人教B版 (2019)必修 第四册10.1.1 复数的概念完整版作业ppt课件

10.1　复数及其几何意义

10.1.1　复数的概念

1．复数的概念及分类

(1)数系的扩充及对应的集合符号表示

→→→→

↓　　　　↓　　　　↓　　　　↓　　 　↓

N――――→Z―――→Q――――→R―――→C

(2)复数的有关概念

(3)复数的分类

②集合表示

2．两个复数相等的充要条件

在复数集C＝{a＋bi|a，b∈R}中，任取两个复数a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，规定a＋bi与c＋di相等的充要条件是a＝c且b＝d.

1．(1＋)i的实部与虚部分别是(　　)

A．1，　　　 B．1＋，0

C．0,1＋ D．0，(1＋)i

C　[(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi，所以实部a＝0，虚部b＝1＋.]

2．若复数2－bi(b∈R)的实部与虚部互为相反数，则b的值为(　　)

A．－2   B．

C．－ D．2

D　[复数2－bi的实部为2，虚部为－b，由题意知2＝－(－b)，∴b＝2.]

3．如果(x＋y)i＝x－1，则实数x，y的值分别为________．

1，－1　[∵(x＋y)i＝x－1，

∴∴x＝1，y＝－1.]

4．已知a是实数，i是虚数单位，若z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，则a＝________.

1　[∵z＝a2－1＋(a＋1)i是纯虚数，

∴，解得a＝1.]

【例1】　(1)给出下列三个命题：①若z∈C，则z2≥0；②2i－1的虚部是2i；③2i的实部是0.其中真命题的个数为(　　)

A．0　　　　　  B．1

C．2 D．3

(2)已知复数z＝a2－(2－b)i的实部和虚部分别是2和3，则实数a，b的值分别是a＝________，b＝________.

(3)下列命题正确的是__________(填序号)．

①若x，y∈C，则x＋yi＝1＋2i的充要条件是x＝1，y＝2；

②若实数a与ai对应，则实数集与纯虚数集一一对应；

③实数集的补集是虚数集．

(1)B　(2)±，5　(3)③　[(1)对于①，当z∈R时，z2≥0成立，否则不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①为假命题；

对于②，2i－1＝－1＋2i，其虚部为2，不是2i，所以②为假命题；

对于③，2i＝0＋2i，其实部是0，所以③为真命题．

(2)由题意，得a2＝2，－(2－b)＝3，所以a＝±，b＝5.

(3)①由于x，y都是复数，故x＋yi不一定是代数形式，因此不符合两个复数相等的充要条件，故①是假命题．

②当a＝0时，ai＝0为实数，故②为假命题．

③由复数集的分类知，③正确，是真命题．]

判断与复数有关的命题是否正确的方法

1．举反例：判断一个命题为假命题，只要举一个反例即可，所以解答这类题型时，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法进行解答．

2．化代数式：对于复数实部、虚部的确定，不但要把复数化为a＋bi的形式，更要注意这里a，b均为实数时，才能确定复数的实、虚部．

1．对以下命题：

①1＋i2＝0；

②若a，b∈R，且a＞b，则a＋i＞b＋i；

③若x2＋y2＝0，则x＝y＝0；

④两个虚数不能比较大小．

其中，正确命题的个数是(　　)

A．1 B．2

C．3 D．4

B　[对于①，因为i2＝－1，所以1＋i2＝0.故①正确．

对于②，两个虚数不能比较大小，故②错．

对于③，当x＝1，y＝i时x2＋y2＝0成立，故③错．④正确．]

【例2】　(1)复数z＝a2－b2＋(a＋|a|)i(a，b∈R)为纯虚数的充要条件是(　　)

A．|a|＝|b| B．a<0且a＝－b

C．a>0且a≠b D．a>0且a＝±b

(2)已知m∈R，复数z＝＋(m2＋2m－3)i，当m为何值时，

①z为实数？　②z为虚数？　③z为纯虚数？

[思路探究]　依据复数的分类列出方程(不等式)组求解．

(1)D　[要使复数z为纯虚数，则∴a>0，a＝±b.故选D.]

(2)解：①要使z为实数，需满足m2＋2m－3＝0，且有意义，即m－1≠0，解得m＝－3.

②要使z为虚数，需满足m2＋2m－3≠0，且有意义，即m－1≠0，解得m≠1且m≠－3.

