课时跟踪检测（二十一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积

这是一份课时跟踪检测（二十一） 棱柱、棱锥、棱台的表面积和体积，共5页。试卷主要包含了故选B.等内容，欢迎下载使用。
1．若长方体的长、宽、高分别为3 cm,4 cm,5 cm，则长方体的体积为( )
A．27 cm3 B．60 cm3
C．64 cm3 D．125 cm3
解析：选B 长方体即为四棱柱，其体积为底面积×高，即为3×4×5＝60 (cm)3.故选B.
2．若六棱柱的底面是边长为3的正六边形，侧面为矩形，侧棱长为4，则其侧面积等于( )
A．12 B．48
C．64 D．72
解析：选D 该六棱柱的6个侧面是全等的矩形，则S侧＝6×(3×4)＝72.故选D.
3.我国古代《九章算术》里，记载了一个“商功”的例子：今有刍童，下广二丈，袤三丈，上广三丈，袤四丈，高三丈．问积几何？其意思是：今有上下底面皆为长方形的草垛(如图所示)，下底宽2丈，长3丈，上底宽3丈，长4丈，高3丈．问它的体积是多少？该书提供的算法是：上底长的2倍与下底长的和与上底宽相乘，同样下底长的2倍与上底长的和与下底宽相乘，将两次运算结果相结，再乘以高，最后除以6.则这个问题中的刍童的体积为( )
A．13.25立方丈 B．26.5立方丈
C．53立方丈 D．106立方丈
解析：选B 由题意知，刍童的体积为[(4×2＋3)×3＋(3×2＋4)×2]×3÷6＝26.5(立方丈)．故选B.
4．已知正四棱锥的底面边长为6，侧棱长为5，则此棱锥的侧面积为( )
A．6 B．12
C．24 D．48
解析：选D 正四棱锥的斜高h′＝ eq \r(52－32)＝4，S侧＝4×eq \f(1,2)×6×4＝48.故选D.
5.如图，ABC­A′B′C′是体积为1的棱柱，则四棱锥C­AA′B′B的体积是( )
A.eq \f(1,3) B.eq \f(1,2)
C.eq \f(2,3) D.eq \f(3,4)
解析：选C ∵VC­A′B′C′＝eq \f(1,3)VABC­A′B′C′＝eq \f(1,3)，∴VC­AA′B′B＝1－eq \f(1,3)＝eq \f(2,3).故选C.
6．若五棱台ABCDE­A1B1C1D1E1的表面积是30，侧面积是25，则两底面面积的和为________．
解析： S表＝S侧＋S两底，则S两底＝S表－S侧＝30－25＝5.
答案：5
7．已知高为3的直棱柱ABC­A1B1C1的底面是边长为1的正三角形，则三棱锥B1­ABC的体积为________．
解析：由题意，锥体的高为BB1，底面为S△ABC＝eq \f(\r(3),4)，所以VB1­ABC＝eq \f(1,3)Sh＝eq \f(1,3)×eq \f(\r(3),4)×3＝eq \f(\r(3),4).
答案：eq \f(\r(3),4)
8．已知正五棱台的上、下底面边长分别为4 cm和6 cm，侧棱长为5 cm，则它的侧面积为________cm2.
解析：侧面等腰梯形的高为eq \r(52－1)＝2eq \r(6)(cm)，所以侧面积S＝5×eq \f(4＋6×2\r(6),2)＝50eq \r(6)(cm2)．
答案：50eq \r(6)
9．如图所示，三棱锥的顶点为P，PA，PB，PC为三条侧棱，且PA，PB，PC两两互相垂直，又PA＝2，PB＝3，PC＝4，求三棱锥P­ABC的体积V.
解：三棱锥的体积V＝eq \f(1,3)Sh，其中S为底面积，h为高，而三棱锥的任意一个面都可以作为底面，所以此题可把B看作顶点，△PAC作为底面求解．
故VP­ABC＝eq \f(1,3)S△PAC·PB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)×2×4×3＝4.
10．长方体ABCD­A1B1C1D1的体积为V，P是DD1的中点，Q是AB上的动点，求四面体P­CDQ的体积．
解：设长方体的长、宽、高分别为AB＝a，BC＝b，AA1＝c，则有V＝abc.
由题意知PD＝eq \f(1,2)c，S△CDQ＝eq \f(1,2)CD·AD＝eq \f(1,2)ab，
所以VP­CDQ＝eq \f(1,3)S△CDQ·PD＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)ab×eq \f(1,2)c＝eq \f(1,12)abc＝eq \f(1,12)V.
