高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程优秀学案

这是一份高中人教A版 (2019)2.4 圆的方程优秀学案，共12页。

题组一 圆的一般方程
1.圆x2+y2-2x+6y+8=0的面积为( )
A.8π B.4πC.2π D.π
2.若方程x2+y2-x+y+m=0表示圆,则实数m的取值范围是( )
A.m<12B.m>12C.m<1D.m>1
3.若圆x2+y2-2x-4y=0的圆心到直线x-y+a=0的距离为22,则a的值为( )
A.-2或2 B.12或23C.2或0D.-2或0
4.方程x2+y2+2ax-b2=0表示的图形是( )
A.一个圆 B.只有当a=0时,才能表示一个圆
C.一个点 D.a,b不全为0时,才能表示一个圆
5.下列方程分别表示什么图形?若表示圆,则写出圆心和半径.
(1)x2+y2+5x-3y+1=0;(2)x2+y2+4x+4=0;
(3)x2+y2+x+2=0;(4)x2+y2+2by=0(b≠0).
题组二 圆的方程的求法
6.圆x2+y2-2x-1=0关于直线2x-y+3=0对称的圆的方程是( )
A.(x+3)2+(y-2)2=12 B.(x-3)2+(y+2)2=12
C.(x+3)2+(y-2)2=2 D.(x-3)2+(y+2)2=2
7.与圆C:x2+y2-2x+4y-1=0有相同的圆心,且半径是圆C的半径的一半的圆的方程为( )
A.x2+y2-2x+4y+2=0B.x2+y2-2x+4y+1=0
C.x2+y2-2x+4y-12=0D.x2+y2-2x+4y+72=0
8.已知两定点A(-2,0),B(1,0),若动点P满足|PA|=2|PB|,则P的轨迹为( )
A.直线 B.线段C.圆 D.半圆
9.设A为圆(x-1)2+y2=1上的动点,PA是圆的切线且|PA|=1,则点P的轨迹方程是 .
10.(2020四川绵阳中学高二上期末)已知△ABC的三边BC,CA,AB的中点分别是D(5,3),E(4,2),F(1,1).
(1)求△ABC的边AB所在直线的方程及点A的坐标;
(2)求△ABC的外接圆的方程.
题组三 圆的方程的应用
11.若点M(3,0)是圆x2+y2-8x-4y+10=0内一点,则过点M(3,0)的最长的弦所在的直线方程是( )
A.x+y-3=0 B.x-y-3=0
C.2x-y-6=0 D.2x+y-6=0
12.若直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,则a=( )
A.9 B.-9C.1 D.-1
13.已知两点A(-2,0),B(0,2),点C是圆x2+y2-2x=0上任意一点,则△ABC的面积的最小值是( )
A.3-2B.3+2C.3-22D.3-22
14.已知圆x2+y2+2x-4y+1=0上任一点A关于直线x-ay+2=0对称的点A'仍在该圆上,则a= .
15.已知定点A(a,2)在圆x2+y2-2ax-3y+a2+a=0的外部,则a的取值范围为 .易错
能力提升练
题组一 圆的一般方程
1.()当方程x2+y2+ax+2y+a2=0所表示的圆的面积最大时,直线y=(a-1)x+2的倾斜角为( )
A.π4 B.3π4C.3π2 D.5π4
2.(2020河南郑州高一上期末,)已知圆x2+y2-2mx-(4m+2)y+4m2+4m+1=0(m≠0)的圆心在直线x+y-7=0上,则该圆的面积为( )
A.4πB.2πC.πD.π2
3.(多选)()已知方程x2+y2+3ax+ay+52a2+a-1=0,若方程表示圆,则a的值可能为( )
A.-2 B.0C.1 D.3
题组二 圆的方程的求法
4.()点P(4,-2)与圆x2+y2=4上任意一点连线的中点的轨迹方程是( )
A.(x+2)2+(y-1)2=1 B.(x-2)2+(y+1)2=4
C.(x+4)2+(y-2)2=4 D.(x-2)2+(y+1)2=1
5.(2019北京丰台高一期末,)过三点A(1,-1),B(1,4),C(4,-2)的圆的方程为( )
A.x2+y2-7x-3y+2=0B.x2+y2+7x-3y+2=0
C.x2+y2+7x+3y+2=0D.x2+y2-7x+3y+2=0
6.(2020浙江温州中学高二上期中,)如图,已知正方形ABCD的四个顶点坐标分别为A(0,-2),C(4,2),B(4,-2),D(0,2).
(1)求对角线AC所在直线的方程;
(2)求正方形ABCD外接圆的方程;
(3)若动点P为外接圆上一点,点N(-2,0)为定点,问线段PN中点的轨迹是什么?并求出该轨迹方程.
