本抽样比为eq \f(100,1000)，设应抽红球x个，则eq \f(100,1 000)＝eq \f(x,50)，故x＝5.故选C.
3．某企业共有职工150人，其中高级职称15人，中级职称45人，初级职称90人．现采用分层随机抽样抽取容量为30的样本，则抽取的各职称的人数分别为( )
A．5,10,15 B．3,9,18
C．3,10,17 D．5,9,16
解析：选B 高级、中级、初级职称的人数所占的比例分别为eq \f(15,150)＝10%，eq \f(45,150)＝30%，eq \f(90,150)＝60%，则所抽取的高级、中级、初级职称的人数分别为10%×30＝3(人)，30%×30＝9(人)，60%×30＝18(人)．故选B.
4．某工厂生产的A，B，C三种不同型号的产品数量之比为2∶3∶5，为研究这三种产品的质量，现用分层抽样的方法从该工厂生产的A，B，C三种产品中抽出样本量为n的样本，若样本中A型产品有10件，则n的值为( )
A．15 B．25
C．50 D．60
解析：选C 由分层抽样的特征知eq \f(10,n)＝eq \f(2,2＋3＋5)，解得n＝50.故选C.
5．对一个容量为N的总体抽取容量为n的样本，当选取简单随机抽样和分层随机抽样两种不同方法抽取样本时，总体中每个个体被抽中的概率分别为p1，p2，则( )
A．p1
解析：选C 不管是简单随机抽样还是分层随机抽样，它们都是等概率抽样，每个个体被抽中的概率均为eq \f(n,N).故选C.
6．某学校高一、高二、高三年级的学生人数之比为3∶3∶4，现用分层随机抽样的方法从该校高中三个年级的学生中抽取容量为50的样本，则应从高二年级抽取________名学生．
解析：设应从高二年级抽取x名学生，则x∶50＝3∶10.解得x＝15.
答案：15
7．在120个零件中，一级品24个，二级品36个，三级品60个，用分层随机抽样的方法从中抽取容量为20的样本，则每个个体被抽取的可能性是________．
解析：在分层抽样中，每个个体被抽取的可能性相等，且为eq \f(样本量,总样本量). 所以每个个体被抽取的可能性是eq \f(20,120)＝eq \f(1,6).
答案：eq \f(1,6)
8．已知样本数据x1，x2，…，xn的均值eq \x\t(x)＝5，则样本数据2x1＋1,2x2＋1，…，2xn＋1的均值为________．
解析：由条件知eq \x\t(x)＝eq \f(x1＋x2＋…＋xn,n)＝5，
则所求均值eq \x\t(x)0＝eq \f(2x1＋1＋2x2＋1＋…＋2xn＋1,n)＝eq \f(2x1＋x2＋…＋xn＋n,n)＝2eq \x\t(x)＋1＝2×5＋1＝11.
答案：11
9．某市化工厂三个车间共有工人1 000名，各车间男、女工人数如下表：
已知在全厂工人中随机抽取1名，抽到第二车间男工的可能性是0.15.
(1)求x的值；
(2)现用分层随机抽样的方法在全厂抽取50名工人，问应在第三车间抽取多少名？
解：(1)由eq \f(x,1 000)＝0.15，得x＝150.
(2)∵第一车间的工人数是173＋177＝350(人)，第二车间的工人数是100＋150＝250(人)，
∴第三车间的工人数是1 000－350－250＝400(人)．
设应从第三车间抽取m名工人，则由eq \f(m,400)＝eq \f(50,1 000)，
得m＝20.
∴应在第三车间抽取20名工人．
10．某班有40名男生，20名女生，已知男女身高有明显不同，现欲调查平均身高，准备抽取eq \f(1,30)，采用比例分配分层随机抽样方法，抽取男生1名，女生1名，你认为这种做法是否妥当？如果让你来调查，你准备怎样做？
解：这种做法不妥当．原因：取样比例数eq \f(1,30)过小，很难准确反映总体情况，况且男、女身高差异较大，抽取人数相同，也不合理．
考虑到本题的情况，可以采用分层随机抽样，可抽取抽样比为eq \f(1,5).
男生抽取40×eq \f(1,5)＝8(名)，女生抽取20×eq \f(1,5)＝4(名)，各自用抽签法或随机数法抽取组成样本．
B级——面向全国卷高考高分练
1．已知某地区中小学生人数和近视情况分别如图①和图②所示．为了解该地区中小学生的近视形成原因，用分层随机抽样的方法抽取2%的学生进行调查，则样本量和抽取的高中生近视人数分别为( )
A．200,20 B．100,20
C．200,10 D．100,10
解析：选A 该地区中小学生总人数为3 500＋2 000＋4 500＝10 000(人)，则样本量为10 000×2%＝200(人)，其中抽取的高中生近视人数为2 000×2%×50%＝20(人)．故选A.
2．某校老年、中年和青年教师的人数如表所示，采用分层随机抽样的方法调查教师的身体状况，在抽取的样本中，青年教师有320人，则该样本的老年教师人数为( )
A．90 B．100
C．180 D．300
解析：选C 设该样本中的老年教师人数为x，由题意及比例分配分层随机抽样的特点得eq \f(x,900)＝eq \f(320,1 600)，故x＝180.故选C.
