高中苏教版 (2019)12.4 复数的三角形式优质课教学设计

编号：025      课题:§12.4  复数复习课

目标要求

1、理解并掌握复数的概念．

2、理解并掌握复数的运算．

3、理解并掌握复数的几何意义．

4、理解并掌握复数的方程问题.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：复数的几何意义；

难点：复数的方程问题．

教学过程

基础知识点

1.思维导图·构建网络

2.若规定，则的平方根是____..

3．两个复数相等的条件是实部与实部，虚部与虚部对应相等.

4.实数的共轭复数是其本身，两个复数的和、差、积、商的共轭复数是两个复数的共轭复数的和、差、积、商(作为分母的复数不能为零).

5．若，则；

若，则.

6．若，则，两个复数的积与商的模等于这两个复数的模的积与商(作为分母的复数不能为零). .

7．（1）一个重要的复数等式：，

（2）一个重要的复数不等式：.

题组训练一 复数的概念                   

题1.若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则的虚部为        (     )

A.0             B.-1             C.1             D.-2

题2.已知a为实数,若复数z=(a2-a-20)+(a+4)i为纯虚数,则a的值为 (     )

A.-4         B.5             C.2             D.10

【方法技巧】

处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是的形式时,要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部.

(2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根.

题组训练二 复数的运算

题3.已知i为虚数单位,则复数的共轭复数为       (     )

A.5-4i         B.5+4i         C.3-4i         D.3+4i

题4.若复数,则的虚部为________.

【方法技巧】

复数代数运算的策略

(1)复数运算是本章的重要内容,是高考考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般以复数的乘法和除法运算为主.

(2)解答复数运算问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则,用好复数相等的充要条件这一重要工具,将复数问题实数化求解.

(3)复数运算中常用结论:

;

.

 题组训练三 复数的几何意义

题5.(多选题)已知复数z满足,

则z在复平面内对应的点可能位于       (      )

A.第一象限     B.第二象限          C.第三象限     D.第四象限

题6.已知z为虚数,为实数.(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)求|z-4|的取值范围.

【方法技巧】

    复数的几何意义

(1)复数的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi);

(2)复数的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一

对应,因为复平面上与相等的向量有无数个.

题组训练四 复数的方程问题

题7.在复数范围内解下列方程.

(1);(2).

【方法技巧】

在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法

(1)求根公式法

①当时, .②当时, .

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为,将其代入方程,化简后利用复数相等的定义求解.

编号：025      课题:§12.4  复数复习课

目标要求

1、理解并掌握复数的概念．

2、理解并掌握复数的运算．

3、理解并掌握复数的几何意义．

4、理解并掌握复数的方程问题.

学科素养目标

复数一章是数集从正整数集到复数集的推广，复数的几何意义应用广泛.复数与平面向量知识的结合是一大特点.复数的代数形式是数学计算的应用.复数的三角形式和三角函数知识紧密联系.复数知识也是大学复变函数的基础，是承上启下的桥梁，学好复数知识是解决实际应用问题的关键，可以拓宽视野.用复数解决某些数学问题相当见效，介绍几类用复数思想解非复数的问题，诸如求解三角问题、证明三角恒等式、三角定理、解三角方程、证明几何问题以及求解函数问题等，从而刺激学生将要形成或已经形成的固定思维，培养学生的创新思维，增强学生的认知意识.

重点难点

重点：复数的几何意义；

难点：复数的方程问题．

教学过程

基础知识点

1.思维导图·构建网络

2.若规定，则的平方根是 ..

3．两个复数相等的条件是实部与实部，虚部与虚部对应相等.

4.实数的共轭复数是其本身，两个复数的和、差、积、商的共轭复数是两个复数的共轭复数的和、差、积、商(作为分母的复数不能为零).

5．若，则；

若，则.

6．若，则，两个复数的积与商的模等于这两个复数的模的积与商(作为分母的复数不能为零). .

7．（1）一个重要的复数等式：，

（2）一个重要的复数不等式：.

题组训练一 复数的概念                   

题1.若复数z=1+i(i为虚数单位),是z的共轭复数,则的虚部为        (     )

A.0             B.-1             C.1             D.-2

【解析】选A.因为z=1+i,所以,所以,

所以的虚部为0.

题2.已知a为实数,若复数z=(a2-a-20)+(a+4)i为纯虚数,则a的值为 (     )

A.-4         B.5             C.2             D.10

【解析】选B.因为为纯虚数,

所以解得a=5.

【方法技巧】

处理复数概念问题的两个注意点

(1)当复数不是的形式时,要通过变形化为a+bi的形式,以便确定其实部和虚部.

(2)求解时,要注意实部和虚部本身对变量的要求,否则容易产生增根.

题组训练二 复数的运算

题3.已知i为虚数单位,则复数的共轭复数为       (     )

A.5-4i         B.5+4i         C.3-4i         D.3+4i

【解析】选D.,所以复数的共轭复数为3+4i.

题4.若复数,则的虚部为________.

【解析】,则,

则,故的虚部为-1.

答案:-1

【方法技巧】

复数代数运算的策略

(1)复数运算是本章的重要内容,是高考考查的重点和热点,每年高考都有考查,一般以复数的乘法和除法运算为主.

(2)解答复数运算问题的关键是熟记并灵活运用复数的四则运算法则,用好复数相等的充要条件这一重要工具,将复数问题实数化求解.

(3)复数运算中常用结论:

;

.

 题组训练三 复数的几何意义

题5.(多选题)已知复数z满足,

则z在复平面内对应的点可能位于       (      )

A.第一象限     B.第二象限          C.第三象限     D.第四象限

【解析】选BD.因为,所以.因为,

当k为奇数时, ，

在复平面上对应的点为(-1,2),位于第二象限;

当k为偶数时,

在复平面上对应的点为(1,-2),位于第四象限,故复数z在复平面内对应的点位于第二象限或第四象限.

题6.已知z为虚数,为实数.(1)若z-2为纯虚数,求虚数z;(2)求|z-4|的取值范围.

【解析】由于z为虚数,可设,

(1)则z-2=x-2+yi,由z-2为纯虚数得x=2,所以z=2+yi,

又因为为实数,则,

得,所以z=2+2i或z=2-2i.

(2)因为，

因为为实数,所以,因为y≠0,所以,

所以,则,解得x∈(0,4),

所以，

由于x∈(0,4),则0<16-4x<16,所以,即0<|z-4|<4,

所以|z-4|的取值范围为(0,4).

【方法技巧】

    复数的几何意义

(1)复数的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,bi);

(2)复数的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一

对应,因为复平面上与相等的向量有无数个.

题组训练四 复数的方程问题

题7.在复数范围内解下列方程.

(1);(2).

【解析】(1)因为,所以,又因为,所以,

所以方程的根为.

(2)方法一:因为,所以,

因为,所以或,

即或,

所以方程的根为.

方法二:由知,

所以方程无实数根.

在复数范围内,设方程的根为x=a+bi(a,b∈且b≠0),

则,所以,

整理得,

所以又因为b≠0,所以解得.

所以,即方程的根为.

【方法技巧】

在复数范围内,实系数一元二次方程的求解方法

(1)求根公式法

①当时, .②当时, .

(2)利用复数相等的定义求解

设方程的根为,将其代入方程,化简后利用复数相等的定义求解.