高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式优秀教案及反思

这是一份高中数学苏教版 (2019)必修 第二册12.4 复数的三角形式优秀教案及反思，共15页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，补偿训练，跟踪训练，拓展延伸，拓展训练，变式探究等内容，欢迎下载使用。
编号：023     课题:§12.2.2  复数的乘除运算目标要求1、理解并掌握复数乘除法的运算法则及运算律．2、理解并掌握复数的乘、除法运算．3、理解并掌握利用复数的乘、除法的综合应用．4、理解并掌握复数乘、除法运算与其他知识的结合.学科素养目标复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识. 重点难点重点：利用复数的乘、除法的综合应用；难点：复数乘、除法运算与其他知识的结合．教学过程基础知识点1.复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设是任意两个复数,则.(2)复数乘法的运算律对任意复数,有交换律结合律乘法对加法的分配律(3)复数的乘方复数的乘方是相同复数的积,即对任何及,则有:.【思考】复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系? 2.复数除法的运算法则(1)共轭复数的概念如果两个复数满足实部________,虚部互为___________,那么称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用_________表示.即z=a+bi,则.(2)复数除法运算法则设,则.(3)本质:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以分母的共轭复数.(4)应用:共轭复数的主要应用是将复数的除法化为乘法运算,也可以单独命题考查.【思考】两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗? 3.的周期性计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方, 有如下性质: ,从而对于任何,有,同理可证.上述公式中,说明具有周期性,且最小正周期是4,n可以推广到整数集.注意:是的周期,显然,因为具有周期性,解题时要灵活运用或适当变形,创造条件转化为i的计算,一般地,有.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是    (     )A. 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.B. 若,且,则.C. 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减.D. 两个复数均为实数时，可以比较大小. 题2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是________.  题3. (2-i)÷i=________.  关键能力·合作学习 类型一 复数的乘法运算(数学运算)【题组训练】题4.已知复数z=2+i,则        (      )A.         B.         C.3             D.5 题5.     (      )A.          B.         C.          D.  题6.已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为________.  【解题策略】复数乘法运算法则的应用(1)复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行运算,注意选用合适的乘法公式进行简便运算.(2)常用公式:.，.【补偿训练】题7.计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i). 类型二 复数的除法运算(数学运算)【典例】题8.已知复数 (1)求z的共轭复数;(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值. 【解题策略】两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写成分式;(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.【跟踪训练】题9.计算下列各式:(1)；(2).  【拓展延伸】的性质由方程,得,取,则具有如下关系:(1)； (2);(3) 或； (4)且；   (5)； (6).同样地,具有周期性,解题时灵活运算,适当变形,巧用的性质,从而达到事半功倍的效果.【拓展训练】题10.已知(i为虚数单位),求:(1) ； (2)；   (3)类比i(),探讨(为虚数)的性质,求的值. 类型三 复数乘、除运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)    角度1 i的乘方的周期性及应用 【典例】题11.计算________.  【变式探究】题12.计算.  角度2 共轭复数的应用 【典例】题13.已知为z的共轭复数,若,求z. 【解题策略】     共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运算.