冀教版九年级上册第24章 一元二次方程24.2 解一元二次方程课后测评

这是一份冀教版九年级上册第24章 一元二次方程24.2 解一元二次方程课后测评，共9页。试卷主要包含了方程x2﹣4x＝3的根的情况是，已知关于x的方程x2﹣，定义运算，把方程x2﹣8x+3＝0化成等内容，欢迎下载使用。

1．方程x2﹣4x＝3的根的情况是（ ）
A．有两个不相等的实数根B．没有实数根
C．有两个相等的实数根D．有一个实数根
2．一元二次方程x2+2x＝0的解为（ ）
A．x＝﹣2B．x＝2C．x1＝0，x2＝﹣2D．x1＝0，x2＝2
3．已知关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根．若在直角坐标系中，点P在直线l：y＝﹣x+上，点Q（a，b）在直线l下方，则PQ的最小值为（ ）
A．B．C．D．
4．定义运算：a*b＝2ab，若a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，则（a+1）*b+2a的值为（ ）
A．mB．2﹣2mC．2m﹣2D．﹣2m﹣2
5．已知三角形的两边长是4和6，第三边的长是方程（x﹣3）2＝4的根，则此三角形的周长为（ ）
A．17B．11C．15D．11或15
6．把方程x2﹣8x+3＝0化成（x+m）2＝n的形式，则m+n的值是（ ）
A．23B．17C．15D．9
7．已知关于x的方程x2﹣2x+3k＝0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 ．
8．设m、n分别为方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，则m2+3m+n＝ ．
9．若x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，则（x1+1）（x2+1）的值是 ．
10．已知等腰△ABC的底边长为3，两腰长恰好是关于x的一元二次方程﹣（k+3）x+6＝0的两根，则△ABC的周长为
11．如果关于x的一元二次方程ax2+bx+c＝0有两个实数根，且其中一个根为另外一个根的2倍，则称这样的方程为“倍根方程”，以下关于倍根方程的说法，正确的有 （填序号）
①方程x2﹣x﹣2＝0是倍根方程；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程：则4m2+5mn+n2＝0；
③若p，q满足pq＝2，则关于x的方程px2+3x+q＝0是倍根方程；
④若方程以ax2+bx+c＝0是倍根方程，则必有2b2＝9ac．
12．解关于x的一元二次方程：x2+3x+1＝0．
13．解方程：x2+2x﹣5＝0（用公式法解）
14．解方程：x2﹣4＝3（x+2）
15．已知关于x的方程 kx2+（k+3）x+3＝0（k≠0）．
（1）求证：方程一定有两个实数根；
（2）若方程的两个实数根都是整数，求正整数k的值．
16．关于x的一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根．
（1）求m的取值范围；
（2）若x1，x2是一元二次方程x2+2x+2m＝0的两个根，且x12+x22＝8，求m的值．
17．已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的两实数根．
（1）若（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，求m的值；
（2）已知等腰三角形ABC的一边长为7，若x1，x2恰好是△ABC另外两边的长，求这个三角形的周长．
