北师大版九年级上册1 菱形的性质与判定同步练习题

1.1《菱形的性质与判定》习题1

一、选择题

1．下面性质中，菱形不一定具备的是(    )

A．四条边都相等 B．每一条对角线平分一组对角

C．邻角互补 D．对角线相等

2．如图，菱形ABCD中，点E，F分别是AC，DC的中点．若EF=5，则菱形ABCD的周长为(   )

A．15 B．20 C．30 D．40

3．如图，菱形 ABCD 的顶点 C 在直线 MN 上，若∠1＝50°，∠2＝20°，则∠BDC 的度数为()

A．20° B．30°

C．35° D．40°

4．如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，下列结论：①AC⊥BD；②OA=OB；③∠ADB=∠CDB；④△ABC是等边三角形，其中一定成立的是( )

A．①② B．③④ C．②③ D．①③

5．已知菱形的边长为6cm，一个内角为60°，则菱形较短的对角线长是(　　)

A．6cm B．cm C．3cm D．cm

6．如图，剪两张对边平行且宽度相同的纸条随意交叉叠放在一起，转动其中一张，重合部分构成一个四边形，则下列结论中不一定成立的是(　　)

A．∠ABC＝∠ADC，∠BAD＝∠BCD B．AB＝BC

C．AB＝CD，AD＝BC D．∠DAB+∠BCD＝180°

7．如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，过点C作CE⊥AD于点E，连接OE，若OB＝8，S菱形ABCD＝96，则OE的长为(　　)

A．2 B．2 C．6 D．8

8．如图，在平行四边形ABCD，尺规作图：以点A为圆心，AB的长为半径画弧交AD于点F，分别以点B，F为圆心，以大于 BF的长为半径画弧交于点G，做射线AG交BC与点E，若BF=12，AB=10，则AE的长为(        )．

A．17 B．16 C．15 D．14

9．如图，在ABCD中，DE，BF分别是∠ADC和∠ABC的平分线，添加一个条件，仍无法判断四边形BFDE为菱形的是(　　)

A．∠A=60˚ B．DE=DF C．EF⊥BD D．BD 是∠EDF的平分线

10．如图，过对角线的中点作两条互相垂直的直线，分别交，，，于，，，四点．则下列说法错误的是(    )

A． B．与互相平分

C． D．平分

11．如图，在中，分别是边上的中线，于点，点分别是的中点，若，，则四边形的周长是(    )

A．14 B．20 C．22 D．28

12．如图，点P从菱形ABCD的顶点A出发，沿A→D→B以1cm/s的速度匀速运动到点B，选项图是点P运动时，△PBC的面积y(cm2)随时间x(s)变化的关系图象是(　　)

A． B．

C． D．

13．在平面直角坐标系xOy中，如图，四边形ABCD是菱形，∠DAB＝60°，点P是边CD的中点，如果菱形的周长为16，那么点P的坐标是(   )

A．(4，4) B．(2，2) C．(，1) D．(，1)

14．已知菱形ABCD的面积为8，对角线AC的长为4，∠BCD=60°，M为BC的中点，若P为对角线AC上一动点，则PB+PM的最小值为(    )

A． B．2 C．2 D．4

二、填空题

1.如图，把菱形ABCD沿AH折叠，使B点落在BC上的E点处，若∠B=70°，则∠EDC的大小为______．

2.如图所示，菱形的对角线的长分别为和是对角线上任一点(点不与点重合)，且交于交于则阴影部分的面积是_______．

3.如图，在中， ，点的坐标为，点在轴上，BC∥轴．将沿翻折得到，直线过点，则四边形的面积为__________．

4.如图，边长为1的菱形ABCD中，∠DAB=60°．连结对角线AC，以AC为边作第二个菱形ACEF，使∠FAC=60°．连结AE，再以AE为边作第三个菱形AEGH使∠HAE=60°…按此规律所作的第n个菱形的边长是　 　．

三、解答题

1.如图，菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O，BE∥AC，AE∥BD，OE与AB交于点F.

(1)试判断四边形AEBO的形状，并说明理由；

(2)若OE=10，AC=16，求菱形ABCD的面积.

2.某工人为一客户制作一长方形防盗窗，为了牢固和美观，设计如图所示，中间为三个菱形，其中左右为两个全等的大菱形，中间为一个小菱形，竖着的铁棍的间距是相等的，尺寸如图所示(单位：m)，工人师傅要做这样的一个防盗窗，总共需要多长的铁棍(不计损耗？)

3.作图题：

如图在平面直角坐标系中，网格中每一个小正方形的边长为1个单位长度．

(1)请在所给的网格内画出以线段、为边的菱形，并完成填空：点的坐标是          ，线段的长是          ；

(2)请计算菱形的面积．

4.如图，矩形ABCD的对角线AC、BD交于点O，过点O的直线EF与AB、CD分别交于点E、F，连接DE、BF．

(1)求证：四边形BEDF是平行四边形；

(2)若AD＝4， AC＝8，且OF＝CF，求四边形BEDF的面积

5.如图．在平行四边形中，的平分线交于点，交的延长线于点．过点分别作和的平行线交于点．请仅用无刻度的直尺分别按下列要求作图(不写作法．但保留作图痕迹)．

(1)作的边上的高；

(2)过点F作的一条平分线．

6.如图，在中，以点B为圆心，长为半径画弧，交于点E，在上截取，连接．

(1)求证：四边形是菱形；

(2)请用无刻度的直尺在内找一点P，使(标出点P的位置，保留作图痕迹，不写作法)

