2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式优秀导学案及答案

这是一份2021学年2.3 直线的交点坐标与距离公式优秀导学案及答案，共17页。

2.3.2 两点间的距离公式
基础过关练
题组一 两条直线的交点坐标
1.直线3x+4y-2=0与直线2x+y+2=0的交点坐标是( )
A.(2,2)B.(2,-2)
C.(-2,2)D.(-2,-2)
2.直线3x+my-1=0与4x+3y-n=0的交点为(2,-1),则m+n的值为( )

A.12 B.10C.-8 D.-6
3.两直线2x+3y-k=0和x-ky+12=0的交点在y轴上,那么k的值为 .
4.三条直线mx+2y+7=0,y=14-4x和2x-3y=14相交于一点,则m的值为 .
5.若直线l:y=kx-3与直线2x+3y-6=0的交点位于第一象限,则k的取值范围是 .
6.已知直线l1:x-y+4=0与l2:2x+y-1=0相交于点P,求满足下列条件的直线方程:
(1)过点P且过原点;
(2)过点P且平行于直线l3:x-2y-1=0.
题组二 两点间的距离
7.直线y=x上的两点P,Q的横坐标分别是1,5,则|PQ|等于( )
A.4 B.42 C.2D.22
8.点P(-2,5)为平面直角坐标系内一点,线段PM的中点是(1,0),那么点M到原点O的距离为( )
A.41 B.41 C.39 D.39
9.到A(1,3),B(-5,1)的距离相等的动点P满足的方程是( )
A.3x-y-8=0 B.3x+y+4=0
C.3x-y+6=0 D.3x+y+2=0
10.在直线x-y+4=0上有一点P,它到点M(-2,-4),N(4,6)的距离相等,则点P的坐标为 .
11.已知点A(-2,-1),B(-4,-3),C(0,-5),求证:△ABC是等腰三角形.
题组三 两直线交点、两点间距离公式的综合应用
12.若点A在x轴上,点B在y轴上,线段AB的中点M的坐标为(3,4),则AB的长度为( )
A.10 B.5 C.8 D.6
13.已知点A(-1,2),B(2,7),线段AB的垂直平分线与x轴相交于点P,则|PA|的值为( )
A.1 B.2C.2 D.22
14.直线x-2y+1=0关于直线x=1对称的直线方程是( )
A.x+2y-1=0 B.2x+y-1=0
C.2x+y-3=0 D.x+2y-3=0
15.直线l1:3x-y+12=0和l2:3x+2y-6=0及y轴所围成的三角形的面积为 .
16.如图,△ABC中,BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,若点B的坐标为(1,2),求点A和点C的坐标.
能力提升练
题组一 两条直线的交点坐标
1.(2020河北唐山一中高二上期中,)过直线x+y-3=0和2x-y=0的交点,且与2x+y-5=0垂直的直线方程是( )

A.4x+2y-3=0B.4x-2y+3=0
C.x+2y-3=0 D.x-2y+3=0
2.()已知直线l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0.
(1)求证:无论m为何实数,直线l1恒过一定点M;
(2)若直线l2过点M,且与x轴负半轴、y轴负半轴围成的三角形面积最小,求直线l2的方程.
题组二 两点间的距离
3.()已知直线l:kx-y+2-k=0过定点M,点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,则|MP|的最小值是( )
A.10B.355 C.6 D.35
4.()点P1(a,b)关于直线x+y=0的对称点是P2,P2关于原点O的对称点是P3,则|P1P3|= .
5.()(1)已知点P是平面上一动点,点A(1,1),B(2,-2)是平面上两个定点,求|PA|2+|PB|2的最小值,并求此时P的坐标;
(2)求函数f(x)=x2-4x+13+x2-12x+37的最小值.
题组三 交点、两点间距离公式的综合应用
6.()若直线l1:y=k(x-4)与直线l2关于点(2,1)对称,则直线l2恒过定点( )
A.(4,-2)B.(0,4)C.(-2,4)D.(0,2)
7.(2020安徽六安一中高二上期中,)入射光线在直线l1:2x-y-3=0上,先经过x轴反射到直线l2上,再经过y轴反射到直线l3上,则直线l3的方程为( )
A.x-2y+3=0 B.2x-y+3=0
C.2x+y-3=0 D.2x-y+6=0
8.(2020山西大同一中高二上期中,)已知直线y=2x是△ABC中∠ACB的平分线所在的直线,若点A,B的坐标分别是(-4,2),(3,1),则点C的坐标为( )
A.(-2,4)B.(-2,-4)
C.(2,4)D.(2,-4)
9.()已知A(2,4),B(1,0),动点P在直线x=-1上,当|PA|+|PB|取最小值时,点P的坐标为( )
A.-1,85 B.-1,215
C.(-1,2) D.(-1,1)
10.(2019北京密云高一期末,)对于平面直角坐标系内任意两点A(x1,y1),B(x2,y2),定义它们之间的一种“新距离”:||AB||=|x2-x1|+|y2-y1|.给出下列三个命题:
①若点C在线段AB上,则||AC||+||CB||=||AB||;
②在△ABC中,若∠C=90°,则||AC||2+||CB||2=||AB||2;
③在△ABC上,||AC||+||CB||>||AB||.