18．阅读材料，解答问题．
解方程：（4x﹣1）2﹣10（4x﹣1）+24＝0
解：把4x﹣1视为一个整体，设4x﹣1＝y，
则原方程可化为：y2﹣10y+24＝0
解得：y1＝6，y2＝4
∴4x﹣1＝6 或4x﹣1＝4
∴x1＝，x2＝
以上方法就叫换元法，达到了降次的目的，体现了转化的思想．
请仿照上例，请用换元法解答问题：
已知（x2+y2+1）（x2+y2﹣3）＝5，求x2+y2的值．
19．解方程：x2﹣8x+7＝0
20．关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0．
（1）若方程有两个实数根，求m的取值范围．
（2）设方程有两个实数根为x1，x2，且|x1﹣x2|＝1，求m的值．
（提示：|x1﹣x2|＝＝）
参考答案
1．解：由方程x2﹣4x＝3得到：x2﹣4x﹣3＝0，
∵△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×1×（﹣3）＝28＞0，
∴该方程有两个不相等的实数根．
故选：A．
2．解：∵x2+2x＝0，
∴x（x+2）＝0，
则x＝0或x+2＝0，
解得x1＝0，x2＝﹣2，
故选：C．
3．解：∵关于x的方程x2﹣（a+2b）x+1＝0有两个相等实数根，
∴△＝（a+2b）2﹣4＝0，
∴a+2b＝2或a+2b＝﹣2，
∵点Q（a，b），即Q（1﹣b，b）或（﹣1﹣b，b），
∴点Q所在的直线为y＝﹣x+1或y＝﹣x﹣1，
∵点Q（a，b）在直线y＝﹣x+的下方，
∴点Q在直线y＝﹣x﹣1上，如图，EF为两直线的距离，
∵OE＝，OF＝，
∴EF＝，
∴PQ的最小值为．
故选：A．
4．解：∵a、b是方程x2+x﹣m＝0（m＞0）的两个根，
∴由根与系数的关系得：a+b＝﹣1，ab＝﹣m，
∴（a+1）*b+2a
＝2（a+1）b+2a
＝2ab+2b+2a
＝2ab+2（a+b）
＝2×（﹣m）+2×（﹣1）
＝﹣2m﹣2，
故选：D．
5．解：（x﹣3）2＝4，
x﹣3＝±2，
解得x1＝5，x2＝1．
若x＝5，则三角形的三边分别为4，5，6，其周长为4+5+6＝15；
若x＝1时，6﹣4＝2，不能构成三角形，
则此三角形的周长是15．
故选：C．
6．解：方程整理得：x2﹣8x＝﹣3，
配方得：x2﹣8x+16＝13，即（x﹣4）2＝13，
∴m＝﹣4，n＝13，
则m+n＝9．
故选：D．
7．解：∵a＝1，b＝﹣2，c＝3k，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣2）2﹣4×1×3k＝4﹣12k＞0，
解得：k＜．
故答案为：k＜．
8．解：∵m，n分别为一元二次方程x2+2x﹣2021＝0的两个实数根，
∴m2+2m＝2021，m+n＝﹣2，
∴m2+3m+n＝m2+2m+（m+n）＝2021﹣2＝2019．
故答案是：2019．
9．解：
∵x1，x2是一元二次方程x2+2x﹣1＝0的两个根，
∴x1+x2＝﹣2，x1x2＝﹣1，
∴（x1+1）（x2+1）＝x1x2+x1+x2+1＝﹣1+（﹣2）+1＝﹣2，
故答案为：﹣2．
10．解：由题意知方程﹣（k+3）x+6＝0有两个相等的实数根，
∴△＝[﹣（k+3）]2﹣4×k×6＝0，
解得k＝3，
则三角形的三边长度为2、2、3，
则△ABC的周长为7，
故答案为：7．
11．解：①解方程x2﹣x﹣2＝0得，x1＝2，x2＝﹣1，得，x1≠2x2，
∴方程x2﹣x﹣2＝0不是倍根方程；
故①不正确；
②若（x﹣2）（mx+n）＝0是倍根方程，x1＝2，
因此x2＝1或x2＝4，
当x2＝1时，m+n＝0，
当x2＝4时，4m+n＝0，
