苏教版 (2019)必修 第二册15.1 随机事件和样本空间精品教学设计

这是一份苏教版 (2019)必修 第二册15.1 随机事件和样本空间精品教学设计，共20页。教案主要包含了课前基础演练，题组训练，解题策略，补偿训练，跟踪训练，变式探究，思路导引等内容，欢迎下载使用。

课题:§13.1.1 棱柱、棱锥和棱台


目标要求
1、理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征和多面体的概念．
2、理解并掌握棱柱的结构特征．
3、理解并掌握棱锥、棱台的结构特征．
4、理解并掌握多面体的平面展开图问题
学科素养目标
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想象能力这一教学目的．通过本章学习，要求学生熟悉立体几何中的空间想象能力，逻辑推理能力，运算能力，数形结合思想，等价转化思想，分情形讨论等，会进行平面图形到空间图形的过渡，灵活运用立体几何知识解决实际应用问题.
重点难点
重点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
难点：多面体的平面展开图问题．
教学过程
基础知识点
1.棱柱的结构特征
(1)棱柱的定义:由一个平面多边形沿__________________形成的空间图形叫作棱柱,
平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面.
(2)棱柱的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′.
(3)特殊的棱柱
直棱柱:侧棱_________于底面的棱柱;
斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;
正棱柱:底面是_________________的直棱柱;
平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱.
【思考】
棱柱的两个底面有什么关系?侧面有什么特点?

2.棱锥的结构特征
(1)棱锥的定义:当棱柱的一个底面__________为一个点时,得到的空间图形叫作棱锥.
(2)棱锥的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体.
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,例如三棱锥可表示为:三棱锥S-ABC.
(3)特殊的棱锥
正棱锥:底面是_____________,并且顶点与底面中心的连线_______于底面的棱锥.
【思考】
棱锥有什么结构特征呢?

3.棱台的结构特征
(1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分称之为棱台.
(2)棱台的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE-A′B′C′D′E′.
【思考】
(1)棱台有什么特点呢?

(2)在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢?以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明.

4.多面体的定义
由若干个__________围成的空间图形叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个面的________叫作多面体的棱;棱与棱的__________叫作多面体的顶点.

【思考】
在多面体中会有曲面吗?

【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 棱柱的底面互相平行.
B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形.
C. 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
D. 长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.

题2.下列说法中正确的是 ( )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形

题3.下面四个几何体中,是棱台的是 ( )


关键能力·合作学习
类型一 棱柱的结构特征(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
题4.下列说法正确的是 ( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形

题5.下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是__________.

题6.如图长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗?若是棱柱指出它们的底面与侧棱.

【解题策略】棱柱结构特征问题
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:
①两个面互相平行;
②其余各面是平行四边形;
③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.
【补偿训练】
题7.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.


类型二 棱锥、棱台的结构特征(数学抽象、直观想象)
【典例】题8.下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是____________.

【解题策略】判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:

棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【跟踪训练】
题9.下列说法中,正确的是 ( )
①棱锥的各个侧面都是三角形;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;
④棱锥的各侧棱长相等.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④

题10.棱台不具有的性质是 ( )
A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后相交于一点

题11. （一题两空）中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.


题12.（一题两空）中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个顶点数为24的半正多面体,由8个正三角形和18个正方形组成，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且它的棱长为1.则该半正多面体共有________条棱,题中的正方体的棱长为________.


类型三 多面体的平面展开图问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 空间几何体的展开与折叠
【典例】题13.如图是三个空间图形的平面展开图,请问各是什么空间图形?


题14.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形,
则标“△”的面的方位是 ( )

A.南 B.北 C.西 D.下

【变式探究】
题15. 纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,里面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是什么呢?


角度2 多面体表面距离最短问题
【典例】题16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.

【变式探究】
题17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,BB1=c,且.一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.

【解题策略】多面体展开图问题的解题策略
1.绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
2.由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
【题组训练】
题18.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是 ( )
A.1 B.9 C.快 D.乐


题19.一个空间图形的平面展开图如图所示.

(1)该几何体是哪种多面体?
(2)该多面体中与“祝”字面相对的是哪个面?“你”字面相对的是哪个面?

备选类型 多面体的表面展开图(直观想象、逻辑推理)
【典例】题20.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.


【解题策略】
该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点之间线段最短,所以处理方法就是将面展开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【跟踪训练】
题21.如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?


课堂检测·素养达标
题22.下面的几何体中是棱柱的有 ( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个

题23.下面图形中,为棱锥的是 ( )

A.①③ B.③④ C.①②④ D.①②

题24.一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥

题25.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________.(填序号)
①三角形;②四边形;③五边形.

