数学选择性必修 第一册2.1 直线的倾斜角与斜率优质学案

2.1.2　两条直线平行和垂直的判定

基础过关练

题组一　两条直线平行

1.已知点A(m,3),B(2m,m+4),C(m+1,2),D(1,0),且直线AB与直线CD平行,则实数m的值为(　　)　　 　　　　　 　　　　　

A.1  B.0   C.0或1   D.0或2

2.若直线l1的倾斜角为135°,直线l2经过点P(-2,-1),Q(3,-6),则直线l1与l2的位置关系是(　       　)

A.垂直 B.平行

C.重合 D.平行或重合

3.已知直线l1,l2,l3的斜率分别是k1,k2,k3,其中l1∥l2,且k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,则k1+k2+k3的值是(　　)

A.1   B.     C. D.1或

4.若过点P(3,2m)和点Q(-m,2)的直线与方向向量为a=(-5,5)的直线平行,则实数m的值是(　　)

A.   B.- C.2      D.-2

5.已知直线l1经过点A(0,-1)和点B,直线l2经过点M(1,1)和点N(0,-2),若l1与l2没有公共点,求实数a的值.

题组二　两条直线垂直

6.若直线l经过点(a-2,-1)和(-a-2,1),且与斜率为-的直线垂直,则实数a的值是(　　)

A.-   B.- C.   D.

7.下列条件中,使得l1⊥l2的是(　　)

①l1的斜率为-,l2经过点A(1,1),B;

②l1的倾斜角为45°,l2经过点P(-2,-1),Q(3,-5);

③l1经过点M(1,0),N(4,-5),l2经过点R(-6,0),S(-1,3).

A.①② B.①③ C.②③ D.①②③

8.已知△ABC的两顶点坐标为B(2,1),C(-6,3),其垂心为H(-3,2),则顶点A的坐标为(　　)

A.(-19,-62)      B.(19,-62)

C.(-19,62)      D.(19,62)

9.若不同两点P,Q的坐标分别为(a,b),(3-b,3-a),则线段PQ的垂直平分线的斜率为　　　　. 

10.已知点A(-3,-2),B(6,1),点P在y轴上,且∠BAP=90°,则点P的坐标是　　　　. 

题组三　两条直线平行和垂直的应用

11.已知两点A(2,0),B(3,4),直线l过点B,且交y轴于点C(0,y),O是坐标原点,且O,A,B,C四点共圆,则y的值是(　　)

A.19     B.  C.5   D.4

12.在平面直角坐标系中,以O(0,0),A(1,1),B(3,0)为顶点构造平行四边形,下列各项中不能作为平行四边形第四个顶点坐标的是(　　)

A.(-3,1) B.(4,1) C.(-2,1) D.(2,-1)

13.已知△ABC的三个顶点分别是A(2,2+2),B(0,2-2),C(4,2),则△ABC是　　　　　　.(填△ABC的形状) 

14.已知正方形ABCD的边长为4,若E是BC的中点,F是CD的中点,求证:BF⊥AE.

15.已知直线l的倾斜角为30°,点P(2,1)在直线l上,直线l绕点P(2,1)按逆时针方向旋转30°后到达直线l1的位置,此时直线l1与l2平行,且l2是线段AB的垂直平分线,其中A(1,m-1),B(m,2),试求实数m的值.

答案全解全析

基础过关练

1.C　解法一:∵A(m,3),B(2m,m+4),

∴其方向向量为=(m,m+1).

∵C(m+1,2),D(1,0),

∴其方向向量为=(-m,-2),

由直线AB与直线CD平行,得m×(-2)-(m+1)×(-m)=0,解得m=0或m=1.

经检验,m=0或m=1时,两直线不重合,故选C.

解法二:当m=0时,直线AB与直线CD的斜率均不存在,此时AB∥CD,满足题意.

当m≠0时,kAB==,kCD==,

由题意得kAB=kCD,即=,解得m=1或m=0(舍去).

经检验,m=0或m=1时,两直线不重合,

∴m的值为0或1.故选C.

2.D　由题意得,直线l1的斜率为tan 135°=-1,直线l2的斜率为=-1,∴直线l1与l2平行或重合.

易错警示　当两直线斜率都存在时,两直线平行可以推出两直线的斜率相等;反之不成立,即两直线的斜率相等推不出两直线平行,此时还有可能重合.解题时要注意验证.

3.D　因为k1,k3是方程2x2-3x-2=0的两根,所以或又l1∥l2,所以k1=k2,所以k1+k2+k3=1或.

4.B　解法一:由题意得,=(-m-3,2-2m)与a=(-5,5)共线,所以5(-m-3)-(-5)·(2-2m)=0,解得m=-.

经检验知,m=-符合题意,故选B.

解法二:由a=(-5,5)得直线的斜率为=-1,因此直线PQ的斜率为=-1,解得m=-.

经检验知,m=-符合题意,故选B.

5.解析　由题意得l1∥l2,所以=.因为=kAB==-,=kMN==3,所以-=3,所以a=-6.经检验,a=-6时,直线AB与直线MN没有公共点,满足题意.

6.A　依题意得,-×kl=-1,即kl==,解得a=-,故选A.

7.B　由两直线垂直的判定知①③正确.故选B.

8.A　设A的坐标为(x,y),由已知得,AH⊥BC,BH⊥AC,且直线AH,BH的斜率存在,

所以即

解得即顶点A的坐标为(-19,-62).

9.答案　-1

解析　由题意得kPQ==1,所以线段PQ的垂直平分线的斜率为-1.

10.答案　(0,-11)

解析　设P(0,y),由题意知,kAB,kAP存在,又知∠BAP=90°,所以kAB·kAP=×==-1,解得y=-11.

所以点P的坐标是(0,-11).

11.B　由O,A,B,C四点共圆可以得出四边形OABC的对角互补,又由题意得∠COA=90°,所以∠CBA=90°,所以AB⊥BC,所以kAB·kBC=-1,即·=-1,解得y=.故选B.

12.A　设第四个顶点为C.当点C的坐标为(-3,1)时,|OC|=,|AB|=,|AC|=4,|OB|=3.∵|OC|≠|AB|,|AC|≠|OB|,∴四边形ABOC不是平行四边形.同理,可验证当C点坐标为(4,1)或(-2,1)或(2,-1)时,满足题意.故选A.

13.答案　直角三角形

解析　因为AB边所在直线的斜率kAB==2,CB边所在直线的斜率kCB==,AC边所在直线的斜率kAC==-,所以kCB·kAC=-1,所以CB⊥AC,所以△ABC是直角三角形.

14.证明　建立平面直角坐标系,如图所示,则B(4,0),E(4,2),F(2,4),A(0,0),所以kAE==,kBF==-2.

又kAE·kBF=×(-2)=-1,

所以AE⊥BF.

15.解析　如图,易知直线l1的倾斜角为30°+30°=60°,∴直线l1的斜率k1=tan 60°=.

当m=1时,直线AB的斜率不存在,此时l2的斜率为0,不满足l1∥l2.

当m≠1时,直线AB的斜率kAB==,∴线段AB的垂直平分线l2的斜率k2=.

∵l1与l2平行,∴k1=k2,即=,

解得m=4+.

综上,实数m的值为4+.