2021学年1 菱形的性质与判定当堂达标检测题

1.1 《菱形的性质与判定》习题2

一、选择题

1．如图，菱形的对角线、相交于点，过点作于点，连接，若，，则菱形的面积为(    )

A．72 B．24 C．48 D．96

2．如图，菱形ABCD的对角线AC，BD交于点O，且AC=8，BD=6，过点O作OH丄AB，垂足为H，则点O到边AB的距离为(　　)

A．2.4 B．3 C．4 D．5

3．菱形的周长为8厘米，两相邻角度数比是1：2，则菱形的面积是(　　)平方厘米．

A．2 B．2 C．4 D．4

4．如图，菱形中，，.点、分别为、的中点，连接、、EF，则的周长为

A．9 B． C． D．

5．如图，点P是边长为1的菱形ABCD对角线AC上的一个动点，点M，N分别是AB，BC边上的中点，则MP+PN的最小值是(　　)

A． B．1 C． D．2

6．如图所示的木制活动衣帽架是由三个全等的菱形构成，根据实际需要可以调节间的距离，若间的距离调节到60，菱形的边长，则的度数是(   )

A． B． C． D．

7.如图，在▱ABCD中，用直尺和圆规作∠BAD的平分线AG交BC于点E.若BF＝12，AB＝10，则AE的长为(　　)

A．16 B．15 C．14 D．13

8.从下列条件中选择一个条件添加后，还不能判定平行四边形ABCD是菱形，则这个条件是(　　)

A．AC⊥BD B．AD=CD C．AB=BC D．AC=BD

9.如图，菱形的一边在轴上，将菱形绕原点顺时针旋转60°至的位置，若点与点重合，，，则点的坐标为(    )

A． B． C． D．

10.如图，在平面直角坐标系xOy中，已知菱形ABCD的顶点，，对角线BD交AC于点M，交x轴于点N，若，则点B的坐标是(    )

A． B． C． D．

11.如图，已知在平面直角坐标系中，四边形ABCD是菱形，其中点B坐标是(4，1)，点D坐标是(0，1)，点A在x轴上，则菱形ABCD的周长是(　　)

A．8 B．2 C．4 D．12

12.如图，直线分别与、轴交于点A、B，点C在线段OA上，线段OB沿BC翻折，点O落在AB边上的点D处.以下结论：①AB=10；②直线BC的解析式为；③点D(，)；④若线段BC上存在一点P，使得以点P、O、C、D为顶点的四边形为菱形，则点P的坐标是(， )．正确的结论是(    )

A．①② B．①②③ C．①③④ D．①②③④

二、解答题

1.已知：如图，是菱形的对角线，点分别在边上，且，求证：．

2.如图菱形ABCD的一个内角∠B=60°，E为BC的中点，F为CD的中点，连结AF、EF．

(1) △AEF的形状如何？试证明；

(2)若E为BC上的任意一点，F为CD的点，且∠EAF=60º，△AEF的形状如何？试证明

3.如图，已知菱形的对角线相交于点，延长至点，使，连接．

(1)求证：四边形是平行四边形；

(2)若，求的大小．

(3)在第(2)问的基础上，且，求四边形的面积．

4.如图，在平行四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过点C作CQ∥DB，且CQ＝DP，连接AP、BQ、PQ．

(1)求证：△APD≌△BQC；

(2)若∠ABP+∠BQC＝180°，求证：四边形ABQP为菱形．

5.如图，过□ABCD对角线AC与BD的交点E作两条互相垂直的直线，分别交边AB、BC．CD、DA于点P、M、Q、N．

(1)求证：PBE≌QDE；

(2)顺次连接点P、M、Q、N，求证：四边形PMQN是菱形．

6.如图，在△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，AE平分∠CAB交CD于点F，交BC于点E，EH⊥AB，垂足为H，连接FH．

(1)求证：CF=CE

(2)试判断四边形CFHE的形状，并说明理由．

7.在矩形ABCD中，O是对角线AC的中点，EF是线段AC的中垂线，交AD、BC于E、F．求证：四边形AECF是菱形．

8.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，D是BC的中点，E是AD的中点，过点A作AF∥BC交BE的延长线于点F.

(1)求证：△AEF≌△DEB;

(2)求证：四边形ADCF是菱形.

