课时跟踪检测（四） 向量的数乘运算

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1．下列各式计算正确的个数是( )
①(－7)×6a＝－42a；②a－2b＋2(a＋b)＝3a；③a＋b－(a＋b)＝0.
A．0 B．1
C．2 D．3
解析：选C 根据向量数乘的运算律可验证①②正确；③错误，因为向量的和、差及数乘运算的结果仍为一个向量，而不是实数．故选C.
2．[多选]向量a＝2e，b＝－6e，则下列说法正确的是( )
A．a∥b B．向量a，b方向相反
C．|a|＝3|b| D．b＝－3a
解析：选ABD 因a＝2e，b＝－6e，所以b＝－3a，故D正确；由向量共线定理知，A正确；－3<0，a与b方向相反，故B正确；由上可知|b|＝3|a|.故C错误．故选A、B、D.
3．已知eq \(AB,\s\up7(―→))＝a＋5b，eq \(BC,\s\up7(―→))＝－2a＋8b，eq \(CD,\s\up7(―→))＝3(a－b)，则( )
A．A，B，C三点共线 B．A，B，D三点共线
C．A，C，D三点共线 D．B，C，D三点共线
解析：选B eq \(BD,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝－2a＋8b＋3(a－b)＝a＋5b＝eq \(AB,\s\up7(―→))，又∵eq \(BD,\s\up7(―→))与eq \(AB,\s\up7(―→))有公共点B，∴A，B，D三点共线．故选B.
4．设D为△ABC所在平面内一点，eq \(BC,\s\up7(―→))＝3eq \(CD,\s\up7(―→))，则( )
A.eq \(AD,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) B.eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
C.eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→)) D.eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)eq \(AB,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))
解析：选A 由题意得eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→))＝eq \(AC,\s\up7(―→))＋eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,3)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(4,3)eq \(AC,\s\up7(―→)).故选A.
5．已知e1，e2是不共线向量，则下列各组向量中是共线向量的有( )
①a＝5e1，b＝7e1；②a＝eq \f(1,2)e1－eq \f(1,3)e2，b＝3e1－2e2；③a＝e1＋e2，b＝3e1－3e2.
A．①② B．①③
C．②③ D．①②③
解析：选A ①中，a与b显然共线；②中，因为b＝3e1－2e2＝6eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)e1－\f(1,3)e2))＝6a，故a与b共线；③中，设b＝3e1－3e2＝k(e1＋e2)，得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(3＝k，,－3＝k))无解，故a与b不共线．故选A.
6．化简eq \f(2,5)(a－b)－eq \f(1,3)(2a＋4b)＋eq \f(2,15)(2a＋13b)＝________.
解析：原式＝eq \f(2,5)a－eq \f(2,5)b－eq \f(2,3)a－eq \f(4,3)b＋eq \f(4,15)a＋eq \f(26,15)b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(2,5)－\f(2,3)＋\f(4,15)))a＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(2,5)－\f(4,3)＋\f(26,15)))b＝0a＋0b＝0.
答案：0
7．已知x，y是实数，向量a，b不共线，若(x＋y－1)a＋(x－y)b＝0，则x＝________，y＝________.
解析：由已知得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(x＋y－1＝0，,x－y＝0，))解得x＝y＝eq \f(1,2).
答案：eq \f(1,2) eq \f(1,2)
8．设a，b是两个不共线的非零向量，若向量ka＋2b与8a＋kb的方向相反，则k＝________.
解析：由题意知，ka＋2b＝λ(8a＋kb)(λ＜0)．
∴(k－8λ)a＋(2－λk)b＝0.又a，b不共线，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k－8λ＝0，,2－λk＝0.))解得λ＝－eq \f(1,2)，k＝－4.
答案：－4
9．已知e1，e2是两个非零不共线的向量，a＝2e1－e2，b＝ke1＋e2，若a与b是共线向量，求实数k的值．
解：∵a与b是共线向量，∴a＝λb，
∴2e1－e2＝λ(ke1＋e2)＝λke1＋λe2，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(λk＝2，,λ＝－1，))解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(k＝－2，,λ＝－1，))
∴k＝－2.
10.如图，在边长为a的正方形ABCD中，E，F分别为边BC，CD中点，设eq \(AE,\s\up7(―→))＝a，eq \(AF,\s\up7(―→))＝b，试用a，b表示向量eq \(AB,\s\up7(―→))，eq \(AD,\s\up7(―→)).
解：因为eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＝a，eq \(AF,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))＝b，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2\(AB,\s\up7(―→))＋\(AD,\s\up7(―→))＝2a，,\(AB,\s\up7(―→))＋2\(AD,\s\up7(―→))＝2b.))
解得eq \(AB,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)a－eq \f(2,3)b，eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(4,3)b－eq \f(2,3)a.
B级——面向全国卷高考高分练
1．设e1，e2是两个不共线的向量，则向量a＝2e1－e2，与向量b＝e1＋λe2(λ∈R)共线，当且仅当λ的值为( )
A．0 B．－1
C．－2 D．－eq \f(1,2)
解析：选D ∵向量a与b共线，∴存在唯一实数u，使b＝ua成立．即e1＋λe2＝u(2e1－e2)＝2ue1－ue2.
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(1＝2u，,λ＝－u.))解得λ＝－eq \f(1,2).故选D.
