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    高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀ppt课件

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    这是一份高中数学人教A版 (2019)选择性必修 第三册6.2 排列与组合优秀ppt课件,文件包含623-624组合与组合数课件-人教A版选择性必修第三册pptx、623-624组合与组合数导学案-人教A版选择性必修第三册docx、623-624组合与组合数教学设计-人教A版选择性必修第三册docx等3份课件配套教学资源,其中PPT共0页, 欢迎下载使用。

    6.2.3- 6.2.4  组合与组合数 

    本节课选自《2019人教A版高中数学选择性必修第册》章《计数原理》,本节课主本节课主要学习组合与组合数.

    排列与组合在学习了两个计数原理之后,由于排列、组合及二项式定理的研究都是以两个计数原理为基础,同时排列和组合又能进一步简和优化计数问题。教学的重点是组合的理解,利用计数原理排列数公式推导组合数公式,注意区分排列与组合的区别,难点是运用组合解决实际问题

    课程目标

    学科素养

    A. 理解并掌握组合、组合数的概念,掌握组合与排列之间的联系与区别.

    B.熟练掌握组合数公式及组合数的两个性质,并运用于计算之中.

    C.能够运用排列组合公式及计数原理解决一些简单的应用问题,提高学生的数学应用能力与分析问题、解决问题的能力.

    1.数学抽象:组合的概念

    2.逻辑推理:组合公式的推导

    3.数学运算:组合数的计算性质

    4.数学建模:运用组合解决计数问题

     

    重点:组合、组合数的概念并运用排列组合公式解决问题

    难点:组合与排列之间的联系与区别

    多媒体

     

     

     

    教学过程

    教学设计意图

    核心素养目标

    一、    问题探究

    问题1. 从甲乙丙三名同学中选两名去参加一项活动,有多少种不同的选法?这一问题与6.2.1节问题一有什么联系与区别?

    分析:在6.2.1 节问题16种选法中,存在“甲上午,乙下午”和“甲上午,乙下午” 2种不同顺序的选法,我们可以将它看成先选出甲、乙两名同学,然后再分配上午和下午而得到的.同样,先选出甲、丙、或乙、丙,再分配上午和下午也各有2种方法.从而甲、乙、丙3名同选2名去参加一项活动,就只需考虑选出的2名同学作为一组,不需要考虑他们的顺序。于是,在6.2.1节问题16种选法中,将选出的2名同学作为一组的选法就只有如下3种情况:

    甲乙、甲丙、乙丙.

    从三个不同元素中取出两个元素作为一组一共有多少个不同的组?

    一、组合的相关概念

    1.组合:一般地,n个不同元素中取出m(mn)个元素作为一组,叫做从n个不同元素中取出m个元素的一个组合.

    2.相同组合:两个组合只要元素相同,不论元素的顺序如何,都是相同的.

    名师点析排列与组合的区别与联系

    (1)共同点:两者都是从n个不同元素中取出m(mn)个元素.

    (2)不同点:排列与元素的顺序有关,组合与元素的顺序无关.

    1.校门口停放着9辆共享自行车,其中黄色、红色和绿色的各有3辆,下面的问题是排列问题,还是组合问题?
    1)从中选3辆,有多少种不同的方法?
    2)从中选2辆给3位同学有多少种不同的方法?

    1)与顺序无关,是组合问题;

    2)选出2辆给3位同学是有顺序的,是排列问题。

    5.平面内有ABCD4个点.
    1)以其中2个点为端点的有向线段共有多少条?
    2)以其中2个点为端点的线段共有多少条?

    分析:(1)确定一条有向线段,不仅要确定两个端点,还要考虑他们的顺序是排列问题;
    2)确定一条线段,只需确定两个端点,而不需要考虑它们的顺序是组合问题.

    解:(1)一条有向线段的两个端点,要分起点和终点,以平面内4个点中的2个为端点的有向线段条数,就是从4个不同元素中取出2个元素的排列数,即有向线段条数为=4×3=12.
    12条有向线段分别为

    , , , , , ,

    2)由于不考虑两个端点的顺序,因此将(1)中端点相同、方向不同的2条有向线段作为一条线段,就是中平面内4个点中的2个点为端点的线段的条数,

    共有如下6条:
     AB,AC,AD,BC,BD,CD.

