课时跟踪检测（五） 向量的数量积

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1．[多选]下列说法正确的是( )
A．向量b在向量a上的投影是向量
B．若a·b<0，则a与b的夹角θ的范围是eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))
C．(a·b)·c＝a·(b·c)
D．a·b＝0，则a⊥b
解析：选AB 对于选项A，根据投影向量的定义，故A正确；对于选项B，∵a·b＝|a||b|cs θ<0，则cs θ<0，又∵0≤θ≤π，∴θ∈eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，故B正确；对于选项C，∵(a·b)·c与c是共线向量，a·(b·c)与a是共线向量，故(a·b)·c≠a·(b·c)，故C错误；对于选项D，a·b＝0⇒a⊥b或a＝0或b＝0，故D错误．故选A、B.
2．已知|a|＝eq \r(3)，|b|＝2eq \r(3)，a与b的夹角是120°，则a·b等于( )
A．3 B．－3
C．－3eq \r(3) D．3eq \r(3)
解析：选B 由数量积的定义，得a·b＝|a||b|cs 120°＝eq \r(3)×2eq \r(3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)))＝－3.故选B.
3．(2018·全国卷Ⅱ)已知向量a，b满足|a|＝1，a·b＝－1，则a·(2a－b)＝( )
A．4 B．3
C．2 D．0
解析：选B a·(2a－b)＝2a2－a·b＝2|a|2－a·b.
∵|a|＝1，a·b＝－1，∴原式＝2×12＋1＝3.故选B.
4．设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于( )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
解析：选B 因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.故选B.
5．已知|a|＝3，|b|＝2，且a，b的夹角为60°，如果(3a＋5b)⊥(m a－b)，那么m的值为( )
A.eq \f(32,23) B.eq \f(23,42)
C.eq \f(29,42) D.eq \f(42,23)
解析：选C 由题意知(3a＋5b)·(ma－b)＝0，即3m a2＋(5m－3)a·b－5b2＝0,3m×32＋(5m－3)×3×2cs 60°－5×22＝0，解得m＝eq \f(29,42).故选C.
6．已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，则向量a在向量b方向上的投影向量为________．
解析：∵a·b＝|a||b|cs θ＝12，又|b|＝5，
∴|a|cs θ＝eq \f(12,5)，eq \f(b,|b|)＝eq \f(b,5)，即a在b方向上的投影向量为eq \f(12,25)b.
答案：eq \f(12,25)b
7．(2019·全国卷Ⅲ)已知a，b为单位向量，且a·b＝0，若c＝2a－eq \r(5)b，则cs〈a，c〉＝________.
解析：由题意，得cs〈a，c〉＝eq \f(a·2a－\r(5)b,|a||2a－\r(5)b|)
＝eq \f(2a2－\r(5)a·b,|a|·\r(|2a－\r(5)b|2))＝eq \f(2,1×\r(4＋5))＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
8．已知向量a，b，其中|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，则向量a和b的夹角是________，a·(a＋b)＝________.
解析：由题意，设向量a，b的夹角为θ.因为|a|＝eq \r(3)，|b|＝2，且(a－b)⊥a，所以(a－b)·a＝|a|2－a·b＝|a|2－|a||b|cs θ＝3－2 eq \r(3)·cs θ＝0，解得cs θ＝eq \f(\r(3),2).又因为0≤θ≤π，所以θ＝eq \f(π,6).则a·(a＋b)＝|a|2＋|a||b|·cs θ＝3＋2 eq \r(3)×eq \f(\r(3),2)＝6.
答案：eq \f(π,6) 6
9．已知向量a，b的夹角为30°，且|a|＝eq \r(3)，|b|＝1，求向量p＝a＋b与q＝a－b的夹角θ的余弦值．
解：p·q＝(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝|a|2－|b|2＝3－1＝2.
∵|p|＝|a＋b|＝ eq \r(a2＋2a·b＋b2)＝ eq \r(3＋2\r(3)cs 30°＋1)＝eq \r(7)，
|q|＝|a－b|＝ eq \r(a2－2a·b＋b2)＝ eq \r(3－2\r(3)cs 30°＋1)＝1，
∴cs θ＝eq \f(p·q,|p||q|)＝eq \f(2,\r(7)×1)＝eq \f(2\r(7),7).
10．已知|a|＝2，|b|＝1，a与b的夹角为eq \f(π,3)，若向量2a＋kb与a＋b垂直，求实数k的值．
解：a·b＝|a||b|cseq \f(π,3)＝2×1×eq \f(1,2)＝1.
因为2a＋kb与a＋b垂直，
所以(2a＋kb)·(a＋b)＝0.
所以2a2＋2a·b＋ka·b＋k b2＝0.
所以2×22＋2＋k＋k＝0.所以k＝－5.
B级——面向全国卷高考高分练
1．如图，e1，e2为互相垂直的两个单位向量，则|a＋b|＝( )
A．20 B.eq \r(10)
C．2eq \r(5) D.eq \r(15)
解析：选C 由题意，知a＝－eq \f(1,2)e1－eq \f(7,2)e2，b＝－eq \f(3,2)e1－eq \f(1,2)e2，所以a＋b＝－2e1－4e2，所以|a＋b|＝eq \r(－2e1－4e22)＝eq \r(4|e1|2＋16e1·e2＋16|e2|2)＝eq \r(20)＝2eq \r(5).故选C.
2．已知向量a，b满足|a|＝1，a⊥b，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为( )
A．a B．1
C．－1 D．－a
解析：选A 设θ为向量a－2b与向量a的夹角，则向量a－2b在向量a方向上的投影向量为|a－2b|cs θ eq \f(a,|a|).