题26.正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,侧棱长为9,则棱台的斜高等于__________.






















课题:§13.1.1 棱柱、棱锥和棱台



目标要求
1、理解并掌握棱柱、棱锥、棱台的结构特征和多面体的概念．
2、理解并掌握棱柱的结构特征．
3、理解并掌握棱锥、棱台的结构特征．
4、理解并掌握多面体的平面展开图问题
学科素养目标
立体几何是研究三维空间中物体的形状、大小和位置关系的一门数学学科，而三维空间是人们生存发展的现实空间．所以，学习立体几何对我们认识、理解现实世界，更好地生存与发展具有重要的意义．《立体几何初步》一章，是在义务教育阶段“空间与图形”课程的延续与发展，教材的编写力图凸显《普通高中数学课程标准》(以下简称《课程标准》)对立体几何的教学要求，通过直观感知、操作确认、思辩论证、度量计算等方法，以帮助学生实现逐步形成空间想象能力这一教学目的．
重点难点
重点：棱柱、棱锥、棱台的结构特征；
难点：多面体的平面展开图问题．
教学过程
基础知识点
1.棱柱的结构特征
(1)棱柱的定义:由一个平面多边形沿_____某一方向平移_______形成的空间图形叫作棱柱,
平移起止位置的两个面叫作棱柱的底面,多边形的边平移所形成的面叫作棱柱的侧面.
(2)棱柱的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱柱(底面是三角形)、四棱柱(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱柱可表示为五棱柱ABCDE-A′B′C′D′E′.
(3)特殊的棱柱
直棱柱:侧棱__垂直___于底面的棱柱;
斜棱柱:侧棱不垂直于底面的棱柱;
正棱柱:底面是____正多边形_____的直棱柱;
平行六面体:底面是平行四边形的四棱柱.
【思考】
棱柱的两个底面有什么关系?侧面有什么特点?
提示:棱柱的两个底面是全等的多边形,且对应边互相平行,侧面都是平行四边形.
2.棱锥的结构特征
(1)棱锥的定义:当棱柱的一个底面__收缩___为一个点时,得到的空间图形叫作棱锥.
(2)棱锥的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱锥(底面是三角形)、四棱锥(底面是四边形)……其中三棱锥又叫四面体.
棱锥用表示顶点和底面各顶点的字母来表示,例如三棱锥可表示为:三棱锥S-ABC.
(3)特殊的棱锥
正棱锥:底面是____正多边形_____,并且顶点与底面中心的连线___垂直__于底面的棱锥.
【思考】
棱锥有什么结构特征呢?
提示:棱锥的底面是多边形,侧面是有一个公共顶点的三角形.
3.棱台的结构特征
(1)棱台的定义:用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥,截面和底面之间的部分称之为棱台.
(2)棱台的分类及表示:根据底面多边形的边数分为三棱台(底面是三角形)、四棱台(底面是四边形)……例如底面是五边形的棱台可表示为五棱台ABCDE-A′B′C′D′E′.
【思考】
(1)棱台有什么特点呢?
提示:原棱锥的底面和截面分别叫作棱台的下底面和上底面,其余各面叫作棱台的侧面,相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱,侧面与上(下)底面的公共顶点叫作棱台的顶点.
棱台的所有侧棱延长之后交于一点.
(2)在运动变化的观点下,棱柱、棱锥、棱台有什么关系呢?以三棱柱、三棱锥、三棱台为例说明.
提示:

4.多面体的定义
由若干个___平面多边形___围成的空间图形叫作多面体.围成多面体的各个多边形叫作多面体的面;两个面的__公共边__叫作多面体的棱;棱与棱的__公共点__叫作多面体的顶点.

【思考】
在多面体中会有曲面吗?
提示:不会,多面体是由若干个平面多边形构成的.
【课前基础演练】
题1.（多选）下列命题正确的是 ( )
A. 棱柱的底面互相平行.
B. 棱柱的各个侧面都是平行四边形.
C. 有一个面是多边形,其余各面都是三角形的几何体叫棱锥.
D. 长方体是四棱柱,直四棱柱是长方体.
【答案】选AB
提示:A√.这是棱柱的底面的性质.
B√.这是棱柱的侧面的性质.
C×.有一个面是多边形,其余各面都是有公共顶点的三角形,由这些面所围成的多面体才叫棱锥.
D×.上下底面为矩形的直四棱柱才是长方体.
故选AB.
题2.下列说法中正确的是 ( )
A.棱柱的面中,至少有两个面互相平行
B.棱柱中两个互相平行的平面一定是棱柱的底面
C.棱柱中一条侧棱就是棱柱的高
D.棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面一定不是平行四边形
【解析】选A.棱柱的两底面互相平行,故A正确;棱柱的侧面也可能有平行的面(如正方体),故B错;立在一起的一摞书可以看成一个四棱柱,当把这摞书推倾斜时,它的侧棱就不是棱柱的高,故C错;由棱柱的定义知,棱柱的侧面一定是平行四边形,但它的底面可以是平行四边形,也可以是其他多边形,故D错.
题3.下面四个几何体中,是棱台的是 ( )