其中的真命题为( )
A.①③B.①②C.①D.③
11.()已知点M(3,5),在直线l:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q,使△MPQ的周长最小.
答案全解全析
基础过关练
1.C 由3x+4y-2=0,2x+y+2=0,解得x=-2,y=2.故所求交点坐标是(-2,2).
2.B 将(2,-1)代入3x+my-1=0可得m=5,将(2,-1)代入4x+3y-n=0可得n=5,所以m+n=10.
3.答案 ±6
解析 在2x+3y-k=0中,令x=0,得y=k3,将0,k3代入x-ky+12=0,解得k=±6.
4.答案 -34
解析 解方程组y=14-4x,2x-3y=14得x=4,y=-2,
所以这两条直线的交点坐标为(4,-2).
由题意知点(4,-2)在直线mx+2y+7=0上,将(4,-2)代入,得4m+2×(-2)+7=0,解得m=-34.
5.答案 33,+∞
解析 解法一:由题意知直线l过定点P(0,-3),直线2x+3y-6=0与x轴,y轴的交点分别为A(3,0),B(0,2),如图所示,
要使两直线的交点在第一象限,
则直线l的斜率k>kAP,而kAP=-3-00-3=33,∴k>33.
解法二:解方程组y=kx-3,2x+3y-6=0,
得x=33+63k+2,y=6k-233k+2.
由题意知x=33+63k+2>0且y=6k-233k+2>0.
∴3k+2>0,且6k-23>0,解得k>33.
6.解析 (1)x-y+4=0,2x+y-1=0⇒x=-1,y=3⇒P(-1,3),
所以过点P与原点的直线方程为y=-3x.
(2)根据题意设所求直线方程为x-2y+c=0(c≠-1),由(1)知点P(-1,3),又点P在该直线上,所以c=7,
则所求的直线方程为x-2y+7=0.
7.B 由题意得P(1,1),Q(5,5),
∴|PQ|=42+42=42.
8.B 设M(x,y),由中点坐标公式得x-22=1,y+52=0,解得x=4,y=-5.所以点M(4,-5).则|OM|=42+(-5)2=41.
9.B 设P(x,y),则(x-1)2+(y-3)2=(x+5)2+(y-1)2,即3x+y+4=0.
10.答案 -32,52
解析 设点P的坐标是(a,a+4),由题意可知|PM|=|PN|,
即(a+2)2+(a+4+4)2
=(a-4)2+(a+4-6)2,解得a=-32.
故P点的坐标是-32,52.
11.证明 ∵|AB|=(-4+2)2+(-3+1)2=22,
|AC|=(0+2)2+(-5+1)2=25,
|BC|=(0+4)2+(-5+3)2=25,
∴|AC|=|BC|.又∵A,B,C三点不共线,
∴△ABC是等腰三角形.
12.A 由题意可得点A的坐标为(6,0),点B的坐标为(0,8),所以由两点间的距离公式得|AB|=10.
13.D 线段AB的中点坐标为12,2+72,线段AB所在直线的斜率kAB=7-22-(-1)=7-23.
∴线段AB的垂直平分线方程为y-2+72=-37-2x-12.
令y=0,得-2+72=-37-2x-12.
解得x=1,因此,P(1,0).
∴|PA|=(1+1)2+22=22,故选D.
14.D 设所求直线上任一点(x,y),它关于x=1的对称点为(x0,y0),则x0=2-x,y0=y,
∵(x0,y0)在直线x-2y+1=0上,∴2-x-2y+1=0,化简得x+2y-3=0,故选D.
15.答案 9
解析 易知直线l1、l2与y轴的交点坐标分别为(0,12),(0,3).
由3x-y+12=0,3x+2y-6=0,解得x=-2,y=6.
故所求三角形的面积S=12×(12-3)×|-2|=9.
16.解析 由方程组x-2y+1=0,y=0得顶点A(-1,0),则边AB所在直线的斜率kAB=2-01-(-1)=1.
∵∠BAC的平分线所在直线的方程为y=0,∴直线AC的斜率为-1,AC所在直线的方程为y=-(x+1).
∵BC边上的高所在直线的方程为x-2y+1=0,∴kBC=-2.
又点B的坐标为(1,2),
∴BC所在直线的方程为y=-2(x-1)+2.
由y=-2(x-1)+2,y=-(x+1)得C(5,-6).
综上,A(-1,0),C(5,-6).
能力提升练
1.D 解法一:由x+y-3=0,2x-y=0,得x=1,y=2.
因此两直线的交点为(1,2).
又直线2x+y-5=0的斜率为-2,∴要求直线的斜率为12,
∴直线方程为y-2=12(x-1),即x-2y+3=0,故选D.
解法二:设要求的直线方程为(x+y-3)+λ(2x-y)=0,
即(1+2λ)x+(1-λ)y-3=0.