    问题2:利用排列和组合之间的关系,以“元素相同标准分类,你能建立起例51)中排列和(2)中组合之间的对应关系吗?

    进一步地,能否从这种对应关系出发,由排列数求出组合的个数?

     

    二、组合数与组合数公式

    1.组合数的定义:n个不同元素中取出m(mn)个元素的所有不同组合的个数,

    叫做从n个不同元素中取出m个元素的组合数,

    用符号 表示.

    例如,从3个不同元素中取出2个元素的组合数,表示为

    4个不同元素中取出3个元素的组合数,表示为.

    思路:从4个不同元素中取出3个元素的组合数,设这4个元素为a,b,c,d,那么从中取出3个元素的排列数 =24,以“元素相同”为标准将这24个排列分组如图,一共有4组,因此组合数 =4.

    问题3:前面已经提到,组合和排列有关系,我们能否利用这种关系,由排列数来求组合数呢?

     

    也可以这样理解,求“从4个元素中取出3个元素的排列数

    1步,从4个元素中取出3个元素作为一组,共有种不同的取法;
    2步,将取出的3个元素做全排列,共有种不同的取法.
    于是,根据分布乘法计数原理有
    =

    ==4.

    同样的从个不同对象中取出个做排列,可以分成两个步骤完成,第一步从个不同对象中取出 个,有种选法;

    第二步将选出的个对象做全排列,有种排法.

    由分步乘法计数原理有 ,所以

    上述公式称为组合数公式.

    2.组合数公式:,这里n,mN*,并且mn.

    另外,我们规定=1.

     

    二、典例解析

    6.计算:

    1;(3

    :根据组合数公式,可得

    1         120;

    2        

    (3)

    (4)

        观察例6的(1)与(2),(3)与(4)的结果,你有什么发现?(1)与(2)分别用了不同形式的组合数公式,你对公式的选择有什么想法?

    1.公式(m,nN*,mn),一般用于求值计算.

    2.公式(m,nN*,mn),一般用于化简证明.在具体选择公式时,要根据题目特点正确选择.

    3.根据题目特点合理选用组合数的两个性质,能起到简化运算的作用,需熟练掌握.

    跟踪训练1. (1)计算:3-2;.

    (2)求证:+2.

    分析:(1)先考虑利用组合数的性质对原式进行化简,再利用组合数公式展开计算.(2)式子中涉及字母,可以用阶乘式证明.

    (1):3-2=3×-2×+1=149.

    +200=5 150.

    (2)证明左边=

    =·[(n-m)(n-m+1)+m(m+1)+2(m+1)(n-m+1)]

    =(n+2)(n+1)

    =

    ==右边.

    7. 100件产品中,有98件合格品,2件次品.从这100件产品中任意抽出3.

    1)有多少种不同的抽法?

    2)抽出的3件中恰好有1件是次品的抽法有多少种?

    3)抽出的3件中至少有1件是次品的抽法有多少种? 

    分析:1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数;

    2)分两步,第一步从2件次品中抽出1件次品,第二步从98件合格品中抽出2件合格品,由乘法原理可得;

    3)可从反面考虑,其反面是抽出的3件全是合格品,求出方法数后,由第(1)题的结论减去这个结果即可得.

    :(1)所求的不同抽法的种数,就是从100件产品中取出3件的组合数,共有()

    2)从2件次品中抽出1件次品的抽法有种,

    98件合格品中抽出2件合格品的抽法有种,

    因此抽出的3件中恰好有1件次品的抽法有().

    3)抽出的3件产品中至少有1件是次品的抽法的种数,

    也就是从100件中抽出3件的抽法种数减去3件中都是合格品的抽法的种数,

    ().

    组合问题的基本解法

    (1)判断是否为组合问题;

    (2)是否分类或分步;

    (3)根据组合的相关知识进行求解.