∴4m2+5mn+n2＝（m+n）（4m+n）＝0，
故②正确；
③∵pq＝2，则：px2+3x+q＝（px+1）（x+q）＝0，
∴x1＝﹣，x2＝﹣q，
∴x2＝﹣q＝﹣＝2x1，
因此是倍根方程，
故③正确；
④方程ax2+bx+c＝0的根为：x1＝，x2＝，
若x1＝2x2，则，＝×2，
即，﹣×2＝0，
∴＝0，
∴＝0，
∴3＝﹣b
∴9（b2﹣4ac）＝b2，
∴2b2＝9ac．
若2x1＝x2时，则，×2＝，
即，则，×2﹣＝0，
∴＝0，
∴﹣b+3＝0，
∴b＝3，
∴b2＝9（b2﹣4ac），
∴2b2＝9ac．
故④正确，
故答案为：②③④
12．解：x2+3x+1＝0，
这里a＝1，b＝3，c＝1，
∵b2﹣4ac＝32﹣4×1×1＝5＞0，
∴x＝＝，
解得：x1＝，x2＝．
13．解：x2+2x﹣5＝0
∵a＝1，b＝2，c＝﹣5
∵b2﹣4ac＝22﹣4×1×（﹣5）＝24＞0
∴x＝＝﹣1，
∴．
14．解：∵x2﹣4＝3（x+2），
∴x2﹣4＝3x+6，
∴x2﹣3x﹣10＝0，
∴（x﹣5）（x+2）＝0，
∴x+2＝0或x﹣5＝0，
∴x1＝﹣2，x2＝5．
15．（1）证明：∵k≠0，
△＝（k+3）2﹣4•k•3＝k2﹣6k+9＝（k﹣3）2≥0，
∴方程一定有两个实数根；
（2）解：∵x＝，
∴x1＝﹣1，x2＝﹣，
∵方程的两个实数根都是整数，
∴正整数k＝1或3．
16．解：（1）因为一元二次方程x2+2x+2m＝0有两个不相等的实数根，
所以△＝4﹣8m＞0，
解得：m＜．
故m的取值范围为m＜．
（2）根据根与系数的关系得：x1+x2＝﹣2，x1•x2＝2m，
∵x12+x22＝（x1+x2）2﹣2x1x2＝4﹣4m＝8，
所以m＝﹣1
验证当m＝﹣1时△＞0．．
故m的值为m＝﹣1．
17．解：（1）根据题意得△＝4（m+1）2﹣4（m2+5）≥0，解得m≥2，
x1+x2＝2（m+1），x1x2＝m2+5，
∵（x1﹣1）（x2﹣1）＝28，即x1x2﹣（x1+x2）+1＝28，
∴m2+5﹣2（m+1）+1＝28，
整理得m2﹣2m﹣24＝0，解得m1＝6，m2＝﹣4，
而m≥2，
∴m的值为6；
（2）∵x1，x2恰好是△ABC另外两边的边长，而等腰△ABC的一边长为7，
当7是腰时，x＝7必是一元二次方程x2﹣2（m+1）x+m2+5＝0的一个解，
把x＝7代入方程得49﹣14（m+1）+m2+5＝0，
整理得m2﹣14m+40＝0，解得m1＝10，m2＝4，
当m＝10时，x1+x2＝2（m+1）＝22，解得x2＝15，而7+7＜15，故舍去；
当m＝4时，x1+x2＝2（m+1）＝10，解得x2＝3，则三角形周长为3+7+7＝17；
若x1＝x2，则m＝2，方程化为x2﹣6x+9＝0，解得x1＝x2＝3，则3+3＜7，故舍去，
所以这个三角形的周长为17．
综上所述，这个三角形的周长为17．
18．解：设x2+y2＝a （a≥0），则原方程可化为：（a+1）（a﹣3）＝5，
解得：a1＝﹣2（舍去），a2＝4，
则x2+y2＝4．
19．解：
分解因式可得（x﹣1）（x﹣7）＝0，
∴x﹣1＝0或x﹣7＝0，
∴x＝1或x＝7．
20．解：（1）∵关于x的一元二次方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0有两个实数根，
∴△＝（﹣2m）2﹣4×m×（m﹣2）＝8m≥0，
解得：m≥0．
∵m≠0，
∴m的取值范围为m＞0；
（2）∵方程mx2﹣2mx+m﹣2＝0的实数根为x1，x2，
∴x1+x2＝2，x1•x2＝，
又∵|x1﹣x2|＝＝＝1，
解得：m1＝0（不合题意舍去），m2＝8．
∴m的值为8．