又该直线与直线2x+y-5=0垂直,
∴2(1+2λ)+1×(1-λ)=0,解得λ=-1.
因此所求直线方程为-x+2y-3=0,即x-2y+3=0.故选D.
2.解析 (1)证明:l1:(2+m)x+(1-2m)y+4-3m=0⇒m(x-2y-3)+(2x+y+4)=0.
x-2y-3=0,2x+y+4=0⇒x=-1,y=-2,则M(-1,-2),
∴无论m为何实数,直线l1恒过一定点M(-1,-2).
(2)由题意知直线l2的斜率k<0,设直线l2:y+2=k(x+1),
令x=0,得y=k-2.令y=0,得x=2k-1.
∴三角形面积S=12|k-2|·2k-1
=122-4k-k+2=124-4k-k,
∵k<0,∴-4k>0,-k>0,
∴-4k-k≥2-4k(-k)=4,
当且仅当-4k=-k,即k=-2时取等号,
∴y+2=-2(x+1),即2x+y+4=0.
3.B 由题易得直线l:kx-y+2-k=0,即k(x-1)-y+2=0,过定点M(1,2).
∵点P(x,y)在直线2x+y-1=0上,
∴y=1-2x,
∴|MP|=(x-1)2+(1-2x-2)2=5x2+2x+2=5x+152+95,
故当x=-15时,|MP|取得最小值355,故选B.
4.答案 2|a-b|
解析 由题意得P2(-b,-a),P3(b,a),
∴|P1P3|=(a-b)2+(b-a)2=2|a-b|.
5.解析 (1)设P(x,y)(x∈R,y∈R),
则|PA|=(x-1)2+(y-1)2,
|PB|=(x-2)2+(y+2)2,
∴|PA|2+|PB|2=(x-1)2+(y-1)2+(x-2)2+(y+2)2=2x2-6x+2y2+2y+10
=2x-322+2y+122+5.
∴当x=32,y=-12时,|PA|2+|PB|2的值最小.
故|PA|2+|PB|2的最小值为5,此时P32,-12.
(2)f(x)=(x-2)2+9+(x-6)2+1=(x-2)2+(0-3)2+(x-6)2+(0-1)2.
设A(2,3),B(6,1),P(x,0),如图,则上述问题转化为求|PA|+|PB|的最小值.点A关于x轴的对称点为A'(2,-3),∵|PA|+|PB|=|PA'|+|PB|≥|A'B|=42,∴|PA|+|PB|≥42.∴f(x)的最小值为42.
6.D 由l1:y=k(x-4),得直线l1过定点A(4,0).
又l1与l2关于点(2,1)对称,因此,点A(4,0)关于点(2,1)对称的点B(x,y)一定在直线l2上.
由4+x2=2,0+y2=1,得x=0,y=2,
∴直线l2恒过定点(0,2),故选D.
7.B 设直线l1:2x-y-3=0与x轴、y轴交点分别为A32,0,B(0,-3).如图所示,则点A关于y轴的对称点A1-32,0,点B关于x轴的对称点B1(0,3)在反射光线l3上,其方程为x-32+y3=1,即2x-y+3=0,故选B.
8.C 设点A关于直线y=2x对称的点为A'(x1,y1),则y1+22=2×x1-42,y1-2x1+4=-12,
解得x1=4,y1=-2,
∴A'(4,-2).
由题意知,A'在直线BC上,
∴kBC=1-(-2)3-4=-3.
从而直线BC的方程为y=-3x+10.
由y=2x,y=-3x+10,得x=2,y=4.∴点C的坐标为(2,4),故选C.
9.A 点B关于直线x=-1对称的点为B1(-3,0).
由图形知,当A、P、B1三点共线时,|PA|+|PB1|=(|PA|+|PB|)min.
此时,直线AB1的方程为y=45(x+3),
令x=-1,得y=85.故选A.
10.C 对于①,若点C在线段AB上,设点C的坐标为(x0,y0),则x0在x1、x2之间,y0在y1、y2之间,
则||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||成立,故①正确;
对于②,在△ABC中,若∠C=90°,则|AC|2+|CB|2=|AB|2是几何距离而非题目定义的“新距离”,所以②不正确;
对于③,在△ABC中,
||AC||+||CB||=|x0-x1|+|y0-y1|+|x2-x0|+|y2-y0|≥|(x0-x1)+(x2-x0)|+|(y0-y1)+(y2-y0)|=|x2-x1|+|y2-y1|=||AB||.
当x0-x1与x2-x0同号,且y0-y1与y2-y0同号时,等号成立,故③不一定成立.
因此只有命题①成立,所以C选项是正确的.
11.解析 如图所示,由点M(3,5)及直线l,可求得点M关于l的对称点M1(5,1),同理易求得点M关于y轴的对称点M2(-3,5).
根据M1及M2两点可得到直线M1M2的方程为x+2y-7=0.
令x=0,得到直线M1M2与y轴的交点Q0,72.
解方程组x+2y-7=0,x-2y+2=0得交点P52,94.
故点P52,94、Q0,72即为所求.