高中数学苏教版 (2019)必修 第二册9.3 向量基本定理及坐标表示优质教案设计

编号：008     课题:§9.3.3  向量平行的坐标表示

目标要求

1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．

2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．

3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．

4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.

学科素养目标

向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．

重点难点

重点：向量平行的坐标表示及应用；

难点：向量平行在平面几何中的应用．

教学过程

基础知识点

向量平行的坐标表示

(1)坐标表示

(2)本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系.

(3)应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标.

【思考】

 若,且,则向量共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示?

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 已知向量,则.

B. 已知,其中,且,则.

C. 已知A(-6,10),B(0,2),则线段AB的中点坐标为(-3,6).

D. 若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.

题2.已知向量,且,则x=     (    )

A.9        B.6           C.5      D.3

题3.已知A(1,2),B(4,5),若,则点P的坐标为________.

关键能力·合作学习

类型一 向量平行的坐标表示及应用(逻辑推理、数学运算)

【典例】题4.下列四组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (    )

A.            B.

C.            D.

题5.已知平面向量,若,则tan θ= (     )

A.           B.        C.          D.

题6.已知向量,若，则λ=________.

【解题策略】

1.向量共线的判定方法

2.利用向量共线求参数值的方法

【跟踪训练】

题7.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量共线的单位向量是 (    )

A.(3,-4)   B.          C.(-6,8)   D.

类型二 向量平行在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)

 角度1 三点共线问题

【典例】题8.已知O为坐标原点,.

(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.

(2)若,求点C的坐标.

【变式探究】

题9.已知向量,求当k为何值时,A,B,C三点共线.

角度2 求点的坐标

【典例】题10.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), ，

AD与BC相交于点M,求点M的坐标.

【解题策略】

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

【题组训练】

题11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标不可能是(    )

A.(-9,6)    B.(-1,-2)          C.(-7,-2)    D.(6,-9)

题12.设.

(1)当m=8时,将用和表示;

(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.

【拓展延伸】

 题13.如图所示,若点P是线段上不同于的点,且满足,即，证明点P的坐标为.

【拓展训练】

题14.已知A(2,1),B(3,-1),点P(x,y)在直线AB上,且满足4x-y-5=0,求P点分的

比λ.

【补偿训练】题15.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.

课堂检测·素养达标

题16.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (    )

A.           B.

C.        D.

题17.已知向量,且,则m等于 (    )

A.-1             B.-2           C.-1或3          D.0或-2

题18.已知点A(-1,-5)和向量,若,则点B的坐标为________.

题19.向量与共线且方向相同,则n=________.

题21.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),

且与共线,求非零实数m的值.

【补偿训练】

题22.已知,当k为何值时, 与平行?平行时它们是同向还是反向?

编号：008     课题:§9.3.3  向量平行的坐标表示

目标要求

1、理解并掌握向量平行的坐标表示及相关结论．

2、理解并掌握向量平行的坐标表示及应用．

3、理解并掌握向量平行在平面几何中的应用．

4、理解并掌握向量平行与垂直综合问题.

学科素养目标

向量注重“形”，是几何学的基础，广泛应用于实际生活和生产中.通过数形结合，了解向量知识在高中阶段的作用．

重点难点

重点：向量平行的坐标表示及应用；

难点：向量平行在平面几何中的应用．

教学过程

基础知识点

向量平行的坐标表示

(1)坐标表示

(2)本质:平面向量平行的坐标表示反映的是平行向量坐标之间的关系,定量描述了共线向量之间的关系.

(3)应用:①已知两个向量的坐标判定两向量共线;②已知两个向量共线,求点或向量的坐标.

【思考】

 若,且,则向量共线时,它们的坐标之间的关系如何用比例形式表示?

提示:可以表示为

【课前基础演练】

题1.（多选）下列命题正确的是    (     )

A. 已知向量,则.

B. 已知,其中,且,则.

C. 已知A(-6,10),B(0,2),则线段AB的中点坐标为(-3,6).

D. 若两个非零向量的夹角θ满足cos θ>0,则两向量的夹角θ一定是锐角.

【答案】选AC

提示:A√.因为b=(1,-2),所以-2b=-2(1,-2)=(-2,4)=a.

