高中第六章 计数原理6.3 二项式定理优秀课件ppt

课程目标

学科素养

A. 利用计数原理分析二项式的展开过程，归纳、猜想出二项式定理，并用计数原理加以证明；

B.会应用二项式定理求解二项展开式；

C.通过经历二项式定理的探究过程，体验“归纳、猜想、证明”的数学发现过程，提高自己观察、分析、概括的能力，以及 “从特殊到一般”、“从一般到特殊”等数学思想的应用能力.

1.数学抽象：二项式定理

2.逻辑推理：运用组合推导二项式定理

3.数学运算：运用二项式定理解决问题

4.数学建模： 在具体情境中运用二项式定理

教学过程

教学设计意图

核心素养目标

一、    问题探究

上一节学习了排列数公式和组合数公式，本节我们用它们解决一个在数学上有着广泛应用的展开式的问题。

问题1：我们知道

 =a2+2ab+b2,

（1）观察以上展开式，分析其运算过程，你能发现什么规律？

（2）根据你发现的规律，你能写出的展开式吗？

（3）进一步地，你能写出的展开式吗？

我们先来分析的展开过程，根据多项式乘法法则，

可以看到，是2个相乘，只要从一个中选一项（选或），再从另一个中选一项（选或），就得到展开式的一项，于是，由分步乘法计数原理，在合并同类项之前，的展开式共有=项，而且每一项都是（ =0,1,2）的形式.

我们来分析一下形如的同类项的个数.

当=0时，=，这是由2个中都不选得到的，因此，出现的次数相

当于从2个中取0个（即都取）的组合数，即只有1个；

当=1时，= ，这是由1个中选，另一个选得到的，由于选定后，的选法也随之确定，因此， 出现的次数相当于从2个中取1个的组合数，即只有2个；

当=2时，= ，这是由2个中选得到的，因此，出现的次数相当于从2个中取2个的组合数，即只有1个；

由上述

问题2：仿照上述过程，你能利用计数原理，写出，的展开式吗？

类似

1．二项式定理

(a＋b)n＝_________________________ (n∈N*)．

(1)这个公式所表示的规律叫做二项式定理．

(2)展开式：等号右边的多项式叫做(a＋b)n的二项展开式，展开式中一共有______项．

(3)二项式系数：各项的系数____ (k∈{0,1,2，…，n})叫做二项式系数．

Can＋Can－1b＋Can－2b2＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn

n＋1 ；C

2．二项展开式的通项公式

(a＋b)n展开式的第______项叫做二项展开式的通项，记作Tk＋1＝______.

k＋1 ；Can－kbk

二项式定理形式上的特点

(1)二项展开式有n+1项,而不是n项.

(2)二项式系数都是(k=0,1,2,…,n),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等.

(3)二项展开式中的二项式系数的和等于2n,即+…+=2n.

(4)在排列方式上,按照字母a的降幂排列,从第一项起,次数由n次逐项减少1次直到0次,同时字母b按升幂排列,次数由0次逐项增加1次直到n次.

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)(a＋b)n展开式中共有n项． (　　)

(2)在公式中，交换a，b的顺序对各项没有影响． (　　)

(3)Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k项． (　　)

(4)(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数相同． (　　)

[解析]　(1)×　因为(a＋b)n展开式中共有n＋1项．

(2)×　因为二项式的第k＋1项Can－kbk和(b＋a)n的展开式的

第k＋1项Cbn－kak是不同的，其中的a，b是不能随便交换的．

(3)×　因为Can－kbk是(a＋b)n展开式中的第k＋1项．

(4)√　因为(a－b)n与(a＋b)n的二项式展开式的二项式系数都是C.

[答案]　(1)×　(2)×　(3)×　(4)√

二、典例解析

例1.求的展开式.

解：根据二项式定理

+

1.(a+b)n的二项展开式有n+1项,是和的形式,各项的幂指数规律是:(1)各项的次数和等于n.(2)字母a按降幂排列,从第一项起,次数由n逐项减1直到0;字母b按升幂排列,从第一项起,次数由0逐项加1直到n.

2.逆用二项式定理可以化简多项式,体现的是整体思想.注意分析已知多项式的特点,向二项展开式的形式靠拢.

跟踪训练1 (1)求34的展开式;

(2)化简:(x-1)5+5(x-1)4+10(x-1)3+10(x-1)2+5(x-1).

解:(1)方法一

34=(3)4+(3)3·(3)2·2

+·33+·4=81x2+108x+54+.