③要使z为纯虚数，需满足＝0，且m2＋2m－3≠0，解得m＝0或m＝－2.

含参数的复数问题解题技巧

1．判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数．首先，参数的取值要保证复数有意义，然后按复数表示实数、虚数、纯虚数等各类数的充要条件求解．

2．对于复数z＝a＋bi(a，b∈R)，既要从整体的角度去认识它，把复数z看成一个整体，又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它．

3．形如bi的数不一定是纯虚数，只有限定条件b∈R且b≠0时，形如bi的数才是纯虚数．

[探究问题]

1．a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的充分条件吗？

提示：因为当a＝0且b≠0时，z＝a＋bi才是纯虚数，所以a＝0是复数z＝a＋bi为纯虚数的必要不充分条件．

2．3＋2i＞3＋i正确吗？

提示：不正确，如果两个复数不全是实数，那么它们就不能比较大小．

【例3】　(1)若(x＋y)＋yi＝(x＋1)i，求实数x，y的值；

(2)关于x的方程3x2－x－1＝(10－x－2x2)i有实根，求实数a的值．

[思路探究]　根据复数相等的充要条件求解．

[解]　(1)由复数相等的充要条件，

得解得

(2)设方程的实根为x＝m，

则原方程可变为3m2－m－1＝(10－m－2m2)i，

所以

解得或

所以实数a的值为a＝11或－.

复数相等问题的解题技巧

1．必须是复数的代数形式才可以根据实部与实部相等，虚部与虚部相等列方程组求解．

2．根据复数相等的条件，将复数问题转化为实数问题，为应用方程思想提供了条件，同时这也是复数问题实数化的体现．

2．已知x2＋y2－6＋(x－y－2)i＝0，求实数x，y的值．

[解]　由复数相等的条件得方程组

由②得x＝y＋2，代入①得y2＋2y－1＝0.

解得y1＝－1＋，y2＝－1－.

所以x1＝y1＋2＝1＋，x2＝y2＋2＝1－.

即或

1．区分实数、虚数、纯虚数与复数的关系，特别要明确：实数也是复数，要把复数与实数加以区别．对于纯虚数bi(b≠0，b∈R)不要只记形式，要注意b≠0.

2．应用两复数相等的充要条件时，首先要把等号左右两边的复数写成代数形式，即分离实部与虚部，然后列出等式求解．

3．若两个复数全是实数，则可以比较大小，反之，若两个复数能比较大小，则它们必是实数．

1．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)若a，b为实数，则z＝a＋bi为虚数． (　　)

(2)若a为实数，则z＝a一定不是虚数． (　　)

(3)bi是纯虚数．  (　　)

(4)如果两个复数的实部的差和虚部的差都等于0，那么这两个复数相等．

  (　　)

[答案]　(1)×　(2)√　(3)×　(4)√

2．下列命题中是假命题的是(　　)

A．自然数集是非负整数集

B．实数集与复数集的交集为实数集

C．实数集与虚数集的交集是{0}

D．纯虚数集与实数集的交集为空集

C　[复数可分为实数和虚数两大部分，虚数中含有纯虚数，因此，实数集与虚数集没有公共元素，C是假命题．]

3．下列命题：

①若a∈R，则(a＋1)i是纯虚数；

②若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i(x∈R)是纯虚数，则x＝±1；

③两个复数不能比较大小．

其中错误命题的序号是__________．

①②③　[当a＝－1时，(a＋1)i＝0，故①错误；若(x2－1)＋(x2＋3x＋2)i是纯虚数，则即x＝1，故②错；两个复数当它们都是实数时，是可以比较大小的，③中忽视了这一特殊情况，故③错．]

4．若复数z＝(m＋1)＋(m2－9)i＜0，则实数m＝________.

－3　[∵z＜0，∴，∴m＝－3.]

5．实数m分别取什么数值时，复数z＝(m2＋5m＋6)＋(m2－2m－15)i

(1)是实数；(2)是虚数；(3)是纯虚数；(4)是0.

[解]　由m2＋5m＋6＝0得，m＝－2或m＝－3，由m2－2m－15＝0得m＝5或m＝－3.

(1)当m2－2m－15＝0时，复数z为实数，∴m＝5或m－3.

(2)当m2－2m－15≠0时，复数z为虚数，∴m≠5且m≠－3.

(3)当时，复数z是纯虚数，∴m＝－2.

(4)当时，复数z是0，∴m＝－3.