【解析】选C.由棱台的结构特征知,两个底面平行且相似,侧面都是梯形.侧棱延长应交于一点.
关键能力·合作学习
类型一 棱柱的结构特征(数学抽象、直观想象)
【题组训练】
题4.下列说法正确的是 ( )
A.有两个面平行,其余各面都是四边形的几何体叫棱柱
B.有两个面平行,其余各面都是平行四边形的几何体叫棱柱
C.各侧面都是正方形的四棱柱一定是正方体
D.九棱柱有9条侧棱,9个侧面,侧面均为平行四边形
【解析】选D.选项A,B都不正确,反例如图所示.选项C也不正确,上、下底面是全等的菱形,各侧面是全等的正方形的四棱柱不是正方体.根据棱柱的定义知选项D正确.

题5.下列关于棱柱的说法:
(1)所有的面都是平行四边形;
(2)每一个面都不会是三角形;
(3)两底面平行,并且各侧棱也平行;
(4)被平面截成的两部分可以都是棱柱.
其中正确说法的序号是__________.
【解析】(1)错误,棱柱的底面不一定是平行四边形;
(2)错误,棱柱的底面可以是三角形;
(3)正确,由棱柱的定义易知;
(4)正确,棱柱可以被平行于底面的平面截成两个棱柱.所以说法正确的序号是(3)(4).
答案:(3)(4)
题6.如图长方体ABCD-A1B1C1D1.

(1)这个长方体是棱柱吗?如果是,是几棱柱?为什么?
(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后,各部分的几何体还是棱柱吗?若是棱柱指出它们的底面与侧棱.
【解析】(1)这个长方体是棱柱,是四棱柱,因为它满足棱柱的定义.
(2)截面BCFE右侧部分是三棱柱,它的底面是△BEB1与△CFC1,侧棱是EF,B1C1,BC.截面左侧部分是四棱柱.它的底面是四边形ABEA1与四边形DCFD1,侧棱是AD,BC,EF,A1D1.
【解题策略】棱柱结构特征问题
(1)有关棱柱概念辨析问题应紧扣棱柱定义:
①两个面互相平行;
②其余各面是平行四边形;
③相邻两个四边形的公共边互相平行.求解时,首先看是否有两个面平行,再看是否满足其他特征.
(2)多注意观察一些实物模型和图片,便于反例排除.
【补偿训练】
题7.如图所示的三棱柱ABC-A1B1C1,其中E,F,G,H是三棱柱对应边上的中点,过此四点作截面EFGH,把三棱柱分成两部分,各部分形成的几何体是棱柱吗?如果是,是几棱柱,并用符号表示;如果不是,请说明理由.

【解析】截面以上的几何体是三棱柱AEF-A1HG,截面以下的几何体是四棱柱BEFC-B1HGC1.
类型二 棱锥、棱台的结构特征(数学抽象、直观想象)
【典例】题8.下列关于棱锥、棱台的说法:
(1)用一个平面去截棱锥,底面和截面之间的部分组成的几何体叫棱台;
(2)棱台的侧面一定不会是平行四边形;
(3)由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)棱锥被平面截成的两部分不可能都是棱锥.
其中正确说法的序号是____________.
【思路导引】在判断空间图形的相关结论时,一定要紧扣定义.
【解析】(1)错误,若平面不与棱锥底面平行,用这个平面去截棱锥,棱锥底面和截面之间的部分不是棱台;
(2)正确,棱台的侧面一定是梯形,而不是平行四边形;
(3)正确,由四个面围成的封闭图形只能是三棱锥;
(4)错误,如图所示四棱锥被平面截成的两部分都是棱锥.