B×.平面向量共线的坐标表示的特点是两个向量的坐标“纵横交错积相减”.

C√.由中点坐标公式可知线段AB的中点坐标为，即(-3,6).

D×. 当两个向量方向相同时,它们的夹角θ=0°满足cos θ=1>0.

题2.已知向量,且,则x=     (    )

A.9        B.6           C.5      D.3

【解析】选B.因为,所以4×3-2x=0,解得x=6.

题3.已知A(1,2),B(4,5),若,则点P的坐标为________.

【解析】设P(x,y),则,又，所以(x-

1,y-2)=2(4-x,5-y),即解得所以点P的坐标为(3,4).

答案:(3,4)

关键能力·合作学习

类型一 向量平行的坐标表示及应用(逻辑推理、数学运算)

【典例】题4.下列四组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (    )

A.            B.

C.            D.

【思路导引】可作为平面内所有向量的一组基底的两个向量必是不共线的,

由此关系对四个选项作出判断,得出正确选项.

【解析】选B.对于A,因为1×(-4)-2×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于B,因为3×3-4×4=-7≠0,所以可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于C,因为2×1-(-1)×(-2)=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底;对于D,因为3×10-5×6=0,所以不可以作为表示它们所在平面内所有向量的基底.

题5.已知平面向量,若,则tan θ= (     )

A.           B.        C.          D.

【思路导引】利用向量共线的充要条件列出等量关系,结合同角三角函数关系式求值.
【解析】选A.因为平面向量,，所以
2 021sin θ-2 020cos θ=0,所以，所以.
题6.已知向量,若，则λ=________.

【思路导引】利用向量共线的充要条件列出关于λ的方程,求λ.
【解析】,

因为，所以(λ+1)(λ-2)-(λ+2)(1-λ)=0,解得λ=±.

答案:  

【解题策略】

1.向量共线的判定方法

2.利用向量共线求参数值的方法

【跟踪训练】

题7.已知两点A(4,1),B(7,-3),则与向量共线的单位向量是 (    )

A.(3,-4)   B.          C.(-6,8)   D.

【解析】选B.因为 (7,-3)-(4,1)=(3,-4),由向量共线的条件可知,A,B,C选

项中的向量均与共线,但A,C中向量不是单位向量,所以B选项正确.

类型二 向量平行在平面几何中的应用(逻辑推理、数学运算)

 角度1 三点共线问题

【典例】题8.已知O为坐标原点,.

(1)若A,B,C三点共线,求a,b的关系.

(2)若,求点C的坐标.

【思路导引】(1)由题意利用两个向量共线的性质,两个向量坐标形式的运算法则,求得a,b的关系.

(2)由题意利用两个向量坐标形式的运算法则,求出点C的坐标.

【解析】(1)因为已知,

若A,B,C三点共线,则,

即,即(a-1,b-1)=λ (2,-2),所以a-1=2λ,b-1=-2λ,即a+b=2.

(2)若,所以a=5,b=-3,所以点C的坐标为(5,-3).

【变式探究】

题9.已知向量,求当k为何值时,A,B,C三点共线.

【解析】方法一:因为A,B,C三点共线,即与共线,所以存在实数λ(λ∈),使得.因为,

所以(4-k,-7)=λ(10-k,k-12),

即解得k=-2或k=11.所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.

方法二:由已知得与共线,

因为,

所以(4-k)(k-12)+7(10-k)=0,

所以k2-9k-22=0,解得k=-2或k=11.

所以当k=-2或k=11时,A,B,C三点共线.

角度2 求点的坐标

【典例】题10.如图所示,在△AOB中,A(0,5),O(0,0),B(4,3), ，

AD与BC相交于点M,求点M的坐标.

【思路导引】利用和列方程组求点M的坐标.