2．如图，在△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b，eq \(DC,\s\up7(―→))＝3eq \(BD,\s\up7(―→))，eq \(AE,\s\up7(―→))＝2eq \(EC,\s\up7(―→))，则eq \(DE,\s\up7(―→))＝( )
A．－eq \f(1,3)a＋eq \f(3,4)b B.eq \f(5,12)a－eq \f(3,4)b
C.eq \f(3,4)a＋eq \f(1,3)b D．－eq \f(3,4)a＋eq \f(5,12)b
解析：选D 由平面向量的三角形法则，可知eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \(DC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))＝eq \f(3,4)eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,3)\(AC,\s\up7(―→))))＝eq \f(3,4)(eq \(AC,\s\up7(―→))－eq \(AB,\s\up7(―→)))－eq \f(1,3)eq \(AC,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,4)eq \(AB,\s\up7(―→))＋eq \f(5,12)eq \(AC,\s\up7(―→))＝－eq \f(3,4)a＋eq \f(5,12)b.故选D.
3．已知向量a，b是两个非零向量，在下列四个条件中，一定可以使a，b共线的是( )
①2a－3b＝4e且a＋2b＝－2e；
②存在相异实数λ，μ，使λa－μb＝0；
③xa＋yb＝0(其中实数x，y满足x＋y＝0)；
④已知梯形ABCD，其中eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CD,\s\up7(―→))＝b.
A．①② B．①③
C．② D．③④
解析：选A 由2a－3b＝－2(a＋2b)得到b＝－4a，故①可以；λa－μb＝0，λa＝μb，故②可以；x＝y＝0，有x a＋yb＝0，但b与a不一定共线，故③不可以；梯形ABCD中，没有说明哪组对边平行，故④不可以．故选A.
4．在△ABC中，∠ACB＝90°，eq \(CB,\s\up7(―→))＝a，eq \(CA,\s\up7(―→))＝b，点D是△ABC的外心，E是AC的中点，则eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝( )
A.eq \f(1,2)a－eq \f(1,2)b B．－eq \f(1,2)a－b
C．2a－eq \f(1,3)b D．－eq \f(1,2)a＋b
解析：选D 因为点D是△ABC的外心，且∠ACB＝90°，所以点D是Rt△ACB的斜边AB的中点，所以eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(CA,\s\up7(―→)))＝eq \f(1,2)a＋eq \f(1,2)b.又E是AC的中点，所以eq \(BE,\s\up7(―→))＝eq \(BC,\s\up7(―→))＋eq \(CE,\s\up7(―→))＝－a＋eq \f(1,2)b，
所以eq \(CD,\s\up7(―→))＋eq \(BE,\s\up7(―→))＝－eq \f(1,2)a＋b.故选D.
5．如图，在△ABC中，D，E分别在AB，AC上，且eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,3)，则eq \(DE,\s\up7(―→))＝________eq \(BC,\s\up7(―→)).
解析：∵eq \f(AD,AB)＝eq \f(AE,AC)＝eq \f(1,3)，∠A＝∠A，∴△ADE∽△ABC.
∴eq \f(DE,BC)＝eq \f(1,3). 又eq \(DE,\s\up7(―→))与eq \(BC,\s\up7(―→))同向，∴eq \(DE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(BC,\s\up7(―→)).
答案：eq \f(1,3)
6．在△ABC中，已知D是AB边上一点，若eq \(AD,\s\up7(―→))＝2eq \(DB,\s\up7(―→))，eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＋λeq \(CB,\s\up7(―→))，则λ＝________.
解析：由图知eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \(AD,\s\up7(―→))，①
eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CB,\s\up7(―→))＋eq \(BD,\s\up7(―→))， ②
且eq \(AD,\s\up7(―→))＋2eq \(BD,\s\up7(―→))＝0.
①＋②×2得3eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \(CA,\s\up7(―→))＋2eq \(CB,\s\up7(―→))，
∴eq \(CD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,3)eq \(CA,\s\up7(―→))＋eq \f(2,3)eq \(CB,\s\up7(―→)).∴λ＝eq \f(2,3).
答案：eq \f(2,3)
7．设两个不共线的向量e1，e2，若向量a＝2e1－3e2，b＝2e1＋3e2，向量c＝2e1－9e2，问是否存在这样的实数λ，μ，使向量d＝λ a＋μ b与向量c共线？
解：∵d＝λ(2e1－3e2)＋μ(2e1＋3e2)＝(2λ＋2μ)e1＋(3μ－3λ)e2，要使d与c共线，则存在实数k使d＝k·c，即：(2λ＋2μ)e1＋(－3λ＋3μ)e2＝2ke2－9ke2.由eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\c1(2λ＋2μ＝2k，,－3λ＋3μ＝－9k，))
得λ＝－2μ，故存在这样的实数λ和μ，
只要λ＝－2μ，就能使d与c共线．
C级——拓展探索性题目应用练
已知△ABC中，eq \(AB,\s\up7(―→))＝a，eq \(AC,\s\up7(―→))＝b.对于平面ABC上任意一点O，动点P满足eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λa＋λb，λ∈[0，＋∞)．试问动点P的轨迹是否过△ABC内的某一个定点？说明理由．
解：以AB，AC为邻边作▱ABDC，设对角线AD，BC交于点E，eq \(AE,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)eq \(AD,\s\up7(―→))＝eq \f(1,2)(a＋b)．
由eq \(OP,\s\up7(―→))＝eq \(OA,\s\up7(―→))＋λa＋λb得到eq \(OP,\s\up7(―→))－eq \(OA,\s\up7(―→))＝eq \(AP,\s\up7(―→))＝2λ·eq \f(1,2)(a＋b)
＝2λeq \(AE,\s\up7(―→))，λ∈[0，＋∞)，
∴eq \(AP,\s\up7(―→))与eq \(AE,\s\up7(―→))共线．
由λ∈[0，＋∞)知，动点P的轨迹是射线AE，
∴必过△ABC的重心．