初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试达标测试

这是一份初中数学北师大版九年级上册第一章 特殊平行四边形综合与测试单元测试达标测试，共18页。试卷主要包含了选择题，填空题，解答题等内容，欢迎下载使用。
第一单元测试卷 一、选择题1．有以下4个命题，其中正确的命题有(     )①两条对角线互相平分的四边形是平行四边形；②两条对角线相等的四边形是菱形；③两条对角线互相垂直的四边形是正方形；④两条对角线相等且互相垂直的四边形是正方形．A．1个 B．2个 C．3个 D．4个2．如图，在菱形ABCD中，M、N分别在AB、CD上，且AM=CN，MN与AC交于点O，连结BO．若∠DAC=38°，则∠OBC的度数为(       )A． B． C． D．3．若菱形的对角线AC=BD=2cm，则这个菱形的周长和面积分别为(    )A．4cm，4cm2 B．8cm，4cm2 C．8cm，8cm2 D．4cm，8cm24．数学课上，老师要同学们判断一个四边形门框是否为矩形．下面是某合作小组4位同学拟定的方案，其中正确的是(    )A．测量对角线是否互相平分 B．测量两组对边是否分别相等C．测量一组对角是否都为直角 D．测量三个角是否为直角5．小明用四根长度相同的木条制作了能够活动的菱形学具，他先活动学具成为图1所示菱形，并测得∠B＝60°，对角线AC＝20cm，接着活动学具成为图2所示正方形，则图2中对角线AC的长为(　　)A．20cm B．30cm C．40cm D．20cm6．如已知：线段AB，BC，∠ABC =" 90°." 求作：矩形ABCD．以下是甲、乙两同学的作业：对于两人的作业，下列说法正确的是A．两人都对 B．两人都不对C．甲对，乙不对 D．甲不对，乙对7．如图，矩形ABCD中，AB＝8cm，点E在AD上，且AE＝4cm，连接EC，将矩形ABCD沿直线BE翻折，点A恰好落在EC上的点处，则BC的值为(    ) A．8cm B．6cm C．12cm D．10cm8．如图，将斜边为4，且一个角为30°的直角三角形AOB放在直角坐标系中，两条直角边分别与坐标轴重合，D为斜边的中点，现将三角形AOB绕O点顺时针旋转120°得到三角形EOC，则点D对应的点的坐标为(　　)A．(1，﹣) B．(，1) C．(2，﹣2) D．(2，﹣2)9．如图，已知正方形ABCD的边长为5，点E，F分别在AD，DC上，AE＝DF＝2，BE与AF相交于点G，点H为BF的中点，连接GH，则GH的长为(　　) A．2 B．4 C． D．10．如图，正方形ABCD的边长为8 ，E为AB上一点，若EF⊥AC于F，EG⊥BD于G，则EF+EG=(   )A．4 B．8     C． D．11．如图，已知点P是∠AOB平分线上的一点，∠AOB=60°，PD⊥OA ，M是OP的中点，DM=4 cm．若点C是OB上一个动点，则PC的最小值为( 　)cm． A．7 B．6 C．5 D．412．如图，对折矩形纸片ABCD，使AD与BC重合，得到折痕EF；把纸片展平后再次折叠，使点A落在EF上的点处，得到折痕BM，BM与FF相交于点N．若直线B A’交直线CD于点O，BC＝5，EN＝1，则OD的长为(    )A． B． C． D．13．在分割矩形的课外实践活动中，甲、乙两人进行如下操作：甲：将矩形按图1所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的菱形；乙：将矩形按图2所示分割成四个三角形，然后将四个三角形分别沿矩形的边向外翻折，得到一个面积是原来矩形面积2倍的矩形．对于这两人的操作，以下判断正确的是(    ) A．甲、乙都正确 B．甲、乙都不正确C．甲不正确、乙正确 D．甲正确、乙不正确14．如图，已知正方形ABCD边长为1，，，则有下列结论：①；②点C到EF的距离是2-1；③的周长为2；④，其中正确的结论有(   )A．4个 B．3个 C．2个 D．1个二、填空题1.如图，点O是矩形ABCD的对角线AC的中点，OM∥AB交AD于点M，若OM=2，BC=6，则OB的长为______．2.如图，在矩形纸片ABCD中，AD＝，将矩形纸片折叠，边AD、边BC与对角线BD重合，点A与点C恰好落在同一点处，则矩形纸片ABCD的周长是______． 3.如图，在直角坐标系中，矩形的顶点B的坐标为，直线恰好将矩形分成面积相等的两部分，那么______． 4.如图，在矩形纸片ABCD中，AB=6，AD=10，点P是边BC上的动点，现将纸片折叠，使点A与点P重合，折痕与矩形边的交点分别为E、F，要使折痕始终与边AB、AD有交点，则AE的取值范围是_______．三、解答题1.如图，在菱形ABCD中，∠BAD=120°，AC=6cm．