课时跟踪检测（三十九） 总体离散程度的估计

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1．为评估一种农作物的种植效果，选了n块地作试验田．这n块地的亩产量(单位：kg)分别为x1，x2，…，xn，下面给出的指标中可以用来评估这种农作物亩产量稳定程度的是( )
A．x1，x2，…，xn的平均数
B．x1，x2，…，xn的标准差
C．x1，x2，…，xn的最大值
D．x1，x2，…，xn的中位数
解析：选B 标准差能反映一组数据的稳定程度．故选B.
2．某高三学生在连续五次月考中的数学成绩(单位：分)为：90,90,93,94,93，则该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数和方差分别为( )
A．92,2.8 B．92,2
C．93,2 D．93,2.8
解析：选A 该学生在这五次月考中数学成绩数据的平均数为eq \x\t(x)＝eq \f(1,5)×(90＋90＋93＋94＋93)＝92，
方差为s2＝eq \f(1,5)×[(90－92)2＋(90－92)2＋(93－92)2＋(94－92)2＋(93－92)2]＝2.8.故选A.
3．样本中共有五个个体，其值分别为a,0,1,2,3.若该样本的平均数为1，则样本方差为( )
A.eq \r(\f(6,5)) B.eq \f(6,5) C.eq \r(2) D．2
解析：选D 由题可知样本的平均数为1，
所以eq \f(a＋0＋1＋2＋3,5)＝1，解得a＝－1，
所以样本的方差为
s2＝eq \f(1,5)[(－1－1)2＋(0－1)2＋(1－1)2＋(2－1)2＋(3－1)2]＝2.故选D.
4．在发生某公共卫生事件期间，有专业机构认为该事件在一段时间内没有引起大规模群体感染的标志为“连续10天，每天新增疑似病例不超过7人”．根据过去10天甲、乙、丙、丁四地新增疑似病例数据，一定符合该标志的是( )
A．甲地：总体均值为3，中位数为4
B．乙地：总体均值为1，总体方差大于0
C．丙地：中位数为2，众数为3
D．丁地：总体均值为2，总体方差为3
解析：选D 根据信息可知，连续10天内，每天新增的疑似病例不能超过7人，选项A中，中位数为4，可能存在大于7的数；同理，在选项C中也有可能；选项B中的总体方差大于0，叙述不明确，如果方差太大，也有可能存在大于7的数；选项D中，根据方差公式，如果有大于7的数存在，那么方差不可能为3.故选D.
5．北京市2017年12个月的PM2.5平均浓度指数如图所示．由图判断，四个季度中PM2.5的平均浓度指数方差最小的是( )
A．第一季度 B．第二季度
C．第三季度 D．第四季度
解析：选B 由图可知，第二季度的数据波动性最小，所以第二季度的PM2.5平均浓度指数方差最小．故选B.
6．小明5次上学途中所花的时间(单位：分钟)分别为x，y,10，11,9.已知这组数据的平均数为10，方差为2，则|x－y|的值为________．
解析：由题意可得x＋y＝20，(x－10)2＋(y－10)2＝8，
设x＝10＋t，y＝10－t，则t2＝4，|t|＝2，故|x－y|＝2|t|＝4.
答案：4
7．已知总体的各个个体的值由小到大依次为2,3,3,7，a，b,12,13.7,18.3,21，且总体的中位数为10，若要使该总体的方差最小，则ab＝________.
解析：由题意得a＋b＝10×2＝20，要使该总体的方差最小，方差化简后即满足(a－10)2＋(b－10)2最小，故a＝b＝10，ab＝100.
答案：100
8．已知一组正数x1，x2，x3，x4的方差s2＝eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,3)＋xeq \\al(2,4)－16)，则数据x1＋2，x2＋2，x3＋2，x4＋2的平均数为________．
解析：设正数x1，x2，x3，x4的平均数为eq \x\t(x)，则s2＝eq \f(1,4)[(x1－eq \x\t(x))2＋(x2－eq \x\t(x))2＋(x3－eq \x\t(x))2＋(x4－eq \x\t(x))2]，得s2＝eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,3)＋xeq \\al(2,4))－eq \x\t(x)2，又已知s2＝eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,3)＋xeq \\al(2,4)－16)＝eq \f(1,4)(xeq \\al(2,1)＋xeq \\al(2,2)＋xeq \\al(2,3)＋xeq \\al(2,4))－4，所以eq \x\t(x)2＝4，所以eq \x\t(x)＝2，故eq \f(1,4)[(x1＋2)＋(x2＋2)＋(x3＋2)＋(x4＋2)]＝eq \x\t(x)＋2＝4.
答案：4
9．对甲、乙两名同学的学习成绩进行抽样分析，各抽5门功课，得到的观测值如下：
(1)甲、乙的平均成绩谁最好？
(2)谁的各门功课发展较平衡？
解：(1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,5)×(60＋80＋70＋90＋70)＝74，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,5)×(80＋60＋70＋80＋75)＝73，
故甲的平均成绩较好．
(2)seq \\al(2,甲)＝eq \f(1,5)×[(60－74)2＋(80－74)2＋(70－74)2＋(90－74)2＋(70－74)2]＝104，
seq \\al(2,乙)＝eq \f(1,5)×[(80－73)2＋(60－73)2＋(70－73)2＋(80－73)2＋(75－73)2]＝56，
由seq \\al(2,甲)>seq \\al(2,乙)，知乙的各门功课发展较平衡．
10．从甲、乙两种玉米的苗中各抽10株，分别测它们的株高如下(单位：cm)：
甲：25,41,40,37,22,14,19,39,21,42；
乙：27,16,44,27,44,16,40,40,16,40.
问：(1)哪种玉米的苗长得高？
(2)哪种玉米的苗长得齐？
解：(1)eq \x\t(x)甲＝eq \f(1,10)×(25＋41＋40＋37＋22＋14＋19＋39＋21＋42)＝eq \f(1,10)×300＝30(cm)，
eq \x\t(x)乙＝eq \f(1,10)×(27＋16＋44＋27＋44＋16＋40＋40＋16＋40)＝eq \f(1,10)×310＝31(cm)．
所以eq \x\t(x)甲