B级——面向全国卷高考高分练
1．一个长方体的三个面的面积分别为eq \r(2)，eq \r(3)，eq \r(6)，则这个长方体的体积为( )
A．6 B.eq \r(6)
C．3 D．2eq \r(3)
解析：选B 设长方体的长、宽、高分别为x，y，z，则xy＝eq \r(2)，yz＝eq \r(3)，xz＝eq \r(6)，∴(xyz)2＝6.∴V＝xyz＝eq \r(6).故选B.
2．侧面都是等腰直角三角形的正三棱锥，底面边长为a时，该三棱锥的表面积是( )
A.eq \f(3＋\r(3),4)a2 B.eq \f(3,4)a2
C.eq \f(3＋\r(3),2)a2 D.eq \f(6＋\r(3),4)a2
解析：选A ∵侧面都是等腰直角三角形，故侧棱长等于eq \f(\r(2),2)a，∴S表＝eq \f(\r(3),4)a2＋3×eq \f(1,2)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(\r(2),2)a))2＝eq \f(3＋\r(3),4)a2.故选A.
3.如图，在直四棱柱ABCD­A1B1C1D1中，底面ABCD是平行四边形，点E是棱BB1的中点，点F是棱CC1上靠近C1的三等分点，且三棱锥A1­AEF的体积为2，则四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为( )
A．12 B．8
C．20 D．18
解析：选A 设点F到平面ABB1A1的距离为h，由题意得VA1­AEF＝VF­A1AE＝eq \f(1,3)S△A1AE·h＝eq \f(1,3)×eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)AA1·AB))·h＝eq \f(1,6)(AA1·AB)·h＝eq \f(1,6)·S四边形ABB1A1·h＝eq \f(1,6)VABCD­A1B1C1D1，所以VABCD­A1B1C1D1＝6VA1­AEF＝6×2＝12.所以四棱柱ABCD­A1B1C1D1的体积为12.故选A.
4．在正方体ABCD­A1B1C1D1中，三棱锥D1­AB1C的表面积与正方体的表面积的比为( )
A．1∶1 B．1∶eq \r(2)
C．1∶eq \r(3) D．1∶2
解析：选C 由题图可知，三棱锥D1­AB1C的各面均是正三角形. 其边长为正方体侧面对角线. 设正方体的棱长为a，则面对角线长为eq \r(2)a，S锥＝4×eq \f(1,2)(eq \r(2)a)2×eq \f(\r(3),2)＝2 eq \r(3)a2，S正方体＝6a2，故S锥∶S正方体＝1∶eq \r(3).故选C.
5．棱台的体积为76 cm3，高为6 cm，一个底面面积为18 cm2，则另一个底面面积为__________．
解析：设另一个底面面积为x cm2，
则由V＝eq \f(1,3)h(S＋eq \r(SS′)＋S′)，得76＝eq \f(1,3)×6×(18＋x＋eq \r(18x))，解得x＝8，即另一个底面的面积为8 cm2.
答案：8 cm2
6．三棱锥P­ABC中，D，E分别为PB，PC的中点，记三棱锥D­ABE的体积为V1，P­ABC的体积为V2，则eq \f(V1,V2)＝________.
解析：如图，设点C到平面PAB的距离为h，三角形PAB的面积为S，则V2＝eq \f(1,3)Sh，V1＝VE­ADB＝eq \f(1,3)×eq \f(1,2)S×eq \f(1,2)h＝eq \f(1,12)Sh，所以eq \f(V1,V2)＝eq \f(1,4).
答案：eq \f(1,4)
7.三棱台ABC­A1B1C1中，AB∶A1B1＝1∶2，求三棱锥A1­ABC，三棱锥B ­A1B1C，三棱锥C­A1B1C1的体积之比．
解：设棱台的高为h，S△ABC＝S，则S△A1B1C1＝4S.
∴VA1­ABC＝eq \f(1,3)S△ABC·h＝eq \f(1,3)Sh，
VC­A1B1C1＝eq \f(1,3)S△A1B1C1·h＝eq \f(4,3)Sh.
又V台＝eq \f(1,3)h(S＋4S＋2S)＝eq \f(7,3)Sh，
∴VB­A1B1C＝V台－VA1­ABC－SC­A1B1C1
＝eq \f(7,3)Sh－eq \f(Sh,3)－eq \f(4Sh,3)＝eq \f(2,3)Sh，
∴体积比为1∶2∶4.
C级——拓展探索性题目应用练
用一张正方形的纸把一个棱长为1的正方体礼品盒完全包住，不将纸撕开，求所需纸的最小面积．
解：如图①为棱长为1的正方体礼品盒，先把正方体的表面按图所示方式展成平面图形，再把平面图形尽可能拼成面积较小的正方形，如图②所示，由图知正方形的边长为2eq \r(2)，其面积为8.