求该菱形的周长和面积．    2.下面是小明设计的作矩形ABCD的尺规作图过程．已知：Rt△ABC中，∠ABC=90°求作：矩形ABCD．作法：如图，（1）以点A为圆心，BC长为半径作弧； （2）以点C为圆心，AB长为半径作弧；（3）两弧交于点D．点B和点D在AC异侧；（4）连接AD，CD．所以四边形ABCD是矩形．(1)根据小明设计的尺规作图过程，使用直尺和圆规，补全图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明．证明：∵AB=①________，BC=②_________，∴四边形ABCD是平行四边形(③________________________________)(填推理的依据)又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形． (④________________________________)(填推理的依据)  3.如图，在四边形ABCD中，∠ABC=90°，AC=AD，M，N分别为AC，CD的中点，连接BM，MN，BN．(1)求证：BM=MN；(2)∠BAD=60°，AC平分∠BAD，AC=2，求BN的长．     4.如图，正方形ABCD中，E、F分别在边BC、CD上，且∠EAF＝45°，连接EF，这种模型属于“半角模型”中的一类，在解决“半角模型”问题时，旋转是一种常用的分析思路．例如图中△ADF与△ABG可以看作绕点A旋转90°的关系．这可以证明结论“EF＝BE＋DF”，请补充辅助线的作法，并写出证明过程． (1)延长CB到点G，使BG＝        ，连接AG；(2)证明：EF＝BE＋DF    5.如图，在菱形ABCD中，AB=2，∠DAB=60°,点E是AD边的中点，点M是AB边上一动点(不与点A重合)，延长ME交射线CD于点N，连接MD，AN.(1)求证：四边形AMDN是平行四边形；(2)填空：①当AM的值为          时，四边形AMDN是矩形；②当AM的值为          时，四边形AMDN是菱形．   6.如图1，在矩形纸片ABCD中，AB＝3cm，AD＝5cm，折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，过点E作EF∥AB交PQ于F，连接BF． (1)求证：四边形BFEP为菱形；(2)当E在AD边上移动时，折痕的端点P、Q也随着移动．①当点Q与点C重合时， (如图2)，求菱形BFEP的边长；②如果限定P、Q分别在线段BA、BC上移动，直接写出菱形BFEP面积的变化范围．    7.如图，在平面直角坐标系xOy中，A(﹣5，0)，B(﹣1，0)，M(0，5)，N(5，0)，连接MN，以AB为边在x轴上方作正方形ABCD．(1)直接写出C，D两点的坐标；(2)将正方形ABCD向右平移t个单位长度，得到正方形A′B′C′D′．①当点C′落在线段MN上时，结合图形直接写出此时t的值；②横、纵坐标都是整数的点叫做整点，记正方形A′B′C′D′和三角形OMN重叠的区域(不含边界)为W，若区域W内恰有3个整点，直接写出t的取值范围．       8.如图，在正方形ABCD中，点E在对角线AC上，点F在射线BC上，且四边形DEFG是正方形，连接CG．(1)求证：AE＝CG．(2)求证：∠ACG=90°．(3)若AB＝，当点E在AC上移动时，AE2+CE2是否有最小值？若有最小值，求出最小值．(4)当线段DE与正方形ABCD的某条边的夹角是30°时，直接写出∠EFC的度数．                                     答案一、选择题1．A．2．B．3．B．4．D．5．D．6．A．7．D．8．A.9．C．10．D11．D．12．B．13．A．14．C．二、填空题1.2.6＋23.14.．三、解答题1.解：连接BD交AC于点O，如图，∵四边形ABCD是菱形，∠BAD=120°，∴AC⊥BD，AO=OC=3cm，BO=DO，∠BAO=60°，∴∠ABO=30°，则在Rt△ABO中，AB=6cm，BO=cm，∴BD=2BO=cm，∴菱形的周长=6×4=24cm，菱形的面积=cm2．2.解：(1)如图，四边形ABCD即为所求作矩形；(2)证明：∵AB=①CD，BC=②AD，∴四边形ABCD是平行四边形(③两组对边分别相等的四边形是平行四边形)，又∵∠ABC=90°，∴四边形ABCD是矩形． (④有一个角是直角的平行四边形是矩形) 3.(1)在△CAD中，∵M、N分别是AC、CD的中点，∴MN∥AD，且MN=AD，在Rt△ABC中，∵M是AC的中点，∴BM=AC，又∵AC=AD，∴MN=BM；(2)∵∠BAD=60°且AC平分∠BAD，∴∠BAC=∠DAC=30°，由(1)知，BM=AC=AM=MC，∴∠BMC=∠BAM+∠ABM=2∠BAM=60°．