2022版高考数学大一轮复习作业本13《导数的概念及运算》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本13《导数的概念及运算》(含答案详解)，共4页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
过点(－1,1)与曲线f(x)=x3－x2－2x＋1相切的直线有( )
A.0条 B.1条 C.2条 D.3条
已知函数f(x)=ex－mx＋1的图象为曲线C，若曲线C存在与直线y=ex垂直的切线，
则实数m的取值范围是( )
A.(-∞,eq \f(1,e)) B.(eq \f(1,e),+∞) C.(eq \f(1,e),e) D.(e，＋∞)
已知函数y=f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程x－2y＋1=0，则f(1)＋2f ′(1)的值是( )
A.eq \f(1,2) B.1 C.eq \f(3,2) D.2
曲线y=sin x＋ex在点(0,1)处的切线方程是( )
A.x－3y＋3=0 B.x－2y＋2=0 C.2x－y＋1=0 D.3x－y＋1=0
已知函数f(x)的导函数为f ′(x)，且满足f(x)=2xf ′(1)＋ln x，则f ′(1)=( )
A.－e B.－1 C.1 D.e
已知f ′(x)是f(x)=sin x＋acs x的导函数，且f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \f(\r(2),4)，则实数a的值为( )
A.eq \f(2,3) B.eq \f(1,2) C.eq \f(3,4) D.1
已知函数f(x)=sin x－cs x，且f ′(x)=eq \f(1,2)f(x)，则tan 2x的值是( )
A.－eq \f(2,3) B.－eq \f(4,3) C.eq \f(4,3) D.eq \f(3,4)
过函数f(x)=eq \f(1,3)x3－x2图像上一个动点作函数的切线，则切线倾斜角的范围为( )
A.eq \b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\c1(0，\f(3π,4))) B.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π))
C.eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)) D.eq \b\lc\(\rc\](\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，\f(3π,4)))
已知曲线f(x)=e2x－2ex＋ax－1存在两条斜率为3的切线，则实数a的取值范围是( )
A.(3，＋∞) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(3，\f(7,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(－∞，\f(7,2))) D.(0,3)
曲线y=2lnx上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离为( )
A.eq \r(5) B.2eq \r(5) C.3eq \r(5) D.2
若曲线C1：y=x2与曲线C2：y=eq \f(ex,a)(a>0)存在公共切线，则a的取值范围为( )
A.(0,1) B.(1,eq \f(e2,4)) C.[eq \f(e2,4),2] D.[eq \f(e2,4),+∞)
已知函数f(x)=ln x＋tan αeq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α∈\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))))的导函数为f ′(x)，若使得f ′(x0)=f(x0)成立的x0满足x0<1，则α的取值范围为( )
A.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,4))) B.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))) C.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)，\f(π,4))) D.eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,3)))
二、填空题
已知直线y=－x＋1是函数f(x)=－eq \f(1,a)·ex图象的切线，则实数a=________.
已知f(x)=eq \f(1,x)cs x，则f(π)＋f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=________.
已知a为常数，若曲线y=ax2＋3x－ln x上存在与直线x＋y－1=0垂直的切线，
则实数a的取值范围是________.
已知曲线y=eq \f(1,ex＋1)，则曲线的切线斜率取得最小值时的直线方程为 .
\s 0 参考答案
答案为：C.
解析：设切点P(a，a3－a2－2a＋1)，由f′(x)=3x2－2x－2，
当a≠－1时，可得切线的斜率k=3a2－2a－2=eq \f(a3－a2－2a＋1－1,a－－1)，
所以(3a2－2a－2)(a＋1)=a3－a2－2a，即(3a2－2a－2)(a＋1)=a(a－2)(a＋1)，
所以a=1，此时k=－1.又(－1,1)是曲线上的点且f′(－1)=3≠－1，故切线有2条.
答案为：B.
解析：由题意知，方程f′(x)=－eq \f(1,e)有解，即ex－m=－eq \f(1,e)有解，即ex=m－eq \f(1,e)有解，
故只要m－eq \f(1,e)>0，即m>eq \f(1,e)即可，故选B.
答案为：D
解析：∵函数y=f(x)的图象在点(1, f(1))处的切线方程是x－2y＋1=0，
∴f(1)=1, f ′(1)=eq \f(1,2).∴f(1)＋2f ′(1)=2.故选D.
答案为：C
解析：y′=cs x＋ex，故切线斜率为k=2，切线方程为y=2x＋1，即2x－y＋1=0.
答案为：B
解析：由题可得f′(x)=2f′(1)＋eq \f(1,x)，则f′(1)=2f′(1)＋1，解得f′(1)=－1，所以选B.