(2)若已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思路为设,则,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.【题组训练】题14.复数,则的值为           (      ) A.1             B.-1             C.i             D.-i 题15.设z=i(2+i),则      (     )A.1+2i         B.-1+2i         C.1-2i         D.-1-2i 题16.计算(i是虚数单位). 备选类型 复数乘、除运算与其他知识的结合(数学运算、逻辑推理)【典例】题17.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).(1)若,求复数的共轭复数;(2)若z是关于x的方程一个虚根,求实数m的值. 【解题策略】利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题的技巧复数乘除运算可以结合方程、集合等知识综合考查,其关键就是复数的运算.利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题,比如复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即的形式,再根据题意求解.【跟踪训练】题18.若,则的所有取值构成的集合为______. 课堂检测·素养达标题19.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=          (      ) A.-3+i      B.-1+3i             C.-3+3i      D.-1+i 题20.复数(i为虚数单位)的共轭复数是         （     ）A.1+i          B.1-i              C.-1+i          D.-1-i 题21.已知i为虚数单位,若复数,z的共轭复数为,则    (      )A.1             B.-1         C.             D.  题22.定义运算,则符合条件的复数z=________.  题23.已知复数.求:(1);(2);(3).                                编号：023     课题:§12.2.2  复数的乘除运算目标要求1、理解并掌握复数乘除法的运算法则及运算律．2、理解并掌握复数的乘、除法运算．3、理解并掌握利用复数的乘、除法的综合应用．4、理解并掌握复数乘、除法运算与其他知识的结合.学科素养目标复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识. 重点难点重点：利用复数的乘、除法的综合应用；难点：复数乘、除法运算与其他知识的结合．教学过程基础知识点1.复数乘法的运算法则和运算律(1)复数乘法的运算法则设是任意两个复数,则.(2)复数乘法的运算律对任意复数,有交换律结合律乘法对加法的分配律(3)复数的乘方复数的乘方是相同复数的积,即对任何及,则有:.【思考】复数的乘法运算与多项式的乘法运算有什么关系?提示:复数的乘法运算与多项式的乘法运算类似,只要在所得的结果中把换成-1,并且把实部和虚部分别合并即可.2.复数除法的运算法则(1)共轭复数的概念如果两个复数满足实部__相等___,虚部互为___相反数____,那么称这两个复数为共轭复数,z的共轭复数用__表示.即z=a+bi,则.(2)复数除法运算法则设,则.(3)本质:复数的除法,其实质是分母实数化,即把分子和分母同乘以分母的共轭复数.(4)应用:共轭复数的主要应用是将复数的除法化为乘法运算,也可以单独命题考查.【思考】两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?提示:若,则,则.因此,和一定是实数;而.当b=0时,两共轭复数的差是实数,而当b≠0时,两共轭复数的差是纯虚数.3.的周期性计算复数的乘方要用到虚数单位i的乘方, 有如下性质: ,从而对于任何,有,同理可证.上述公式中,说明具有周期性,且最小正周期是4,n可以推广到整数集.注意:是的周期,显然,因为具有周期性,解题时要灵活运用或适当变形,创造条件转化为i的计算,一般地,有.【课前基础演练】题1.（多选）下列命题正确的是    (     )A. 两个复数互为共轭复数是它们的模相等的必要条件.B. 若,且,则.C. 复数加减乘除的混合运算法则是先乘除,后加减.D. 两个复数均为实数时，可以比较大小.【答案】选CD提示:A×.两个复数为共轭复数,则它们的模相等;但是两个复数的模相等,复数不一定是共轭复数,如.B×.例如当时, ,但. C√.复数的运算法则和实数一样,都是先乘除,后加减.D√.只有当两个复数均为实数时，才能比较大小.题2.已知i是虚数单位,则复数z=(1+i)(2-i)的实部是________. 【解析】z=(1+i)(2-i) =3+i,则实部为3.答案:3题3. (2-i)÷i=________. 【解析】.答案:-1-2i关键能力·合作学习 类型一 复数的乘法运算(数学运算)【题组训练】题4.已知复数z=2+i,则        (      )A.         B.         C.3             D.5【解析】选D..题5.     (      )A.          B.         C.          