∵MN∥AD，∴∠NMC=∠DAC=30°，∴∠BMN=∠BMC+∠NMC=90°，∴，而由(1)知，MN=BM=AC=×2=1，∴BN=．4.解：(1)根据旋转的性质知BG=DF，从而得到辅助线的做法：延长CB到点G，使BG=DF，连接AG；(2)∵四边形ABCD为正方形，∴AB=AD，∠ADF=∠ABE=∠ABG=90°，在△ADF和△ABG中∴△ADF≌△ABG(SAS)，∴AF=AG，∠DAF=∠GAB，∵∠EAF=45°，∴∠DAF+∠EAB=45°，∴∠GAB+∠EAB=45°，∴∠GAE=∠EAF =45°，在△AGE和△AFE中0∴△ADF≌△ABG(SAS)，∴GE=EF，∴EF＝GE=BE+GB=BE＋DF5.(1)证明：∵四边形ABCD是菱形，∴ND∥AM，∴∠NDE=∠MAE，∠DNE=∠AME，又∵点E是AD边的中点， ∴DE=AE，∴△NDE≌△MAE，∴ND=MA，∴四边形AMDN是平行四边形；(2)解：①当AM的值为1时，四边形AMDN是矩形．理由如下：∵AM=1=AD，∴∠ADM=30°∵∠DAM=60°，∴∠AMD=90°，∴平行四边形AMDN是矩形；②当AM的值为2时，四边形AMDN是菱形．理由如下：∵AM=2，∴AM=AD=2，∴△AMD是等边三角形，∴AM=DM，∴平行四边形AMDN是菱形， 6.解：(1)证明：∵折叠纸片使B点落在边AD上的E处，折痕为PQ，∴点B与点E关于PQ对称，∴PB＝PE，BF＝EF，∠BPF＝∠EPF，又∵EF∥AB，∴∠BPF＝∠EFP，∴∠EPF＝∠EFP，∴EP＝EF，∴BP＝BF＝EF＝EP，∴四边形BFEP为菱形；(2)①∵四边形ABCD是矩形，∴BC＝AD＝5cm，CD＝AB＝3cm，∠A＝∠D＝90°，∵点B与点E关于PQ对称，∴CE＝BC＝5cm，在Rt△CDE中，DE＝＝4cm，∴AE＝AD﹣DE＝5cm-4cm＝1cm；在Rt△APE中，AE＝1，AP＝3-PB＝3﹣PE，∴，解得：EP＝cm，∴菱形BFEP的边长为cm；②当点Q与点C重合时，点E离点A最近，由①知，此时AE＝1cm，BP=cm，，
 当点P与点A重合时，点E离点A最远，此时四边形ABQE为正方形，AE＝AB＝3cm，，∴菱形的面积范围：．
7.解：(1)∵点A(﹣5，0)，点B(﹣1，0)，∴AB＝4，∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝BC＝CD＝AD＝4，AB∥CD，AD∥BC，∴点C(﹣1，4)，点D(﹣5，4)；(2)①如图，设C'D'与y轴交于点H，∵M(0，5)，N(5，0)，∴OM＝ON，∴∠ONM＝∠OMN＝45°，∵CD∥AB，∴CD⊥y轴，∵将正方形ABCD向右平移t个单位长度，∴C'D'⊥y轴，OH＝4，CC'＝t，∴∠HMC'＝∠HC'M＝45°，∴MH＝C'H＝5﹣4＝1，∴点C'(1，4)，∴CC'＝1﹣(﹣1)＝2，∴t＝2；②如图，∵将正方形ABCD向右平移t个单位长度，∴点A(﹣5+t，0)，点B'(-1+t，0)∵区域W内恰有3个整点，∴﹣1﹣5+t＜2或1＜-1+t2∴2＜t≤3或6≤t＜7．8.(1)证明：如图1∵四边形ABCD、四边形DEFG都是正方形∴DA=DC，DE=DG，∠ADC=∠EDG=90°∵∠ADC-∠EDC =∠EDG-∠EDC∴∠ADE=∠CDG，在△ADE和△CDGAD=CD，∠ADE=∠CDG，DE=DG∴△ADE≌△CDG(SAS)∴AE=CG；(2)证明：如图1∵四边形ABCD是正方形∴∠DAC=∠ACD=45°∵.△ADE≌△CDG∴∠DAE=∠DCG=45°∴∠ACG=∠ACD+∠DCG=90°；(3)解：有最小值如图1：连接EG∵∠ACG=90°∴△ECG是直角三角形，AE=CG∴AE2+EC2=EC2+CG2=EG2，∵四边形DEFG是正方形，∴EG=DE，∴DE的值最小时，EG的值最小，∴当DE⊥AC，DE=AC=AB=2 ,AE2+CE2时的值最小，AE2+EC2 =EG2=(DE) 2=(2) 2=8；(4)如图2，当∠ADE=30°时∵∠CED=∠EAD+∠ADE=45°+30°=75°, ∠DEF=90°∴∠CEF=90°-75°=15°∴∠EFC=180°-∠ECF-∠CEF=180°-45°-15°= 120°；如图3，当∠CDE=30°时∴∠DEC=180°-30°-45°=105°∵∠DEF=90°∴∠CEF=15°∴∠EFC=∠ACB-∠CEF=45°-15°=30°；综上， 满足题意得∠EFC的值为120°或30°．