高中数学人教B版 (2019)必修 第三册8.2.1 两角和与差的余弦优秀ppt课件

8.2.1 两角和与差的余弦

本节课是人教B版必修3的第八章《向量数量积与三角恒等变换》第一节，教材在学生掌握了任意角三角函数的概念，向量的坐标表示以及向量数量积坐标表示的基础上，进一步研究用单角的三角函数表示的两角和与差的三角函数。“两角差的余弦公式”在教科书中采用了一种易于教学的推导方法，即先借助于单位圆的三角函数线，推出均为锐角时成立。对于为任意角的情况，教材运用向量的知识进行了探究。同时，补充了用向量的方法推导过程的不严谨之处，这样，两角差的余弦公式便具有了一般性。本课时面对的学生是高一年级的学生，数学表达能力和逻辑推理能力正处于高度发展的时期，学生对探索未知世界有主动意识，对新知识充满探求的渴望。他们经过了半个多学期的高中生活，储备了一定的数学知识，掌握了一些高中数学的学习方法，这为本节课的学习建立了良好的知识基础。

【教学重点】

两角和与差的公式及其变形的推导，应用公式进行求值、化简、变形

【教学难点】

两角和与差的公式及其变形的应用

引入

因为，所以，因此可能有人会猜想：

这显然不对：一定大于0，但上式右边小于0.

事实上，可以证明，对于任意与，都有

这就是两角差的余弦公式，通常记为。

证明：方法一：

设，则有，

在直角坐标系内作圆，并做出任意角，它们的终边分别交单位圆于点，单位圆与x轴交于，则.

且

方法二：

如图所示，在平面直角坐标系xoy中，设的终边与单位圆的交点分别为P，Q，则

，因此

从而有：；

另一方面，由图可知，存在，使得

或

因此，又因为，所以

故

利用可知：

当然，的值也可借助与来求，即

例1.利用证明以下诱导公式

（1）        (2)

证明：（1）由可知，.

(2) 由可知，.

借助以及诱导公式可以得到两角和的余弦公式，即

证明：因为所以

新知新学：

1．对任意角α与β，都有cos(α－β)＝cos_αcos_β＋sin_αsin_β，这就是两角差的余弦公式，

简记为Cα－β.

2．两角和的余弦公式Cα＋β：cos(α＋β)＝cos_αcos_β－sin_αsin_β.

【对点快练】

1．cos 17°等于(　　)

A．cos 20°cos 3°－sin 20°sin 3°

B．cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°         

C．sin 20°sin 3°－cos 20°cos 3°

D．cos 20°sin 20°＋sin 3°cos 3°

答案：B　cos 17°＝cos(20°－3°)＝cos 20°cos 3°＋sin 20°sin 3°.

2．若a＝(cos 60°，sin 60°)，b＝(cos 15°，sin 15°)，则a·b＝(　　)

A．　　　 B．　　　

C．　　　 D．－

答案：A　 a·b＝cos 60°cos 15°＋sin 60°sin 15°＝cos (60°－15°)＝cos 45°＝.

例2.求的值。

解：

例3.已知其中，求

解：因为且，所以

因此，

例4.求的值。

解：由可知

【变式练习1】

(1)已知cos θ＝，θ∈，则cos＝____________.

(2)化简cos 80°·cos 35°＋cos 10°·cos 55°＝____________.

答案：(1)　∵cos θ＝，θ∈，∴sin θ＝，

∴cos＝cos θcos＋sin θsin＝×＋×＝.]

(2)　[原式＝cos 80°cos 35°＋sin 80°sin 35°＝cos(80°－35°)＝cos 45°＝.

【变式练习2】

已知cos α＝－，α∈，tan β＝－，β∈，求cos(α＋β)．

解：因为α∈，cos α＝－，所以sin α＝－.

因为β∈，tan β＝－，

所以cos β＝－，sin β＝.

所以cos(α＋β)＝cos αcos β－sin αsin β

＝－×－×＝.

例5. 已知α、β均为锐角，且cos α＝，cos β＝，求α－β的值．

解　∵α、β均为锐角，∴sin α＝，sin β＝.

∴cos(α－β)＝cos αcos β＋sin αsin β＝×＋×＝.

又sin α＜sin β，∴0＜α＜β＜，

∴－＜α－β＜0.故α－β＝－.

【变式练习】

已知cos α＝，cos(α－β)＝，且0＜β＜α＜，求β的值．

解　由cos α＝，0＜α＜，得

sin α＝ ＝ ＝.

由0＜β＜α＜，得0＜α－β＜.

又∵cos(α－β)＝，

∴sin(α－β)＝

＝ ＝.

由β＝α－(α－β)得

∴cos β＝cos αcos(α－β)＋sin αsin(α－β)

＝×＋×＝.

∵0＜β＜，∴β＝.

例6.已知sin＝，且＜α＜，求cos α的值．

解　∵sin＝，且＜α＜，

∴＜α＋＜π，∴cos＝ －＝－.

∴cos α＝cos

＝coscos＋sinsin

＝－×＋×＝.

【变式练习1】

在本例中，若把α的范围改为：“π＜α＜π”，其他条件不变，又如何求cos α的值？

解　∵sin＝，且＜α＜π.

∴π＜α＋＜2π.

∴cos＝

＝ ＝.

∴cos α＝cos＝cos·cos＋sin·sin

＝×＋×＝.

【变式练习2】

已知tan α＝4，cos (α＋β)＝－，α、β均为锐角，求cos β的值．

解　∵α∈，tan α＝4，∴sin α＝4cos α①

sin2α＋cos2α＝1②，由①②得sin α＝，cos α＝.

∵α＋β∈(0，π)，cos(α＋β)＝－，∴sin(α＋β)＝.

∴cos β＝cos[(α＋β)－α]

＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α

＝×＋×＝.

又β为锐角，∴cos β＝.

小结：

1.给式求值或给值求值问题，即由给出的某些函数关系式或某些角的三角函数值，求另外一些角的三角函数值，关键在于“变式”或“变角”，使“目标角”换成“已知角”．注意公式的正用、逆用、变形用，有时需运用拆角、拼角等技巧．

2．“给值求角”问题，实际上也可转化为“给值求值”问题，求一个角的值，可分以下三步进行：①求角的某一三角函数值；②确定角所在的范围(找一个单调区间)；③确定角的值．确定用所求角的哪种三角函数值，要根据具体题目而定．