又cs θ＝eq \f(a－2b·a,|a－2b||a|)＝eq \f(a2－2a·b,|a－2b||a|)＝eq \f(1,|a－2b|)，故|a－2b|cs θ eq \f(a,|a|)＝|a－2b|·eq \f(1,|a－2b|)eq \f(a,|a|)＝a.故选A.
3．定义：|a×b|＝|a||b|sin θ，其中θ为向量a与b的夹角，若|a|＝2，|b|＝5，a·b＝－6，则|a×b|等于( )
A．8 B．－8
C．8或－8 D．6
解析：选A cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－6,2×5)＝－eq \f(3,5)，∵θ∈[0，π]，∴sin θ＝eq \f(4,5).∴|a×b|＝2×5×eq \f(4,5)＝8.故选A.
4.如图，在平行四边形ABCD中，AB＝1，AD＝2，点E，F，G，H分别是AB，BC，CD，AD边上的中点，则eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(FG,\s\up7(―→))＋eq \(GH,\s\up7(―→))·eq \(HE,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(3,2) B．－eq \f(3,2)
C.eq \f(3,4) D．－eq \f(3,4)
解析：选A 易知四边形EFGH为平行四边形，连接HF(图略)，取HF的中点为O，则eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(FG,\s\up7(―→))＝eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(EH,\s\up7(―→))＝(eq \(EO,\s\up7(―→))－eq \(OH,\s\up7(―→)))·(eq \(EO,\s\up7(―→))＋eq \(OH,\s\up7(―→)))＝eq \(EO,\s\up7(―→))2－eq \(OH,\s\up7(―→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,4)，eq \(GH,\s\up7(―→))·eq \(HE,\s\up7(―→))＝eq \(GH,\s\up7(―→))·eq \(GF,\s\up7(―→))＝eq \(GO,\s\up7(―→))2－eq \(OH,\s\up7(―→))2＝1－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)))2＝eq \f(3,4)，
因此eq \(EF,\s\up7(―→))·eq \(FG,\s\up7(―→))＋eq \(GH,\s\up7(―→))·eq \(HE,\s\up7(―→))＝eq \f(3,2).故选A.
5．(2017·全国卷Ⅰ)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝________.
解析：法一：易知|a＋2b|＝eq \r(|a|2＋4a·b＋4|b|2)＝eq \r(4＋4×2×1×\f(1,2)＋4)＝2eq \r(3).
法二：(数形结合法)由|a|＝|2b|＝2，知以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝|eq \(OC,\s\up7(―→))|.又∠AOB＝60°，所以|a＋2b|＝2eq \r(3).
答案：2eq \r(3)
6．若|a|＝1，|b|＝2，c＝a＋b且c⊥a，则向量a与b的夹角为________．
解析：由c⊥a得，a·c＝0，所以a·c＝a·(a＋b)＝0，即a2＋a·b＝0.设向量a与b的夹角为θ，则cs θ＝eq \f(a·b,|a||b|)＝eq \f(－a2,|a||b|)＝－eq \f(1,2)，所以向量a与b的夹角θ＝120°.
答案：120°
7．已知a，b是非零向量，t为实数，设u＝a＋tb.
(1)当|u|取最小值时，求实数t的值；
(2)当|u|取最小值时，向量b与u是否垂直？
解：(1)|u|2＝|a＋tb|2＝(a＋tb)·(a＋tb)
＝|b|2t2＋2(a·b)t＋|a|2
＝|b|2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(t＋\f(a·b,|b|2)))2＋|a|2－eq \f(a·b2,|b|2).
∵b是非零向量，∴|b|≠0，
∴当t＝－eq \f(a·b,|b|2)时，|u|＝|a＋tb|的值最小．
(2)∵b·(a＋tb)＝a·b＋t|b|2＝a·b＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(a·b,|b|2)·|b|2))
＝a·b－a·b＝0，
∴b⊥(a＋tb)，即b⊥u.
C级——拓展探索性题目应用练
如图，扇形AOB的弧的中点为M，动点C，D分别在OA，OB上，且OC＝BD，OA＝1，∠AOB＝120°.
(1)若点D是线段OB靠近点O的四分之一分点，用eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(OB,\s\up7(―→))表示向量eq \(MC,\s\up7(―→))；
(2)求eq \(MC,\s\up7(―→))·eq \(MD,\s\up7(―→))的取值范围．
解：(1)由已知可得eq \(OC,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))，eq \(MC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))，
易得OAMB是菱形，则eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→))，
所以eq \(MC,\s\up7(―→))＝eq \(OC,\s\up7(―→))－eq \(OM,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(OA,\s\up7(―→))－(eq \(OA,\s\up7(―→))＋eq \(OB,\s\up7(―→)))＝－eq \f(1,4)eq \(OA,\s\up7(―→))－eq \(OB,\s\up7(―→)).
(2)易知∠DMC＝60°，且|eq \(MC,\s\up7(―→))|＝|eq \(MD,\s\up7(―→))|，
那么只需求MC的最大值与最小值即可．
当MC⊥OA时，MC最小，此时MC＝eq \f(\r(3),2)，
则eq \(MC,\s\up7(―→))·eq \(MD,\s\up7(―→))＝eq \f(\r(3),2)×eq \f(\r(3),2)×cs 60°＝eq \f(3,8).
当MC与MO重合时，MC最大，
此时MC＝1，则eq \(MC,\s\up7(―→))·eq \(MD,\s\up7(―→))＝cs 60°＝eq \f(1,2).
所以eq \(MC,\s\up7(―→))·eq \(MD,\s\up7(―→))的取值范围为eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(3,8)，\f(1,2))).