【解析】因为，所以.

因为，所以.

设M(x,y),则,

因为，所以,即7x+4y=20①.

又，因为，所以，

即7x-16y=-20②,联立①②解得x=,y=2,故点M的坐标为.

【解题策略】

应用向量共线的坐标表示求解几何问题的步骤

【题组训练】

题11.已知A(3,-6),B(-5,2),且A,B,C三点在一条直线上,则C点的坐标不可能是(    )

A.(-9,6)    B.(-1,-2)          C.(-7,-2)    D.(6,-9)

【解析】选C.设C(x,y),则.因为A,B,C三点在同一

条直线上,所以，即x+y+3=0,将四个选项分别代入x+y+3=0验证可知,

不可能的是C.

题12.设.

(1)当m=8时,将用和表示;

(2)若A,B,C三点能构成三角形,求实数m应满足的条件.

【解析】(1)当m=8时, ,设,

则x(2,-1)+y(3,0)=(2x+3y,-x)=(8,3),所以 所以

所以.

(2)因为A,B,C三点能构成三角形,所以不共线,又,所以1×4-1×(m-2)≠0,所以m≠6.

【拓展延伸】

 题13.如图所示,若点P是线段上不同于的点,且满足,即，证明点P的坐标为.

【证明】设点P(x,y),由,得，

即又λ∈(0,+∞),所以 .

则点P的坐标为.特别地,当λ=1时,点P的坐标为，

这就是线段的中点坐标公式.

【拓展训练】

题14.已知A(2,1),B(3,-1),点P(x,y)在直线AB上,且满足4x-y-5=0,求P点分的

比λ.

【解析】由及定比分点坐标公式得:，

又因为P点满足4x-y-5=0,所以，所以.

【补偿训练】题15.如图所示,已知点A(4,0),B(4,4),C(2,6),求AC和OB交点P的坐标.

【解析】方法一:设,

则,

.

由共线知(4t-4)×6-4t×(-2)=0,

解得.所以(4t,4t)=(3,3).所以P点坐标为(3,3).

方法二:设P(x,y),则.

因为共线,所以4x-4y=0.①

又,

且向量共线,所以-6(x-2)+2(6-y)=0.②

解①②组成的方程组,得x=3,y=3,

所以点P的坐标为(3,3).

课堂检测·素养达标

题16.下列各组向量中,能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是 (    )

A.           B.

C.        D.

【解析】选B.A中, 与共线,不能作为表示它们所在平面内所有

向量的基底;C中与共线,不能作为表示它们所在平面内

所有向量的基底;D中与共线,不能作为表示它们所在平面

内所有向量的基底.

题17.已知向量,且,则m等于 (    )

A.-1             B.-2           C.-1或3          D.0或-2

【解析】选C.由已知得-(2m+3)+m2=0,所以m=-1或m=3.

题18.已知点A(-1,-5)和向量,若,则点B的坐标为________.

【解析】设O为坐标原点,因为,故,

故点B的坐标为(5,4).

答案:(5,4)

题19.向量与共线且方向相同,则n=________.

【解析】因为,所以n2-4=0,所以n=2或n=-2,又与方向相同,所以n=2.

答案:2

题20.在平面直角坐标系xOy中,已知点A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1).若D(m,2m),

且与共线,求非零实数m的值.

【解析】因为A(-1,-2),B(2,3),C(-2,-1),D(m,2m),所以与,又因为与共线,即,

所以3(2m+1)=5(m+2),解得m=7,所以非零实数m的值为7.

【补偿训练】

题21.已知,当k为何值时, 与平行?平行时它们是同向还是反向?

【解析】方法一: ,

当与平行时,存在唯一实数λ,

使.即(k-3,2k+2)=λ(10,-4),所以解得k=λ=.

当k=时, 与平行,这时,

因为λ= <0,所以与反向.

方法二:由题知,

因为与平行,所以(k-3)×(-4)-10(2k+2)=0,解得k=.

这时.

所以当k=时, 与平行,并且反向.