9.如图，已知在矩形ABCD中，AB＝6，BC＝2，点E，F分别在边CD，AB上，且DE＝BF．

(1)求证：四边形AFCE是平行四边形；

(2)若□AFCE是菱形，求菱形AFCE的边长．

10.如图，是的角平分线，的垂直平分线分别交，，于点，，，连接，．

(1)请判断四边形的形状，并说明理由；

(2)若，，，求的长．

答案

一、选择题

1．C.2．A．3．A．4．B．5．B．6．C．7.A．8.D.9.A.10.D．11.C.12.B

二、解答题

1.解∵四边形是菱形，

，

在和中，

，

，

．

2.(1)答：△AEF为正三角形．

证明：连结AC，如图

∵菱形ABCD的一个内角∠B=60°，

∴对角线AC把菱形分成两个全等的正三角形；

∵E、F分别是边BC、CD的中点，

∴AE、AF分别是所作正三角形的中线和角平分线；

∴∠CAE=∠CAF=30°，且AE=AF，

∴∠EAF=60°，

∴△AEF为正三角形．

(2)△AEF也为正三角形．

证明：如图，在△BAE与△CA F中，

∵，

∴∠BAE=∠CAF，

在△BAE与△CA F中，

∵

∴△BAE≌△CA F，

∴AE=AF；

 ∵∠EAF=60°，

∴△AEF为正三角形．'

3.(1)证明：四边形是菱形，

，

又，

，

四边形是平行四边形；

(2)四边形是平行四边形，

，

，

又四边形是菱形，

，

；

(3)过点作交于，

，

，AE=4，

又，

，

，

，

，

，

∴．

4.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AD=BC，AD∥BC，

∴∠ADB=∠DBC，

∵CQ∥DB，

∴∠BCQ=∠DBC，

∵DP=CQ，

∴△ADP≌△BCQ．

(2)证明：∵CQ∥DB，且CQ=DP，

∴四边形CQPD是平行四边形，

∴CD=PQ，CD∥PQ，

∵四边形ABCD是平行四边形，

∴AB=CD，AB∥CD，

∴AB=PQ，AB∥PQ，

∴四边形ABQP是平行四边形，

∵△ADP≌△BCQ，

∴∠APD=∠BQC，

∵∠∠APD+∠APB=180°，

∴∠ABP=∠APB，

∴AB=AP，

∴四边形ABQP是菱形．

5.(1)证明：∵四边形ABCD是平行四边形，
∴EB=ED，AB∥CD，
∴∠EBP=∠EDQ，
在△PBE和△QDE中，

，
∴△PBE≌△QDE(ASA)；
(2)证明：如图所示：

∵△PBE≌△QDE，
∴EP=EQ，
同理：△BME≌△DNE(ASA)，
∴EM=EN，
∴四边形PMQN是平行四边形，
∵PQ⊥MN，
∴四边形PMQN是菱形．

6.(1)证明：如图

∵∠ACB=90°，CD⊥AB垂足为D，

∴∠1+∠5=90°，∠2+∠3=90°，

又∵∠AE平分∠CAB，

∴∠1=∠2，

∴∠3=∠5，

∵∠3=∠4，

∴∠4=∠5，

∴CF=CE

(2)四边形CFHE是菱形

理由：∵AE平分∠CAB，CE⊥AC，EH⊥AB，

∴CE=EH，

由(1)CF=CE，

∴CF=EH，

∵CD⊥AB，EH⊥AB，

∴∠CDB=90°，∠EHB=90°，

∴∠CDB=∠EB，

∴CD∥EH，即CF∥EH，

∴四边形CFHE是平行四边形．

∵CF=CE，

∴四边形CFHE是菱形.

7.解：证明：如图所示，

∵O是AC的中点，

∴AO=CO，

又∵在矩形ABCD中,ADBC，

∴∠1=∠2

∴在△AOE和△COF中，

∴△AOE≌△COF(ASA)，

∴AE=CF，

又∵EF是AC的垂直平分线，

∴AE=CE，AF=CF，

∴AE=CE=AF=CF，

∴四边形AECF是菱形．

8.证明：(1)∵AF∥BC

∴∠AFE＝∠DBE

∵E是AD中点，   

∴AE＝DE

在△AEF和DEB中

∴△AEF≌△DEB(AAS)

(2)在Rt△ABC中，D是BC的中点，

所以，AD＝BD＝CD

又AF∥DB，且AF＝DB，

所以，AF∥DC，且AF＝DC，

所以，四边形ADCF是菱形.

9.(1)∵四边形ABCD是矩形，

∴AB=DC，AB∥DC，

又∵DE＝BF，

∴EC=AF，

∴四边形AECF是平行四边形．

(2)∵□AFCE是菱形，

∴AF=FC=CE=AE，设菱形的边长为x，

∵AB＝6，BC＝2，

∴，

在Rt△CBF中，

，

即，

整理得：，

∴．

故菱形的边长为．

10.解：(1)四边形是菱形.

理由：垂直平分，

，，

，

，

在和中，

，

，

，

，

四边形是菱形.

(2)作于点，

四边形为菱形，，

，，

，，

，

，

；