题组三 圆的方程的应用
7.()已知B(0,0),A(3,3),C(23,0),平面ABC内的动点P,M满足|AP|=1,PM=MC,则|BM|2的最大值是( )
A.37+2334 B.37+6334
C.434 D.494
8.()已知圆的方程为x2+y2-6x-8y=0.设该圆过点(2,6)的最长弦和最短弦分别为AC和BD,则四边形ABCD的面积为 .
9.(2020湖南长沙明德中学高一期中,)如图,O是坐标原点,圆O的半径为1,点A(-1,0),B(1,0),点P,Q分别从点A,B同时出发,在圆O上按逆时针方向运动,若点P的速度大小是点Q的两倍,则在点P运动一周的过程中,AP·AQ的最大值为 .
10.()已知以点C为圆心的圆经过点A(-1,0)和B(3,4),且圆心在直线x+3y-15=0上.设点P在圆C上,求△PAB面积的最大值.
答案全解全析
基础过关练
1.C 原方程可化为(x-1)2+(y+3)2=2,
∴半径r=2,∴圆的面积S=πr2=2π.
2.A 由二元二次方程表示圆的充要条件可知,(-1)2+12-4m>0,解得m<12,故选A.
3.C 由题意得圆心为(1,2).则圆心(1,2)到直线的距离为|1-2+a|12+(-1)2=22,解得a=0或a=2.
4.D (2a)2+4b2=4(a2+b2),所以当a=b=0时,方程表示一个点;当a≠0或b≠0时,方程表示一个圆.
5.解析 (1)原方程配方得x+522+y-322=152,故该方程表示以-52,32为圆心,302为半径的圆.
(2)原方程配方得(x+2)2+y2=0,表示一个点(-2,0).
(3)∵原方程配方得x+122+y2=-74,无实数解,∴该方程不表示任何图形.
(4)原方程配方得x2+(y+b)2=b2(b≠0),故该方程表示圆心为(0,-b),半径为|b|的圆.
6.C 由x2+y2-2x-1=0得(x-1)2+y2=2,所以(x-1)2+y2=2的圆心O1的坐标为(1,0),半径为2,故排除A,B.又易求C中圆(x+3)2+(y-2)2=2的圆心O2的坐标为(-3,2),O1O2的中点(-1,1)在直线2x-y+3=0上,而D中圆(x-3)2+(y+2)2=2的圆心O3的坐标为(3,-2),O1O3的中点(2,-1)不在直线2x-y+3=0上,故选C.
7.D 易知圆C的标准方程为(x-1)2+(y+2)2=6,所以圆C的圆心坐标为(1,-2),半径为6,故所求圆的圆心坐标为(1,-2),半径为62,所以所求圆的方程为(x-1)2+(y+2)2=622=32,即x2+y2-2x+4y+72=0.
8.C 设点P的坐标为(x,y),
∵A(-2,0),B(1,0),动点P满足|PA|=2|PB|,
∴(x+2)2+y2=2(x-1)2+y2,两边平方得(x+2)2+y2=4[(x-1)2+y2],
即(x-2)2+y2=4.
∴P的轨迹为圆.故选C.
9.答案 (x-1)2+y2=2
解析 设P(x,y),易知圆(x-1)2+y2=1的圆心B(1,0),半径r=1,
则|PA|2+r2=|PB|2,∴|PB|2=2.
∴点P的轨迹是以(1,0)为圆心,2为半径的圆.
∴点P的轨迹方程是(x-1)2+y2=2.
10.解析 (1)由题意可知kED=kAB=3-25-4=1,又F(1,1)为AB的中点,
∴AB所在直线的方程为y-1=1·(x-1),即x-y=0.①
同理CA所在直线的方程为x-2y=0,②
联立①②,得A(0,0).
同理可得B(2,2),C(8,4).
(2)由(1)可得B(2,2),C(8,4),
设△ABC的外接圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0,将A,B,C的坐标代入圆的方程可得F=0,4+4+2D+2E+F=0,64+16+8D+4E+F=0,
解方程组可得D=-16,E=12,F=0,
∴圆的方程为x2+y2-16x+12y=0.
11.C 圆x2+y2-8x-4y+10=0的圆心坐标为(4,2),则过点M(3,0)且过圆心(4,2)的弦最长.则最长弦所在直线的斜率k=2-04-3=2,结合选项知C正确.
12.B 因为直线2x-5y+a=0平分圆x2+y2-4x+2y-5=0,所以直线2x-5y+a=0经过该圆的圆心(2,-1),则2×2-5×(-1)+a=0,解得a=-9.故选B.
13.A 易得直线AB的方程为x-y+2=0,圆心坐标为(1,0),半径为1,则圆心到直线AB的距离d=|1-0+2|12+(-1)2=322,所以点C到直线AB的最小距离为322-1,所以△ABC面积的最小值为12×|AB|×322-1=12×22×322-1=3-2.