D. 【解析】选B..题6.已知复数(a+3i)(1+2i)是纯虚数,则实数a的值为________. 【解析】复数(a+3i)(1+2i)=a-6+(3+2a)i是纯虚数,则a-6=0,3+2a≠0,解得a=6.答案:6【解题策略】复数乘法运算法则的应用(1)复数的乘法可以按多项式的乘法法则进行运算,注意选用合适的乘法公式进行简便运算.(2)常用公式:.，.【补偿训练】题7.计算:(1)(1-2i)(3+4i)(-2+i);(2)(3+4i)(3-4i).【解析】(1)(1-2i)(3+4i)( -2+i)=(11-2i)( -2+i)=-20+15i.(2)(3+4i)(3-4i)==9-(-16)=25.类型二 复数的除法运算(数学运算)【典例】题8.已知复数 (1)求z的共轭复数;(2)若az+b=1-i,求实数a,b的值. 【解题策略】两个复数代数形式的除法运算步骤(1)首先将除式写成分式;(2)再将分子、分母同乘以分母的共轭复数;(3)然后将分子、分母分别进行乘法运算,并将其化为复数的代数形式.【跟踪训练】题9.计算下列各式:(1)；(2). 【解析】(1)； (2) 【拓展延伸】的性质由方程,得,取,则具有如下关系:(1)； (2);(3) 或； (4)且；   (5)； (6).同样地,具有周期性,解题时灵活运算,适当变形,巧用的性质,从而达到事半功倍的效果.【拓展训练】题10.已知(i为虚数单位),求:(1) ； (2)；   (3)类比i(),探讨(为虚数)的性质,求的值.【解析】(1)因为,所以,所以.(2) . (3)由(1)可知,所以.类型三 复数乘、除运算的综合应用(数学运算、逻辑推理)    角度1 i的乘方的周期性及应用 【典例】题11.计算________. 【思路导引】先利用复数的运算计算的值,再根据周期性,计算的值.【解析】 因为,所以,所以,所以                      .答案: 【变式探究】题12.计算.【解析】        . 角度2 共轭复数的应用 【典例】题13.已知为z的共轭复数,若,求z.【思路导引】设,则;代入所给等式,利用复数的运算及复数相等的充要条件转化为方程组求解.【解析】设,则,由题意得(a+bi)(a-bi)-3i(a-bi)=1+3i,即,则有解得或 所以z=-1或z=-1+3i.【解题策略】     共轭复数的求解与应用(1)若复数z的代数形式已知,则根据共轭复数的定义可以写出,再进行复数的四则运算.(2)若已知关于z和的方程,而复数z的代数形式未知,求z,解此类题的常规思路为设,则,代入所给等式,利用复数相等的充要条件,转化为方程(组)求解.【题组训练】题14.复数,则的值为           (      ) A.1             B.-1             C.i             D.-i【解析】选B.,所以.题15.设z=i(2+i),则      (     )A.1+2i         B.-1+2i         C.1-2i         D.-1-2i【解析】选D.由z=i(2+i)=-1+2i,得.题16.计算(i是虚数单位).【解析】.备选类型 复数乘、除运算与其他知识的结合(数学运算、逻辑推理)【典例】题17.已知复数z=1-2i(i为虚数单位).(1)若,求复数的共轭复数;(2)若z是关于x的方程一个虚根,求实数m的值.【思路导引】(1)因为,所以,求出,即可得到的共轭复数;(2)将z=1-2i代入方程,根据复数相等可求出实数m的值.【解析】(1)因为,所以，所以复数的共轭复数为2-i.(2)因为z是关于x的方程的一个虚根,所以(1－2i)2-m(1－2i)+5=0，即(2-m)+(2m-4)i=0.又因为m是实数,所以m=2.【解题策略】利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题的技巧复数乘除运算可以结合方程、集合等知识综合考查,其关键就是复数的运算.利用复数的乘除运算求解与复数概念相关问题,比如复数的分类、复数的相等、复数的模及共轭复数的概念都与复数的实部、虚部有关,所以解答与复数相关概念有关的问题时,需把所给复数化为代数形式,即的形式,再根据题意求解.【跟踪训练】题18.若,则的所有取值构成的集合为______.【解析】因为，所以当n=1,3时f(n)=0;当n=2时,f(2)=i2[1+(-1)2]=-2;当n=4时,f(4)=i4[1+(-1)4]=2;故f(n)的所有取值构成的集合为{-2,0,2}.答案:{-2,0,2}课堂检测·素养达标题19.已知i是虚数单位,则(-1+i)(2-i)=          (      ) A.-3+i      B.-1+3i             C.-3+3i      D.-1+i【解析】选B.按照复数乘法运算法则,直接运算即可.(-1+i)(2-i)=-1+3i.题20.复数(i为虚数单位)的共轭复数是         （     ）A.1+i          B.1-i              C.-1+i          D.-1-i【解析】选B.化简可得,所以z的共轭复数为1-i.题21.已知i为虚数单位,若复数,z的共轭复数为,则    (      )A.1             B.-1         C.             D. 【解析】选A.依题意,得，所以,所以.题22.定义运算,则符合条件的复数z=________. 【解析】根据题中条件可有,分子分母上下同时乘以(2i-1)得,所以化简为.答案: 题23.已知复数.求:(1);(2);(3).【解析】.(1) .(2) .(3).