    跟踪训练2.在一次数学竞赛中,某学校有12人通过了初试,学校要从中选出5人去参加市级培训,在下列条件下,有多少种不同的选法?

    (1)任意选5;

    (2)甲、乙、丙三人必须参加;

    (3)甲、乙、丙三人不能参加;

    (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加;

    (5)甲、乙、丙三人至少1人参加.

    分析:本题属于组合问题中的最基本的问题,可根据题意分别对不同问题中的不含作出正确的判断和分析.注意至少”“至多问题,运用间接法求解会简化思维过程.

    :(1)=792()不同的选法.

    (2)甲、乙、丙三人必须参加,只需从另外的9人中选2,共有=36()不同的选法.

    (3)甲、乙、丙三人不能参加,只需从另外的9人中选5,共有=126()不同的选法.

    (4)甲、乙、丙三人只能有1人参加,分两步,先从甲、乙、丙

    中选1,=3()选法,再从另外的9人中选4人有种选法.共有=378()不同的选法.

    (5)(方法一 直接法)可分为三类:

    1,甲、乙、丙中有1人参加,种选法;

    2,甲、乙、丙中有2人参加,种选法;

    3,甲、乙、丙3人均参加,种选法.

    所以,共有=666()不同的选法.

    (方法二 间接法)12人中任意选5人共有,甲、乙、丙三人不能参加的有,

    所以,共有=666()不同的选法.

    变式: 若本例题条件不变,甲、乙、丙三人至多2人参加,有多少种不同的选法?

    :(方法一 直接法)甲、乙、丙三人至多2人参加,可分为三类:

    1,甲、乙、丙都不参加,种选法;

    2,甲、乙、丙中有1人参加,种选法;

    3,甲、乙、丙中有2人参加,种选法.

    共有=756()不同的选法.

    (方法二 间接法)12人中任意选5人共有,甲、乙、丙三人全参加的有种选法,所以共有=756()不同的选法.

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    通过具体问题,分析、比较、归纳出组合的概念。发展学生数学运算,数学抽象和数学建模的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    在典例分析和练习中让学生熟悉组合和组合数的概念进而灵活运用排列数解决问题。发展学生逻辑推理,直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    三、达标检测

    1.10个不同的数中任取2个数,求其和、差、积、商这四个问题中,属于组合的有(  )

    A.1               B.2              C.3            D.4

    解析:因为减法和除法运算中交换两个数的位置对计算结果有影响,所以属于组合的有2.

    答案:B

    2.=3,n的值为(  )

    A.4   B.5        C.6           D.7

    解析:因为=3,所以n(n-1)=,解得n=6.故选C.

    答案:C

    3.若集合A={a1,a2,a3,a4,a5},则集合A的子集中含有4个元素的子集共有     . 

    解析:满足要求的子集中含有4个元素,由集合中元素的无序性,知其子集个数为=5.

    答案:5

    4.平面内有12个点,其中有4个点共线,此外再无任何3点共线,以这些点为顶点,可得多少个不同的三角形?

    :(方法一)我们把从共线的4个点中取点的多少作为分类的标准:

    1,共线的4个点中有2个点作为三角形的顶点,共有=48()不同的三角形;

    2,共线的4个点中有1个点作为三角形的顶点,共有=112()不同的三角形;

    3,共线的4个点中没有点作为三角形的顶点,共有=56()不同的三角形.

    由分类加法计数原理,不同的三角形共有

    48+112+56=216().

    (方法二 间接法)=220-4=216().

     

    通过练习巩固本节所学知识,通过学生解决问题,发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

     

     

     

     

    四、小结

    五、课时练

     

    通过总结,让学生进一步巩固本节所学内容,提高概括能力。

     

    在本节课的教学中,学生可能遇到的问题(或困难、障碍)是学生对组合概念的理解并能区分出组合与排列。要解决这一问题,就要要通过典型的、学生比较熟悉的实例,经过概括得出组合的定义,然后借助计数原理好排列数,推导出组合数公式,其中关键是在具体情境中运用组合解决计数问题。

     

     

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