答案:(2)(3)
【解题策略】判断棱锥、棱台形状的两个方法
(1)举反例法:结合棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确.
(2)直接法:

棱锥
棱台
定底面
只有一个面是多边形,此面即为底面
两个互相平行的面,即为底面
看侧棱
相交于一点
延长后相交于一点
【跟踪训练】
题9.下列说法中,正确的是 ( )
①棱锥的各个侧面都是三角形;
②有一个面是多边形,其余各面都是三角形,由这些面围成的几何体是棱锥;
③四面体的任何一个面都可以作为棱锥的底面;
④棱锥的各侧棱长相等.
A.①② B.①③ C.②③ D.②④
【解析】选B.由棱锥的定义,知棱锥的各侧面都是三角形,故①正确;有一个面是多边形,其余各面都是三角形,如果这些三角形没有一个公共顶点,那么这个几何体就不是棱锥,故②错;四面体就是由四个三角形所围成的封闭几何体,因此以四面体的任何一个面作底面的几何体都是三棱锥,故③正确;棱锥的侧棱长可以相等,也可以不相等,故④错.
题10.棱台不具有的性质是 ( )
A.两底面相似 B.侧面都是梯形 C.侧棱长都相等 D.侧棱延长后相交于一点
【解析】选C.由棱台的概念(棱台的产生过程)可知A,B,D都是棱台具有的性质,而侧棱长不一定相等.
题11. （一题两空）中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个棱数为48的半正多面体,它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且此正方体的棱长为1.则该半正多面体共有________个面,其棱长为________.

【解析】上下各一个面,中间三层每层8个面,共26个面.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:

则有,解得,即设棱长为x,可得,解得.
答案:
题12.（一题两空）中国有悠久的金石文化,印信是金石文化的代表之一.印信的形状多为长方体、正方体或圆柱体,但南北朝时期的官员独孤信的印信形状是“半正多面体”(图1).半正多面体是由两种或两种以上的正多边形围成的多面体.半正多面体体现了数学的对称美.图2是一个顶点数为24的半正多面体,由8个正三角形和18个正方形组成，它的所有顶点都在同一个正方体的表面上,且它的棱长为1.则该半正多面体共有________条棱,题中的正方体的棱长为________.

【解析】上下各两个正方形，中间两个正八边形，共24条棱，连结正方形和正八边形共24条棱，于是半正多面体总棱数为48.最中间全是正方形的八个面的上沿构成正八边形,如图:

则有,解得,所以正方体的棱长为.
答案:
类型三 多面体的平面展开图问题(直观想象、逻辑推理)
角度1 空间几何体的展开与折叠
【典例】题13.如图是三个空间图形的平面展开图,请问各是什么空间图形?

【思路导引】结合多面体的结构特征,将其平面图形还原为立体几何图形.
【解析】图①中,有5个平行四边形,而且还有两个全等的五边形,符合棱柱特点;图②中,有5个三角形,且具有共同的顶点,还有一个五边形,符合棱锥特点;图③中,有3个梯形,且其腰的延长线交于一点,还有两个相似的三角形,符合棱台的特点.把平面展开图进行还原,如图所示:所以①为五棱柱,②为五棱锥,③为三棱台.

题14.纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,外面朝上展平得到如图所示的平面图形,
则标“△”的面的方位是 ( )

A.南 B.北 C.西 D.下
【思路导引】将正方体进行还原,就是正方体展开的逆推,一定要遵循展开的要求,是外面朝上.
【解析】选B.将所给图形还原为正方体,并将已知面“上”“东”分别指向上面、东面,则标记“△”的为北面.
【变式探究】
题15. 纸质的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北,现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开,里面朝上展平得到如图所示的平面图形,则标“△”的面的方位是什么呢?

【解析】选A.将所给图形进行还原,注意里面朝上展开,所以标“△”的面为南面.
角度2 多面体表面距离最短问题
【典例】题16.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=4,BC=3,BB1=5,一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将正方体进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:

①若将C1D1剪开,使平面AB1与平面A1C1共面,可求得.②若将AD剪开,使平面AC与平面BC1共面,可求得.
③若将CC1剪开,使平面BC1与平面AB1共面,可求得.
相比较可得蚂蚁爬行的最短路线长为.
【变式探究】
题17.在长方体ABCD-A1B1C1D1中,AB=a,BC=b,BB1=c,且.一只蚂蚁从点A出发沿表面爬行到点C1,求蚂蚁爬行的最短路线长.
【思路导引】求蚂蚁爬行的最短路程,受到平面内两点之间线段最短的启发,需要将正方体进行展开,使蚂蚁爬行的路线是一条线段即可.
【解析】沿长方体的一条棱剪开,使A和C1展在同一平面上,求线段AC1的长即可,有如图所示的三种剪法:

