高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示一等奖教学设计

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示一等奖教学设计，共17页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，补偿训练，跟踪训练，变式探究，拓展延伸，拓展训练等内容，欢迎下载使用。
编号：007     课题:§9.3.2.2  向量数量积的坐标表示目标要求1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．3、理解并掌握向量模的问题．4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量模的问题；难点：向量夹角、垂直问题．教学过程基础知识点1.平面向量数量积的坐标表示条件向量坐标表示 文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的___乘积的和__2.平面向量数量积的坐标表示的结论(1)结论条件结论 表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为向量2.平面向量数量积的坐标表示的结论(1)结论条件结论都是非零向量,,θ是与的夹角(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.【思考】 已知向量,则与共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么?  【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是    (     )A.向量的模等于向量坐标的平方和.B.若向量,则.C.两个非零向量同向时，有.D.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角. 题2.若向量,且,则实数m的值为________.  题3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cos θ=______.  关键能力·合作学习类型一 数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】题4.若,且,则x等于   (    )A.3             B.             C.          D .-3 题5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是                   (     )  A.         B.         C.        D 题6.若,则________;________.  【解题策略】 关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【补偿训练】题7.已知向量,则k=    (    )A.-12        B.-6       C.6        D.12 题8.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是   (    )A.-2              B.          C.       D.-1 类型二 向量模的问题(数学运算) 【典例】题9.已知向量.(1)  求的坐标及模;(2)若,求.   【解题策略】 向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算,若,则.【跟踪训练】题10.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,,则 ________.  【补偿训练】题11.已知,若,求的坐标及. .类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算)  角度1 平面向量的夹角问题 【典例】题12.已知,若与的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围. 【变式探究】题13.已知,与的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.  角度2 平面向量的垂直问题 【典例】题14.已知向量,向量.(1)求向量的坐标;(2)若,求实数k的值.  【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量垂直问题时,一般借助来解决.【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设是坐标平面内的三个点,则.2.向量共线的条件由可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有 ,利用此结论也可以判断两向量是否共线.【拓展训练】题15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 (    )A.直角三角形          B.锐角三角形C.钝角三角形   D.等边三角形 题16.已知向量,若,则实数λ= (    )A.             B.           C.-2          D.2 题17.已知向量.(1)求的值;(2)求向量与夹角的余弦值. 【补偿训练】题18.已知,当k为何值时,(1)与垂直;(2)与的夹角为120°.  备选类型 用向量解代数问题(数学建模)【典例】题19.求函数的最大值.  【解题策略】 向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.【跟踪训练】题20.已知a,b,m,n∈,设,其中mn≠0,用向量方法求证:.  课堂检测·素养达标题21.设,则  (    )A.12  B.0  C.-3  D.-11 题22.已知平面向量，则向量的模是 (     )A.      B.      C.      D.5 题23.已知向量,且,则m=______.  题24.已知,则夹角的余弦值等于________.  题25.已知.求.                                    编号：007     课题:§9.3.2.2  向量数量积的坐标表示目标要求1、理解并掌握平面向量数量积的坐标表示及相关结论．2、理解并掌握向量数量积的坐标运算．3、理解并掌握向量模的问题．4、理解并掌握向量夹角、垂直问题.学科素养目标向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．重点难点重点：向量模的问题；难点：向量夹角、垂直问题．教学过程基础知识点1.平面向量数量积的坐标表示条件向量坐标表示 文字叙述两个向量的数量积等于它们对应坐标的___乘积的和__2.平面向量数量积的坐标表示的结论(1)结论条件结论 表示向量的有向线段的起点和终点坐标分别为向量2.平面向量数量积的坐标表示的结论(1)结论条件结论都是非零向量,,θ是与的夹角(2)本质:平面向量数量积的坐标表示及其结论实现了向量运算的完全代数化,并将数与形紧密结合起来.(3)应用:①求向量的模;②求向量的夹角;③判断两个向量垂直.【思考】 已知向量,则与共线和垂直的单位向量的坐标分别是什么? 提示:与共线的单位向量是,则，其中正号、负号分别表示与同向和反向;易知和垂直,所以与垂直的单位向量的坐标是. 【课前基础演练】题1.（多选）下列命题错误的是    (     )A.向量的模等于向量坐标的平方和.B.若向量,则.C.两个非零向量同向时，有.D.若两个非零向量的夹角θ满足cos θ<0,则两向量的夹角θ一定是钝角.【答案】选ABD提示:A×.向量的模等于向量坐标的平方和的算术平方根.B×. . C√. 两个非零向量同向时，夹角为，有.D×. 当两个向量方向相反时,它们的夹角θ=180°满足cos θ=-1<0.题2.若向量,且,则实数m的值为________. 【解析】因为,所以,解得.答案: 题3.已知向量a=(2,2),b=(-8,6),a与b的夹角为θ,则cos θ=______. 【解析】. 答案: 关键能力·合作学习类型一 数量积的坐标运算(数学运算) 【题组训练】题4.若,且,则x等于   (    )A.3             B.             C.          D .-3【解析】选C.因为,所以.题5.如图,在等腰直角三角形ABC中,AB=AC=,D,E是线段BC上的点,且DE=BC,则的取值范围是                   (     )  A.         B.         C.        D【解析】选A.如图所示,以BC所在直线为x轴,以BC的垂直平分线为y轴,建立平面直角坐标系,则A(0,1),B(-1,0),C(1,0),设D(x,0),则，据此有，则，据此可知当时, 取得最小值;当或时，取得最大值，所以的取值范围是.    题6.若,则________;________. 【解析】因为,所以.因为,所以.答案:(-16,-8)      (-8,-12)【解题策略】 关于向量数量积的运算(1)进行数量积运算时,要正确使用公式及向量的坐标运算,并注意与函数、方程等知识的联系.(2)向量数量积的运算有两种思路:一种是基向量法,另一种是坐标法,两者相互补充.如果题目中的图形是等腰三角形、矩形、正方形等特殊图形时,一般选择坐标法.【补偿训练】题7.已知向量,则k=    (    )A.-12        B.-6       C.6        D.12【解析】选D. ,由,得(2,1)·(5,2-k)=0,所以10+2-k=0,解得k=12.题8.已知△ABC是边长为2的等边三角形,P为平面ABC内一点,则的最小值是   (    )A.-2              B.          C.       D.-1【解析】选B.以BC所在的直线为x轴,BC的垂直平分线AD为y轴,D为坐标原点建立平面直角坐标系,如图,可知A(0,),B(-1,0),C(1,0).