方法二

34=

=(81x4+108x3+54x2+12x+1)

=81x2+108x+54+.

(2)原式=(x-1)5+(x-1)4+(x-1)3+(x-1)+(x-1)0-1=[(x-1)+1]5-1=x5-1.

例2.（1）求的展开式的第4项的系数；

（2）求的展开式中的系数.

解：的展开式的第4项是

因此,展开式第4项的系数是280.

（2） 的展开式的通项是

根据题意，得，

因此，

二项式系数与项的系数的求解策略

(1)二项式系数都是组合数(k∈{0,1,2,…,n}),它与二项展开式中某一项的系数不一定相等,要注意区分“二项式系数”与二项展开式中“项的系数”这两个概念.

(2)第k+1项的系数是此项字母前的数连同符号,而此项的二项式系数为.例如,在(1+2x)7的展开式中,第4项是T4=17-3(2x)3,其二项式系数是=35,而第4项的系数是23=280.

跟踪训练2. (1)求二项式26的展开式中第6项的二项式系数和第6项的系数;

(2)求x-9的展开式中x3的系数.

解:(1)由已知得二项展开式的通项为

Tk+1=(2)6-k·-k=26-k·(-1)k·,

∴T6=-12.

∴第6项的二项式系数为=6,

第6项的系数为·(-1)5·2=-12.

(2)设展开式中的第k+1项为含x3的项,则

Tk+1=x9-k-k=(-1)kx9-2k,

令9-2k=3,得k=3,即展开式中第4项含x3,其系数为(-1)3·=-84.

学生带着问题去观察展开式，引发思考积极参与互动，说出自己见解。发展学生逻辑推理、数学运算、数学抽象和数学建模的核心素养。

这个过程让学生亲身经历了从“繁杂计算之苦”到领悟“分步乘法原理与组合数的简洁美”，这也是一个内化的过程，巩固已有思想方法，建立猜想二项式定理的认知基础。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

通过典例解析，让学生体会利用二项式定理模型进行计算，感受数学模型在数学应用中的价值。发展学生逻辑推理，直观想象、数学抽象和数学运算的核心素养。

三、达标检测

1.(a+b)2n的展开式的项数是(　　)

A.2n B.2n+1        C.2n-1 D.2(n+1)

解析:易知二项式(a+b)2n的展开式中有2n+1项,故展开式的项数为2n+1.

答案:B

2.(2a+b)5的展开式的第3项是(　　)

A.23 B.23a3b2 C.23 D.23a2b3

解析:T2+1=(2a)3b2=23a3b2.

答案:B

3.二项式的展开式中有理项共有　　　项. 

解析:根据二项式定理的通项

Tk+1=.

当取有理项时,为整数,

此时k=0,2,4,6.故共有4项.

答案:4

4.如果()n的展开式中,含x2的项为第三项,则自然数n=　　　　. 

解析:Tk+1=)n-k()k=,由题意知当k=2时,=2,解得n=8.   答案:8

5.已知m,n∈N*,f(x)=(1+x)m+(1+x)n的展开式中x的系数为19,求x2的系数的最小值及此时展开式中x7的系数.

解:由题设知m+n=19,又m,n∈N*,∴1≤m≤18.

x2的系数为(m2-m)+(n2-n)=m2-19m+171.

∴当m=9或10时,x2的系数的最小值为81,

此时x7的系数为=156.

6.已知在的展开式中,第6项为常数项.

(1)求n;

(2)求含x2的项的系数;

(3)求展开式中所有的有理项.

分析:先利用二项展开式的通项,求出当x的次数为0时n的值,再求解第(2)问、第(3)问.

解:(1)由通项知,展开式中第k+1项为

Tk+1=·()n-k··()n-k·.

∵第6项为常数项,∴k=5,且n-5×2=0,∴n=10.

(2)由(1)知Tk+1=.令=2,则k=2.

∴x2的系数为×45=.

(3)当Tk+1项为有理项时,为整数,0≤k≤10,且k∈N.

令=z,则k=5-z,

∴z为偶数,从而求得当z=2,0,-2时,相应地k=2,5,8符合条件.

∴有理项为T3=x2=x2,

T6==-,T9=x-2=x-2.

通过练习巩固本节所学知识，通过学生解决问题，发展学生的数学运算、逻辑推理、直观想象、数学建模的核心素养。

四、小结

五、课时练

通过总结，让学生进一步巩固本节所学内容，提高概括能力。