3．在分层随机抽样中，每层中的样本抽取应采用简单随机抽样，如：在第一层中应从n个个体中抽取一个容量为10的样本．若第二次抽取时，余下的每个个体被抽到的概率为eq \f(1,3)，则在整个抽样过程中，每个个体被抽到的概率为( )
A.eq \f(1,4) B．eq \f(1,3)
C.eq \f(5,14) D.eq \f(10,27)
解析：选C 根据题意，eq \f(9,n－1)＝eq \f(1,3)，解得n＝28.
故在整个抽样过程中每个个体被抽到的概率为eq \f(10,28)＝eq \f(5,14).故选C.
4．某电视台在因特网上就观众对其某一节目的喜爱程度进行调查，参加调查的一共有20 000人，其中各种态度对应的人数如下表所示：
电视台为了了解观众的具体想法和意见，打算从中抽取100人进行详细的调查，为此要进行分层随机抽样，那么在分层随机抽样时，每类人中应抽取的人数分别为( )
A．25,25,25,25 B．48,72,64,16
C．20,40,30,10 D．24,36,32,8
解析：选D 因为抽样比为eq \f(100,20 000)＝eq \f(1,200)，所以每类人中应抽取的人数分别为4 800×eq \f(1,200)＝24(人)，7 200×eq \f(1,200)＝36(人)，6 400×eq \f(1,200)＝32(人)，1 600×eq \f(1,200)＝8(人)．故选D.
5．为了了解高一、高二、高三年级学生的身体状况，现用分层随机抽样的方法抽取一个容量为1 200的样本，三个年级学生人数之比依次为k∶5∶3，已知高一年级共抽取了240人，则高三年级抽取的人数为________人．
解析：因为高一年级抽取学生的比例为eq \f(240,1 200)＝eq \f(1,5)，所以eq \f(k,k＋5＋3)＝eq \f(1,5)，解得k＝2，故高三年级抽取的人数为1 200×eq \f(3,2＋5＋3)＝360(人)．
答案：360
6．已知标有1～20号的小球20个，若我们的目的是估计总体号码的平均数，即20个小球号码的平均数．试验者从中抽取4个小球，以这4个小球号码的平均数估计总体号码的平均数，按下面方法抽样(按小号到大号排序)：
(1)以编号2为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均数为________；
(2)以编号3为起点，系统抽样抽取4个球，则这4个球的编号的平均数为________．
解析：20个小球分4组，每组5个．
(1)若以2号为起点，则另外三个球的编号依次为7,12,17，则这4个小球编号平均数为eq \f(2＋7＋12＋17,4)＝9.5.
(2)若以3号为起点，则另外三个球的编号依次为8,13,18，则这4个小球编号平均数为eq \f(3＋8＋13＋18,4)＝10.5.
答案：(1)9.5 (2)10.5
7．某县共有5个乡镇，人口3万人，其人口比例为3∶2∶5∶2∶3，从3万人中抽取一个容量为300人的样本，分析某种疾病的发病率，已知这种疾病与不同的地理位置及水土有关，问应采取什么样的方法？并写出具体过程．
解：因为疾病与地理位置和水土均有关系，所以不同乡镇的发病情况差异明显，因而采用比例分配分层随机抽样的方法．
具体过程如下：
(1)将3万人分为5层，其中一个乡镇为一层．
(2)按照样本量的比例求得各乡镇应抽取的人数分别为60人、40人、100人、40人、60人．
(3)按照各层抽取的人数随机抽取各乡镇应抽取的样本．
(4)将300人合到一起，即得到一个样本．
C级——拓展探索性题目应用练
某单位最近组织了一次健身活动，活动分为登山组和游泳组，且每个职工至多参加其中一组．在参加活动的职工中，青年人占42.5%，中年人占47.5%，老年人占10%，登山组的职工占参加活动总人数的eq \f(1,4)，且该组中，青年人占50%，中年人占40%，老年人占10%.为了了解各组不同的年龄层的职工对本次活动的满意程度，现用比例分配分层随机抽样的方法从参加活动的全体职工中抽取容量为200的样本．试求：
(1)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别所占的比例；
(2)游泳组中，青年人、中年人、老年人分别应抽取的人数．
解：(1)设登山组人数为x，游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为a，b，c，
则有eq \f(x·40%＋3xb,4x)＝47.5%，eq \f(x·10%＋3xc,4x)＝10%.
解得b＝50%，c＝10%.
故a＝1－50%－10%＝40%.
即游泳组中，青年人、中年人、老年人各占比例分别为40%,50%,10%.
(2)游泳组中，抽取的青年人人数为200×eq \f(3,4)×40%＝60(人)；
抽取的中年人人数为200×eq \f(3,4)×50%＝75(人)；
抽取的老年人人数为200×eq \f(3,4)×10%＝15(人)．
第一车间
第二车间
第三车间
女工
173
100
y
男工
177
x
z
类别
人数
老年教师
900
中年教师
1 800
青年教师
1 600
合计
4 300
最喜爱
喜爱
一般
不喜欢
4 800
7 200
6 400
1 600
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