14.答案 12
解析 根据题意得,圆心在直线x-ay+2=0上.由x2+y2+2x-4y+1=0,得(x+1)2+(y-2)2=4,所以该圆的圆心是(-1,2),将(-1,2)代入x-ay+2=0中,得-1-2a+2=0,解得a=12.
15.答案 2,94
解析 因为点A(a,2)在圆的外部,
所以a2+22-2a2-3×2+a2+a>0,(-2a)2+(-3)2-4(a2+a)>0.
所以2易错警示 在运用圆的一般方程时,要注意隐含条件:D2+E2-4F>0,防止忽略此条件导致解题错误.
能力提升练
1.B 方程x2+y2+ax+2y+a2=0可化为
x+a22+(y+1)2=-34a2+1,
设圆的半径为r(r>0),则r2=1-34a2,
∴当a=0时,r2取得最大值,从而圆的面积最大.
此时,直线方程为y=-x+2,斜率k=-1,倾斜角为3π4,故选B.
2.A 圆的方程可化为(x-m)2+(y-2m-1)2=m2(m≠0),其圆心为(m,2m+1).
依题意得,m+2m+1-7=0,解得m=2,
∴圆的半径为2,面积为4π,故选A.
3.AB 由(3a)2+a2-452a2+a-1>0,得a<1,所以满足条件的只有-2与0.故选AB.
4.D 设圆上任意一点为Q(x1,y1),PQ的中点为M(x,y),则x=x1+42,y=y1-22,即x1=2x-4,y1=2y+2,
因为x12+y12=4,所以(2x-4)2+(2y+2)2=4.
化简得(x-2)2+(y+1)2=1.故选D.
5.A 设所求的圆的方程为x2+y2+Dx+Ey+F=0.
依题意得D-E+F+2=0,D+4E+F+17=0,4D-2E+F+20=0,解得D=-7,E=-3,F=2.
因此,所求圆的方程为x2+y2-7x-3y+2=0,故选A.
6.解析 (1)由两点式可知,对角线AC所在直线的方程为y-2-2-2=x-40-4,整理得x-y-2=0.
(2)设G为外接圆的圆心,则G为AC的中点,∴G0+42,-2+22,即(2,0),
设r为外接圆的半径,则r=12|AC|,
而|AC|=(4-0)2+(2+2)2=42,
∴r=22.
∴外接圆方程为(x-2)2+y2=8.
(3)设点P坐标为(x0,y0),线段PN的中点M坐标为(x,y),则x=x0-22,y=y02,
∴x0=2x+2,y0=2y,①
∵点P为外接圆上一点,∴(x0-2)2+y02=8,将①代入并整理,得x2+y2=2,
∴该轨迹是以原点为圆心,2为半径的圆,轨迹方程为x2+y2=2.
7.D 由题易得,点P的轨迹为以A为圆心,1为半径的圆.如图所示,建立平面直角坐标系,取AC的中点N,
∵PM=MC,∴M为PC的中点,
∵|AP|=1,∴|MN|=12,从而M的轨迹为以N为圆心,12为半径的圆,
∴B,N,M三点共线时,BM最大.
又∵A(3,3),C(23,0),∴N332,32,则BN=3322+322=3,
∴|BM|的最大值为3+12=72,
∴|BM|2的最大值是494,故选D.
8.答案 205
解析 设圆心为P,圆的方程x2+y2-6x-8y=0可化为(x-3)2+(y-4)2=25.圆心坐标为P(3,4),半径为5.由于点(2,6)到圆心的距离为5,小于半径,故点(2,6)在圆内,则最长弦AC是直径,最短弦BD的中点是E(2,6),且AC⊥BD.
|PE|=5,|BD|=2×52-(5)2=45,|AC|=2×5=10,所以S四边形ABCD=12|AC|·|BD|=12×10×45=205.
9.答案 2
解析 设∠BOQ=α,根据题意得,点P逆时针旋转2α,且α∈[0,π],
依题意得Q(cs α,sin α),P(-cs 2α,-sin 2α),
∴AP·AQ
=(-cs 2α+1,-sin 2α)·(cs α+1,sin α)
=(-cs 2α+1)(cs α+1)-sin 2αsin α
=1-cs 2α=2sin2α≤2,
当且仅当α=π2时,等号成立.故答案为2.
10.解析 易求线段AB的中点为(1,2),直线AB的斜率为1,所以线段AB的垂直平分线的方程为y-2=-(x-1),即y=-x+3.
由y=-x+3,x+3y-15=0解得x=-3,y=6,即圆心C为(-3,6),则半径r=(-3+1)2+62=210.又|AB|=(3+1)2+42=42,
所以圆心C到AB的距离d=(210)2-(22)2=42.
所以点P到AB的距离的最大值为42+210.
所以△PAB的面积的最大值为12×42×(42+210)=16+85.