青岛版九年级上册3.7 正多边形与圆课时训练

3.7  正多边形与圆

1. 正八边形的每个内角为(        )

A.120°            B.135°          C.140°             D.144°

2.对于一个正多边形，下列四个命题中，错误的是 (        )

A.正多边形是轴对称图形，每条边的垂直平分线是它的对称轴

B.正多边形是中心对称图形，正多边形的中心是它的对称中心

C.正多边形每一个外角都等于正多边形的中心角

D.正多边形每一个内角都与正多边形的中心角互补

3.下列图形中，既是轴对称图形，又是中心对称图形的有(        )

①正三角形；②正方形；③正五边形；④正六边形；⑤线段；⑥圆；⑦菱形；⑧平行四边形.

A.3个             B.4个           C.5个                D.6个

4.一元钱硬币的直径约为24 mm，则用它能完全覆盖住的正六边形的边长最大不能超过(       )

A.12 mm            B.12 mm           C.6 mm             D.6 mm

5.如图，正六边形ABCDEF内接于⊙O，若直线PA与⊙O相切于点A，则∠PAB＝(       )

第5题图

A.30°  B.35°  C.45°  D.60°

6.同圆的内接正三角形与内接正方形的边长的比是(        )

A.                B.                   C.               D.

7.为增加绿化面积，某小区将原来正方形地砖更换为如图所示的正八边形植草砖，更换后，图中阴影部分为植草区域，设正八边形与其内部小正方形的边长都为a，则阴影部分的面积为(         )

第7题图

A.2a2               B.3a2                C.4a2             D.5a2

8.用尺规画正八边形时，先将半径为R的圆____________等分，再将____________平分，最后依次连接各分点即可得正八边形.

9.如图，正六边形ABCDEF内接于半径为3的圆O，则劣弧AB的长度为____________.

第9题图

10.在⊙O中，弦AB是内接正三角形的一边，弦AC是内接正六边形的一边，则∠BAC＝____________.

11.在学习圆与正多边形时，马露、高静两位同学设计了一种画圆内接正三角形的方法：

(1)如图，作直径AD；

(2)作半径OD的垂直平分线，交⊙O于B，C两点；

(3)连接AB，AC，那么△ABC为所求的三角形.

请你判断两位同学的作法是否正确，如果正确，请你按照两位同学设计的画法，画出△ABC，然后给出△ABC是等边三角形的证明过程；如果不正确，请说明理由.

12.若一个正六边形的周长为24，求该正六边形的面积.(结果保留根号)

13.如图，已知⊙O的两直径AB，CD互相垂直，弦MN垂直平分OB，交OB于点E.求证：MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.

第13题图

14.如图，已知正五边形ABCDE中，BF与CM相交于点P，CF＝DM.

(1)求证：△BCF≌△CDM；

 (2)求∠BPM的度数.

第14题图

15.如图1，2，3，…，m中，M，N分别是⊙O的内接正△ABC，正方形ABCD，正五边形ABCDE，…，正n边形的边AB，BC上的点，且BM＝CN，连接OM，ON.

(1)求图1中∠MON的度数；

(2)图2中∠MON的度数是____________，图3中∠MON的度数是____________；

(3)试探究∠MON的度数与正n边形边数n的关系.(直接写出答案)

第15题图

参考答案

1.B　2.B　3.C　4.A　5.A     6.A　7.A　

8.四　直角     9.π　  10.30°或90°

11.【解】图略.两位同学的方法正确.连BO，CO，设BC交AD于点E.
∵BC垂直平分OD，
∴在Rt△OEB中，cos∠BOE＝＝.
∴∠BOE＝60°.由垂径定理得∠COE＝∠BOE＝60°.
∵AD为直径，
∴∠AOB＝∠AOC＝120°.
∴AB＝BC＝CA，即△ABC为等边三角形.

12.【解】如图，过点O作OD⊥AB，垂足为点D.
∵∠AOB＝360°÷6＝60°，OA＝OB，
∴△AOB为等边三角形，且三条对角线把正六边形分成了六个全等的等边三角形.
∵正六边形的周长为24，
∴AB＝4.
∵OD⊥AB，
∴∠AOD＝30°，AD＝2.

在Rt△AOD中，根据勾股定理得OD＝2.
∴S△AOB＝×4×2＝4.
∴S正六边形＝6×4＝24.

13.【证明】连接OM.
∵MN⊥OB，OE＝OB＝OM，
∴∠EMO＝30°.
∴∠MOB＝60°.
∴∠MOC＝30°，∠MOB＝＝60°，∠MOC＝＝30°.
∴MB与MC分别为该圆的内接正六边形和正十二边形的边长.

14.(1)【证明】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴BC＝CD，∠BCF＝∠CDM.

在△BCF和△CDM中，
∴△BCF≌△CDM(SAS).

(2)【解】∵五边形ABCDE是正五边形，
∴∠BCF＝＝108°.
∴∠CBF＋∠CFB＝180°－∠BCF＝72°.
∵△BCF≌△CDM，
∴∠MCD＝∠CBF.
∴∠MCD＋∠CFB＝72°.
∴∠BPM＝∠CPF＝180°－(∠MCD＋∠CFB)＝108°.

15.【解】(1)连接OB，OC.
∵正△ABC内接于⊙O，
∴∠OBM＝∠OBN＝∠OCN＝30°.
∴∠BOC＝120°.而BM＝CN，OB＝OC，
∴△OBM≌△OCN(SAS).
∴∠BOM＝∠CON.
∴∠MON＝∠BOC＝120°.

(2)90°　72°

(3)∠MON＝.