7.如图，已知菱形的边长为，，对角线、相交于点．试求这个菱形的两条对角线与的长．(结果保留根号)

结合图①，写出求解过程．

(应用)

(1)如图②，过图①中的点分别作，，连结、，则四边形的面积为_________．

(2)如图③，在菱形中，，对角线、相交于点．将其绕着点顺时针旋转90°得到菱形．若，则旋转前后两个菱形重叠部分图形的周长为_________．

8.如图，在菱形中，是对角线上一点，是线段延长线上一点，且连接．

(1)发现问题

如图①，若是线段的中点.连接其他条件不变，填空：线段与的数量关系是      ；

(2)探究问题 

如图②，若是线段上任意一点，连接其他条件不变，猜想线段与的数量关系是什么?请证明你的猜想；

(3)解决问题

如图③，若是线段延长线上任意一点，其他条件不变，且，请直接写出的长度．

答案

一、选择题

1．D．2．D．3．C．4．D．5．A．6．D7．C．8．B．9．A．

10．D．11．B．12．A．13．D．14．C．

二、填空题

1.15°

2.．

3.12

4.()n-1

三、解答题

1.(1)四边形AEBO为矩形，

理由如下：

∵菱形ABCD的对角线AC、BD相交于点O

∴AC⊥BD，∵BE∥AC，AE∥BD，

∴BE⊥BD，AE⊥AC，∴四边形AEBO为矩形；

(2)∵四边形AEBO为矩形

∴AB=OE=10，

∵AO=AC=8，

∴OB=

∴BD=12，

故S菱形ABCD=AC×BD=×16×12=96

2.由题意，知两个大菱形的边长为： (m) ．

小菱形的边长为： (m) ．

所以三个菱形的周长的和为：(m) ．

所以所需铁棍的总长为：1.8×9＋2.4×2＋2＝m ．

答：需要m的铁棍．

3.解：(1)如图所示：

，BC＝；

(2)．

4.解：(1)在矩形ABCD中，OB＝OD，CD∥AB，

∴∠FDO＝∠EBO，

在△OFD与△OEB中，

∴△OFD≌△OEB(AAS)，

∴OF＝OE，

∵OB＝OD，

∴四边形BEDF是平行四边形；

(2)在矩形ABCD中，AD＝4，AC＝8，

∴AD＝OA＝OD＝4，

∴△AOD是等边三角形，

∴∠DCA＝30°，∠DOA＝60°，

∵OF＝CF，

∴∠FOC＝∠FCO＝30°，

∴∠DOF＝90°，

∴四边形BEDF是菱形，

在Rt△DOF中，∠FDO＝30°，OD＝4，

∴OF＝，

∵AC＝BD＝8，

∴菱形BEDF的面积为：BD•2OF＝BD•OF＝．

5.(1)如图，线段即为所求．

(2)如图，直线即为所求．

6.解：(1)根据作图过程可知：AB=BE，AF=BE，

∵四边形ABCD为平行四边形，

∴AF∥BE，

∵AF=BE，

∴四边形ABEF为平行四边形，

∵AB=BE，

∴平行四边形ABEF为菱形；

(2)如图，点P即为所作图形，

∵四边形ABEF为菱形，则BF⊥AE，

∴∠APB=90°.

7.∵四边形是菱形，

∴，．

∴．

∴．

∴是等边三角形．

∴cm．

∵，

∴是直角三角形．

∴cm．

∴cm．

应用：是等边三角形

∵四边形是菱形

∴°

∵

∴，，°

∵AB=2cm

∴AF=cm

同理可得：cm，°

∴为等边三角形

∴EF=AE=cm

∴S四边形AECF=AC∙EF=×2×=cm2

故答案为：cm2．

(2)设与交于点E

由菱形ABCD性质可知：°

∵

∴

∴

∴

∴

∴

∴

∵菱形ABCD与菱形的重叠部分是正八边形

∴其周长为：=．

故答案为：．

8.(1)，

证明：∵四边形是菱形

∴AB=BC

∵

∴是等边三角形

∴

∵E是AC中点

∴，AE=CE

∵

∴CE=CF

∴

∴

∴；

(2)，

证明：如下图，过点作交于点G

∵四边形为菱形，

∴，，，与都是等边三角形

∵AC是菱形的对角线

∴

∴，

∴

又∵

∴

又∵

∴是等边三角形

∴

∴，

又∵

∴

在和中

∴

∴；

(3)

证明：如下图，连接EF，过点E作交AB延长线于点G

∵四边形是菱形，

∴AB=BC，是等边三角形

∴

∴

又∵

∴

又∵

∴是等边三角形

∴AG=AE=GE

∴BG=CE，

又∵AE=CF

∴GE=CF

在和中

∴

∴BE=EF

∵，

∴

∵是等边三角形

∴

∴

∵

∴，

∵BE=EF

∴，

∴

∴

∴．