① 若将C1D1剪开,使平面AB1与平面A1C1共面,可求得.
②若将AD剪开,使平面AC与平面BC1共面,可求得.
③若将CC1剪开,使平面BC1与平面AB1共面,可求得.
∵，∴，
∴
因此蚂蚁爬行的最短路线长为.
【解题策略】多面体展开图问题的解题策略
1.绘制展开图:绘制多面体的表面展开图要结合多面体的几何特征,常常给多面体的顶点标上字母,先把多面体的底面画出来,然后依次画出各侧面,便可得到其表面展开图.
2.由展开图复原图形:若是给出多面体的表面展开图,来判断是由哪一个多面体展开的,则可把上述过程逆推.同一个空间图形的表面展开图可能是不一样的,也就是说,一个多面体可有多个表面展开图.
【题组训练】
题18.水平放置的正方体的六个面分别用“前面、后面、上面、下面、左面、右面”表示,如图是一个正方体的平面展开图(图中数字写在正方体的外表面上),若图中的“2”在正方体的上面,则这个正方体的下面是 ( )
A.1 B.9 C.快 D.乐

【解析】选B.由题意,将正方体的展开图还原成正方体,如图:“1”与“乐”相对,“2”与“9”相对,“0”与“快”相对,所以下面是“9”.

题19.一个空间图形的平面展开图如图所示.

(1)该几何体是哪种多面体?
(2)该多面体中与“祝”字面相对的是哪个面?“你”字面相对的是哪个面?
【解析】(1)该几何体是四棱台.
(2)与“祝”字面相对的面是“前”,与“你”字面相对的面是“程”.
备选类型 多面体的表面展开图(直观想象、逻辑推理)
【典例】题20.如图,在三棱锥V-ABC中,VA=VB=VC=4,∠AVB=∠AVC=∠BVC=30°,过点A作截面△AEF,求△AEF周长的最小值.

【思路导引】求△AEF的周长的最小值就是求AE+EF+AF的最小值,将三棱锥
V-ABC展开,两点之间线段最短.
【解析】将三棱锥沿侧棱VA剪开,并将其侧面展开平铺在一个平面上,
如图,线段AA1的长为所求△AEF周长的最小值.
因为∠AVB=∠A1VC=∠BVC=30°,所以∠AVA1=90°.
又VA=VA1=4,所以AA1.所以△AEF周长的最小值为.

【解题策略】
该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题,在解题的过程中,需要明确两个点在几何体上所处的位置,再利用平面上两点之间线段最短,所以处理方法就是将面展开平铺,利用平面图形的相关特征求得结果.
【跟踪训练】
题21.如图所示,长方体的底面相邻边长分别为1 cm和3 cm,高为6 cm.如果用一根细线从点A开始经过4个侧面缠绕一圈到达点B,那么所用细线最短需要多长?

【解析】将长方体展开,连接AB′,因为AA′=1+3+1+3=8(cm),A′B′=6 cm,
根据两点之间线段最短,AB′==10(cm).
所以所用细线最短需要10 cm.

课堂检测·素养达标
题22.下面的几何体中是棱柱的有 ( )

A.3个 B.4个 C.5个 D.6个
【解析】选C.棱柱有三个特征:(1)有两个面相互平行.(2)其余各面是平行四边形.(3)侧棱相互平行.本题所给几何体中⑥⑦不符合棱柱的三个特征,而①②③④⑤符合.
题23.下面图形中,为棱锥的是 ( )

A.①③ B.③④ C.①②④ D.①②
【解析】选C.根据棱锥的定义和结构特征可以判断,①②是棱锥,③不是棱锥,④是棱锥.
题24.一个棱锥的各棱长都相等,那么这个棱锥一定不是 ( )
A.三棱锥 B.四棱锥 C.五棱锥 D.六棱锥
【解析】选D.由题意可知,每个侧面均为等边三角形,每个侧面的顶角均为60°,如果是六棱锥,因为6×60°=360°,所以顶点会在底面上,因此不是六棱锥.
题25.用一个平面去截一个三棱锥,截面形状可能是________.(填序号)
①三角形;②四边形;③五边形.
【解析】按如图①所示用一个平面去截三棱锥,截面是三角形;按如图②所示用一个平面去截三棱锥,截面是四边形.

答案:①②
题26.正四棱台的上、下底面边长分别是5和7,侧棱长为9,则棱台的斜高等于__________.
【解析】棱台的侧面是一个梯形,上底长为5,下底长为7,腰长为9,
由勾股定理得
答案: