江苏省南京市江宁区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（含答案）

这是一份江苏省南京市江宁区2020-2021学年高二上学期期末考试数学试题（含答案），共13页。试卷主要包含了单项选择题，多项选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。

1.抛物线的焦点坐标是 （ ）
A． B． C． D．
2．已知，则（ ）
A．B．C．－D．－
3. 直线与圆的位置关系是（ ）
A．直线过圆心B．相切C．相离D．相交
4.函数的图象大致为( )
5.设，则“”是“”的
A．充分非必要条件 B．必要非充分条件
C．充要条件 D．既非充分也非必要条件
6.中国古代词中，有一道“八子分绵”的数学名题：“九百九十二斤绵，赠分八子做盘缠，次第每人多十六，要将第八数来言”．题意是：把992斤绵分给8个儿子作盘缠，按照年龄从大到小的顺序依次分绵，年龄小的比年龄大的多16斤绵，那么第8个儿子分到的绵是（ ）
A. 174斤B. 184斤C. 180斤D. 181斤
7.已知，则的最小值是（ ）
A．B．C．D．
8.已知函数的定义域为，且，若方程有两个不同的实根，则的取值范围为( )

二、多项选择题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．每小题给出的四个选项中，都有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得3分，选错或不答的得0分．请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上．
9．先将函数的图象上各点的横坐标伸长到原来的4倍,纵坐标不变,再将其向左平移得到函数 的图象,则函数的对称轴方程可能是( )
A．B．C．D．
10.等腰直角三角形直角边长为1，现将该三角形绕其某一边旋转一周，则所形成的几何体的表面积可能为( )

11.在递增的等比数列中，已知公比为，是其前项和，若，，则下列说法正确的是（ ）
A．B．数列是等比数列
C．D．数列是公差为2的等差数列
12.设椭圆的左右焦点为，，是上的动点，则下列结论正确的是
离心率 的最小值为0
面积的最大值为 以线段为直径的圆与直线相切
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共计20分．请把答案填写在答题卡相应位置上
13.一元二次不等式的解集为___________.
14.已知函数，则该函数的对称轴方程为__________.
15．记n项正项数列为，其前n项积为，定义为“相对积叠加和”，如果有2020项的正项数列的“相对积叠加和”为2020，则有2021项的数列的“相对积叠加和”为 .
16. 已知三棱锥的四个顶点都在球的球面上，且,,则该三棱锥的体积为 ，球的表面积为 .
四、解答题：本大题共6小题，共计70分．请在答题卡指定②②区域内作答，解答时应写出文字说明、 证明过程或演算步骤．
17.(本小题满分10分）已知集合______
若“”是“”的必要不充分条件，给出如下三个条件：
请从中任选一个补充到横线上。若问题中的a存在，求出a的取值范围；
18.（本小题满分12分）
已知向量，，记
（1）若，求的值；
（2）在锐角,中 角A,B,C的对边分别是且满足，求的取值范围．
19.（本小题满分12分）如图，在正方体中，E为的中点．
（1）求证：平面；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
20.（本小题满分12分）新型冠状病毒感染的肺炎治疗过程中，需要某医药公司生产的某种药品.此药品的年固定成本为180万元，每生产千件需另投入成本为.当年产量不足40千件时，（万元）.当年产量不小于40千件时，（万元）.每千件商品售价为30万元，在疫情期间，该公司生产的药品能全部售完.
（1）写出年利润（万元）关于年产量（千件）的函数解析式；
（2）该公司决定将此药品所获利润的用来捐赠防疫物资.当年产量为多少千件时，在这一药品的生产中所获利润最大？此时可捐赠多少万元的物资款？
21.（本小题满分12分）已知等差数列的前项和，且，
（1）求
（2）设设的前项和为，若恒成立，求的取值范围；
22.（本小题满分12分）已知为坐标原点，椭圆的左右焦点分别为，，为椭圆的上顶点，以为圆心且过的圆与直线相切.
（1）求椭圆的标准方程；
（2）已知直线交椭圆于两点.
（ⅰ）若直线的斜率等于，求面积的最大值；
（ⅱ）若，点在上，.证明：存在定点，使得为定值.
江宁区2020~2021上学期高二年级期末考试试卷答案
单项选择题：
1.D 2.D 3.B 4. A 5.A 6.C 7.D 8.A
二、多项选择题：
9.AB 10.AB 11.ABC 12.BD
三、填空题：
13. 14. 15.4041 16. 10,
四、解答题：
17.（本小题满分10分）
解：若填
分
，
若“”是“”的必要不充分条件，
则集合且分
则
即a的取值范围为。分
若填
分
，
若“”是“”的必要条件，
则集合且分
则 分
此时，故“”是“”的充要条件，不满足题意，
故无解．分
若填
分
，
若“”是“”的必要条件，分
则，方程组无解．
即不存在a满足“”是“”的必要不充分条件．分
（本小题满分12分）
解：记
，
由，得，分
；分
，
由正弦定理得：，
，分
又，
，
，，
又B为锐角，，分
则，
，
，，
，
，分
，
的取值范围是分
19.（本小题满分12分）
解：1由正方体的性质可知，中，且，
四边形是平行四边形，，
又平面，平面，平面分
2以A为原点，AD、AB、分别为x、y和z轴建立如图所示的空间直角坐标系，
设正方体的棱长为a，则0，，0，，0，，a，，
，，，分
设平面的法向量为，则，即，
令，则，，，分
设直线与平面所成角为，
则，，
故直线与平面所成角的正弦值为．分
20.（本小题满分12分）
解：（1）由题可得：
分
（2）①当时，
∴当时，取最大值，（万元）
②当时，
令，因为时，在上单调递增；
∴，
∴
综合①②当
此时可以捐赠（万元）分
答：当年生产40千件时利润最大，此时可捐赠18万元物资款。分
21.（本小题满分12分）
解：Ⅰ设等差数列的公差为d，
由，可得，
又，所以，
又由，得，
所以，分
所以；分
Ⅱ由，得，分
所以，分
因为，所以，
而恒成立，故．
故m的取值范围为分
（本小题满分12分）
（1）由题意知：，，
又，则以为圆心且过的圆的半径为，
故，所以椭圆的标准方程为：分
（2）（ⅰ）设直线的方程为：，
将代入得：，
所以且，
故.
又，
点到直线的距离，
所以，
等号当仅当时取，即当时，的面积取最大值为分
（ⅱ）显然直线的斜率一定存在，
设直线的方程为：，，
由（ⅰ）知：
所以，
所以，
解得，，直线过定点或，
所以D在以OZ为直径的圆上，该圆的圆心为或，半径等于，
所以存在定点或，使得为定值分