初中数学青岛版九年级上册第3章 对圆的进一步认识3.2 确定圆的条件课后练习题

3.2 确定圆的条件（2）

1．下列命题中，假命题是（   ）

    A．平行四边形的对角线互相平分     B．矩形的对角线相等

    C．等腰梯形的对角线相等           D．菱形的对角线相等且互相平分

2．用反证法证明命题“一个三角形的三个外角中，至多有一个锐角”的第一步是________．毛

3．命题“线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等”的逆命题是_______，这个命题是________命题．（填“真”或“假”）

4．如图所示是一种“羊头”形图案，其作法是：从正方形①开始，以它的一边为斜边，向外作等腰直角三角形，然后再以其直角边为边，分别向外作正方形②和②′，…，依此类推，若正方形①的边长为64cm，则正方形⑦的边长为_______cm．

5．求证：在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．

6．如图，已知在等腰梯形ABCD中，AB∥CD，AB<CD，AB=10，BC=3．

    （1）如果M为AB上一点（如图①，且满足∠DMC=∠A，求AM的长．

（2）如果点M在AB边上移动（点M与A、B不重合），且满足∠DMN=∠A，MN交BC延长线于N（如图②），设AM=x，CN=y，求y关于x的函数解析式，并写出x的取值范围．（写x的取值范围时，不写推理过程）

7．如图所示，菱形ABCD的边长为24cm，∠A=60°，质点P从点A出发沿线路AB-BD作匀速运动，质点Q从点D同时出发沿线路DC-CB-BA作匀速运动．

    （1）求BD的长；

    （2）质点P、Q运动的速度分别是4cm/s、5cm/s．经过12s后，P、Q分别到达M、N两点，若按角的大小进行分类，请你确定△AMN是哪一类三角形，并说明理由．

（3）设题（2）中的质点P，Q分别从M，N同时沿原路返回，质点P的速度不变，质点Q的速度改变为acm/s．经过3s后，P、Q分别到达E、F两点，若△BEF与题（2）中的△AMN相似，试求a的值．

8．一个直立的火柴盒在桌面上倒下，启迪人们发现了勾股定理的一种新的证明方法．如图所示，火柴盒的一个侧面ABCD倒下到AB′C′D′的位置，连结CC′，设AB=a，AC=c，请利用四边形BCC′D′的面积证明勾股定理：a2+b2=c2．

9．如图所示，B、C、E三点在一条直线上，△ABC和△DCE均为等边三角形，连结AE、DB．

    （1）求证：AE=DB；

（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论还成立吗？

10．已知：如图所示，在△ABC中，D是AB边上的一点，且BD=BC，BE⊥CD于E，交AC于点F，请再添加一个条件，使四边形DMCF是菱形，并加以证明．

11．如图所示，在△ABC中，AB=AC，D是BC的中点，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．

    （1）求证：DE=DF；

（2）只添加一个条件，使四边形EDFA是正方形．请你至少写出两种不同的添加方法．（不另外添加辅助线，无需证明）

12．如图所示，梯形ABCD中，AD∥BC，F、H分别是AB、CD的中点，FH分别交BD、AC于G、M， BD=6，ED=2，BC=10．

    （1）求GM的长；（2）若梯形ABCD是等腰梯形，求证：△BFG≌△CHM．

参考答案

1．D

2．假设三角形的三个外角中，有两个锐角．

3．到线段两端距离相等的点在这条线段的垂直平分线上，真．

4．8

5．证明：假设在一个三角形中，这两个角所对的边相等，那么根据等边对等角，它们所对的两个角也相等，这与已知条件相矛盾，说明假设不成立，所以在一个三角形中，如果两个角不等，那么它们所对的边也不等．