设P(x,y),则，   所以.所以，当点P的坐标为时, 取得最小值为.类型二 向量模的问题(数学运算) 【典例】题9.已知向量.(1)求的坐标及模;(2)若,求.四步内 容理解题意条件: .(2)若,结论:(1)a-2b的坐标及模;(2)|c|.思路探求(1)先运用线性运算求的坐标,再用公式求模;(2)先运用线性运算求 的坐标,再用公式求模书写表达(1).(2) ,所以,所以.①注意向量书写规范,向量与坐标之间用等号;②注意求模不要忽略根号.题后反思在中,前面的是数值, 相当于数乘运算.【解题策略】 向量模的问题(1)字母表示下的运算,利用将向量模的运算转化为向量的数量积的运算.(2)坐标表示下的运算,若,则.【跟踪训练】题10.在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线,,则 ________. 【解析】因为在平行四边形ABCD中,AC为一条对角线, ,所以,所以,则. 答案: 【补偿训练】题11.已知,若,求的坐标及.【解析】设,则由,得.由,可知2x+3y=0,解方程组  得或所以或,所以或,所以.类型三 向量夹角、垂直问题(数学运算)  角度1 平面向量的夹角问题 【典例】题12.已知,若与的夹角θ为钝角,求实数λ的取值范围.【思路导引】的夹角θ为钝角等价于且θ≠180°.【解析】因为,所以.因为的夹角θ为钝角,所以即 所以λ<1且λ≠-1.所以λ的取值范围是(-∞,-1)∪(-1,1).【变式探究】题13.已知,与的夹角θ为锐角,求实数λ的取值范围.【解析】由已知得, .因为与的夹角为锐角,所以cos θ>0且cos θ≠1,所以且不同向.由,得,由与同向得λ=2.所以实数λ的取值范围为. 角度2 平面向量的垂直问题 【典例】题14.已知向量,向量.(1)求向量的坐标;(2)若,求实数k的值.【思路导引】(1)根据向量的坐标运算可得出答案;(2)根据向量垂直的坐标表示列方程,解方程得出答案.【解析】(1)因为,所以，.(2)因为,所以,即，解得.【解题策略】1.利用数量积的坐标表示求两向量夹角的步骤(1)求向量的数量积.利用向量数量积的坐标表示求出这两个向量的数量积.(2)求模.利用计算两向量的模.(3)求夹角余弦值.由公式求夹角余弦值.(4)求角.由向量夹角的范围及cos θ求θ的值.2.涉及非零向量垂直问题时,一般借助来解决.【拓展延伸】1.线段垂直的坐标关系设是坐标平面内的三个点,则.2.向量共线的条件由可知,若θ=0°或180°,则cos θ=±1,则有 ,利用此结论也可以判断两向量是否共线.【拓展训练】题15.已知A(-2,1),B(6,-3),C(0,5),则△ABC的形状是 (    )A.直角三角形          B.锐角三角形C.钝角三角形   D.等边三角形【解析】选A.由题设知(0+2)(6+2)+(5-1)(-3-1)=0,所以,所以∠BAC=90°,故△ABC是直角三角形.【题组训练】题16.已知向量,若,则实数λ= (    )A.             B.           C.-2          D.2【解析】选C.因为,所以，又,所以,即，解得λ=-2.题17.已知向量.(1)求的值;(2)求向量与夹角的余弦值.【解析】(1)因为,所以;(2)由(1)知,所以.【补偿训练】题18.已知,当k为何值时,(1)与垂直;(2)与的夹角为120°.【解析】因为,,,.(1)因为与垂直,所以k-3k-6=0,所以k=-3,即当k=-3时,与垂直.(2)因为，，，因为与的夹角为120°,所以， 即， 化简整理,得,解得.即当时,与的夹角为120°. 备选类型 用向量解代数问题(数学建模)【典例】题19.求函数的最大值.【思路导引】观察此函数解析式的特征,不难发现其形式与两个坐标表示的平面向量的数量积公式类似,建立向量模型求解.【解析】设，则，因为，所以,又因为,所以,当且仅当共线时,等号成立,即，解得， 当时,的最大值为39,即函数的最大值为39.【解题策略】 向量法巧解代数问题向量是代数和几何的完美结合,尤其是解决代数问题时具有独到的优势,解题的关键在于观察问题的结构,挖掘代数结构的向量模型,把原有问题转化为向量问题,再借助向量有关知识解决问题.【跟踪训练】题20.已知a,b,m,n∈,设,其中mn≠0,用向量方法求证:.【证明】设,且它们的夹角为θ(0°≤θ≤180°),则,因为,所以,又,所以,所以,又0°≤θ≤180°,所以θ=0°或180°,即,所以an-bm=0,又mn≠0,所以.课堂检测·素养达标题21.设,则  (    )A.12  B.0  C.-3  D.-11【解析】选C.因为,所以,所以.题22.已知平面向量，则向量的模是 (     )A.      B.      C.      D.5【解析】选C.因为向量，   所以，所以. 题23.已知向量,且,则m=______. 【解析】因为向量,所以,即-4×6+3m=0,m=8.答案:8题24.已知,则夹角的余弦值等于________. 【解析】因为,所以.又,设与的夹角为θ,所以.答案: 题25.已知.求.【解析】因为,所以,所以,,,.