答案为：B
解析：由题意可得f′(x)=cs x－asin x，
则由f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)))=eq \f(\r(2),4)可得eq \f(\r(2),2)－eq \f(\r(2),2)a=eq \f(\r(2),4)，解得a=eq \f(1,2).故选B.
答案为：D
解析：因为f ′(x)=cs x＋sin x=eq \f(1,2)sin x－eq \f(1,2)cs x，所以tan x=－3，
所以tan 2x=eq \f(2tan x,1－tan2x)=eq \f(－6,1－9)=eq \f(3,4).故选D.
答案为：B
解析：设切线的倾斜角为α.由题意得k=f′(x)=x2－2x=(x－1)2－1≥－1，
即k=tan α≥－1，解得0≤α即切线倾斜角的范围为eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))∪eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(3π,4)，π)).故选B.
答案为：B
解析：由题得f′(x)=2e2x－2ex＋a，则方程2e2x－2ex＋a=3有两个不同的正解，
令t=ex(t>0)，且g(t)=2t2－2t＋a－3，则由图像可知，有g(0)>0且Δ>0，
即a－3>0且4－8(a－3)>0，解得3 答案为：A.
解析：设与直线2x－y＋3=0平行且与曲线y=2lnx相切的直线方程为2x－y＋m=0.
设切点为P(x0，y0)，∵y′=eq \f(2,x)，∴斜率k=eq \f(2,x0)=2，解得x0=1，因此y0=2ln1=0，
∴切点为P(1,0)，则点P到直线2x－y＋3=0的距离d=eq \f(|2－0＋3|,\r(22＋－12))=eq \r(5)，
∴曲线y=2lnx上的点到直线2x－y＋3=0的最短距离是eq \r(5).
答案为：D.
解析：曲线y=x2在点(m，m2)的切线斜率为2m，
曲线y=eq \f(ex,a)(a>0)在点eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(n，\f(1,a)en))的切线斜率为eq \f(1,a)en，如果两条曲线存在公共切线，
那么2m=eq \f(1,a)en.又由直线的斜率公式得到2m=eq \f(m2－\f(1,a)en,m－n)，则有m=2n－2，
则由题意知4n－4=eq \f(1,a)en有解，即y=4x－4，y=eq \f(1,a)ex的图象有交点.
若直线y=4x－4与曲线y=eq \f(1,a)ex相切，设切点为(s，t)，则eq \f(1,a)es=4，且t=4s－4=eq \f(1,a)es，
可得切点为(2,4)，此时eq \f(1,a)=eq \f(4,e2)，故要使满足题意，需eq \f(1,a)≤eq \f(4,e2)，则a≥eq \f(e2,4)，
故a的取值范围是a≥eq \f(e2,4).故选D.
答案为：B
解析：∵f ′(x)=eq \f(1,x)，∴f ′(x0)=eq \f(1,x0)，由f ′(x0)=f(x0)，得eq \f(1,x0)=ln x0＋tan α，
∴tan α=eq \f(1,x0)－ln x0.又01，即tan α>1，
又α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，\f(π,2)))，∴α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2))).故选B.
答案为：e2
解析：设切点为(x0，y0)，则f ′(x0)=－eq \f(1,a)·ex0=－1，∴ex0=a，
又－eq \f(1,a)·ex0=－x0＋1，∴x0=2，∴a=e2.
答案为：－eq \f(3,π)
解析：f′(x)=eq \f(－sin x·x－cs x,x2)，当x=eq \f(π,2)时，f ′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=－eq \f(2,π)，
又f(π)=－eq \f(1,π)，所以f(π)＋f′eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)))=－eq \f(3,π).
答案为：eq \b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\c1(－\f(1,2)，＋∞))
解析：由题意知曲线的切线斜率为1，所以y′=2ax＋3－eq \f(1,x)=1有正根，
即2ax2＋2x－1=0有正根.当a≥0时，显然满足题意；
当a＜0时，需满足Δ≥0，解得－eq \f(1,2)≤a＜0.综上，a≥－eq \f(1,2).
答案为：x＋4y－2=0；
解析：y′=eq \f(－ex,ex＋12)=eq \f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)，
因为ex＞0，所以ex＋eq \f(1,ex)≥2eq \r(ex×\f(1,ex))=2(当且仅当ex=eq \f(1,ex)，即x=0时取等号)，
则ex＋eq \f(1,ex)＋2≥4，故y′=eq \f(－1,ex＋\f(1,ex)＋2)≥－eq \f(1,4)(当x=0时取等号).
当x=0时，曲线的切线斜率取得最小值，此时切点的坐标为(0,0.5)，
切线的方程为y－eq \f(1,2)=－eq \f(1,4)(x－0)，即x＋4y－2=0.