6．解：（1）在等腰梯形ABCD中，

    ∵AB∥CD，

    ∴∠A=∠B．

    又∵∠A=∠DMC，∠1+∠A+∠2=∠2+∠DMC+∠3=180°，

    ∴∠1=∠3．

    ∴△ADM≌△BMC．

    设AM=x，则，

    ∴x2-10x+9=0，

    ∴x=1或x=9，经检验都是原分式方程的根．

    ∴AM长为1或9．

    （2）同理可证△ADM∽△BMN，可得，

    ∴y=-x2+x-3（1<x<9）．

7．（1）菱形ABCD中，AB=AD，∠A=60°，

    ∴△ABD是等边三角形．

∴BD=24cm．

    （2）△AMN是直角三角形，确定理由如下：

    12s后，点P走过的路程为4×12=48（cm），

    ∵AB+BD=48（cm），

    ∴点M与点D重合．

    点Q走过的路程为5×12=60（cm）．

    ∵DC+CB+AB=60（cm），

    ∴点N是AB的中点．

    连结MN，∵AM=MB，AN=BN，

    ∴MN⊥AB．

    ∴△AMN是直角三角形．

    （3）点P从M点返回3秒走过的路程为4×3=12（cm）．

    ∵BD=12cm，∴点E是BD的中点．

    点Q从N点返回3s走过的路程为3acm．

    ∵△BEF与题（2）中的Rt△AMN相似，

又∵∠EBF=∠A=60°，

    ①若∠BFE=∠ANM=60°．

    a：当点F在BN上时，BF=BN-FN=12-3a．

    （证法1）：∵△BEF∽△AMN，

    ∴．

    ∴．

    解得a=2．

    （证法2）：在Rt△BEF中，∠BEF=30°，

    ∴BF=BE．∴12-3a=×12．

    解得a=2．

    b：当点F在BC上时，BF=3a-BN=3a-12．

    （证法1）：∵△BEF∽△AMN，

    ∴．

    ∴．

    解得a=6．

（证法2）在Rt△BEF中，∠BEF=30°，

∴BF=BE．∴3a-12=×12．

    解得a=6．

    ②若∠BEF=∠ANM=90°，即点F与点C重合，

    此时3a=BN+BC=36．

    ∴a=12．

    综上所述，a=2或6或12．

8．∵四边形BCC′D′为直角梯形，

    ∴S梯形BCC‘D’=（BC+C′D′）·BD′=．

    ∵Rt△ABC≌Rt△AB′C′，

    ∴∠BAC=∠B′AC′．

    ∴∠CAC′=∠CAB′+∠B′AC′=∠CAB′+∠BAC=90°．

    ∴S梯形BCC‘D’=S△ABC+S△CAC‘+S△D’AC‘=ab+c2+ab=．

    ∴=．

    ∴a2+b2=c2．

9．（1）证△BCD≌△ACE即可；（2）如果把△DCE绕点C顺时针再旋转一个角度，（1）中的结论仍成立．

10．添加条件DM∥AC（或ME=EF，DM=DF，DM=CF等均可）．

    证明：如图所示，在△ABC中，BD=BC，BE⊥CD，则DE=CE．

    ∵DM∥AC，

    ∴∠1=∠2，∠3=∠4，

    ∴△DME≌△CFE，

    ∴DM=CF．

    ∴四边形DMCF是平行四边形．

    又∵BF⊥CD，

    ∴DMCF是菱形．

11．（1）∵DE⊥AB，DF⊥AC，

    ∴∠DEB=∠DFC=90°．

    ∵AB=AC，

    ∴∠B=∠C．

    又∵DB=DC，

    ∴△DEB≌△DFC．

    ∴DE=DF．

    （2）∠A=90°，四边形AFDE是平行四边形等．（方法很多，如∠B=45°或BC=AB或DE⊥DF或F为F为AC中点或DF∥AB等）．
12．解：（1）∵F、H为AB、CD的中点，

    ∴AD∥FH∥BC．

    ∴△AED∽△CEB．

    ∴，∴．

    ∴AD=5．

    又∵△AED∽△MEC，∴．

    ∴，∴MG=（或2.5）．

    （2）∵等腰梯形ABCD中F、H分别是AB、CD的中点，

    ∴BF=CH，∠BAD=∠CDA，FH∥AD．

    ∴∠BFG=∠CHM．

    ∴FG=HM=AD．

    ∴△BFG≌△CHM．