2022版高考数学大一轮复习作业本21《简单的三角恒等变换》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本21《简单的三角恒等变换》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
若tan(α＋80°)=4sin 420°，则tan(α＋20°)的值为( )
A.－eq \f(\r(3),5) B.3eq \f(\r(3),5) C.eq \f(\r(3),19) D.eq \f(\r(3),7)
已知taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(3,4)，则cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))=( )
A.eq \f(7,25) B.eq \f(9,25) C.eq \f(16,25) D.eq \f(24,25)
若sin(α－β)sin β－cs(α－β)·cs β=eq \f(4,5)，且α为第二象限角，
则taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=( )
A.7 B.eq \f(1,7) C.－7 D.－eq \f(1,7)
若tan 20°＋msin 20°=eq \r(3)，则m的值为( )
A.1 B.3 C.6 D.4
若sin(α＋β)=2sin(α－β)=eq \f(1,2)，则sin αcs β的值为( )
A.eq \f(3,8) B.－eq \f(3,8) C.eq \f(1,8) D.－eq \f(1,8)
若cs α＋2cs β=eq \r(2)，sin α=2sin β－eq \r(3)，则sin2(α＋β)=( )
A.1 B.eq \f(1,2) C.eq \f(1,4) D.0
若α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))，且3cs2α=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))，则sin2α的值为( )
A.－eq \f(1,18) B.eq \f(1,18) C.－eq \f(17,18) D.eq \f(17,18)
已知sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，则cs 2α=( )
A.1 B.－1 C.eq \f(1,2) D.0
设a=eq \f(1,2)cs 6°－eq \f(\r(3),2)sin 6°，b=eq \f(2tan13°,1－tan213°)，c=eq \r(\f(1－cs 50°,2))，则( )
A.c＜b＜a B.a＜b＜c C.a＜c＜b D.b＜c＜a
已知f(x)=sinx－csx，实数α满足f′(α)=3f(α)，则tan2α=( )
A.－eq \f(4,3) B.－eq \f(3,4) C.eq \f(3,4) D.eq \f(4,3)
若函数f(x)=5csx＋12sinx在x=θ时取得最小值，则csθ=( )
A.eq \f(5,13) B.－eq \f(5,13) C.eq \f(12,13) D.－eq \f(12,13)
已知tan2α=－2eq \r(2)，且满足eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，则eq \f(2cs2\f(α,2)－sinα－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))的值是( )
A.eq \r(2) B.－eq \r(2) C.－3＋2eq \r(2) D.3－2eq \r(2)
二、填空题
已知sinα＋csα=eq \f(\r(5),2)，则cs4α= .
若eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)=3，tan(α－β)=2，则tan(β－2α)=________.
计算：eq \f(\r(3)tan 12°－3,4cs212°－2sin 12°)=________.
若tanα＋eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3)，α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，则sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α的值为 .
\s 0 参考答案
答案为：D
解析：由tan(α＋80°)=4sin 420°=4sin 60°=2eq \r(3)，
得tan(α＋20°)=tan[(α＋80°)－60°]
=eq \f(tanα＋80°－tan 60°,1＋tanα＋80°tan 60°)=eq \f(2\r(3)－\r(3),1＋2\r(3)×\r(3))=eq \f(\r(3),7).故选D.
答案为：B
解析：∵taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(3,4)，
∴cs2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))=sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4))),tan2\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))＋1)=eq \f(\f(9,16),\f(9,16)＋1)=eq \f(9,25).故选B.
答案为：B
解析：sin(α－β)sin β－cs(α－β)cs β=eq \f(4,5)，
即sin αcs βsin β－cs αsin2β－cs αcs2β－sin αsin βcs β=eq \f(4,5)，
即cs α=－eq \f(4,5).又α为第二象限角，∴tan α=－eq \f(3,4)，
∴taneq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(α＋\f(π,4)))=eq \f(1＋tanα,1－tanα)=eq \f(1,7).故选B.
答案为：D
解析：∵tan 20°＋msin 20°=eq \f(sin 20°,cs 20°)＋msin 20°=eq \r(3)，
∴msin 20°cs 20°=eq \r(3)cs 20°－sin 20°=2sin(60°－20°)=2sin 40°，
∴eq \f(m,2)sin 40°=2sin 40°，∴m=4.故选D.
答案为：A
解析：由sin(α＋β)=2sin(α－β)=eq \f(1,2)，可得
sin αcs β＋cs αsin β=eq \f(1,2) ①，
sin αcs β－cs αsin β=eq \f(1,4) ②.
由①②解得sin αcs β=eq \f(3,8).故选A.
答案为：A
解析：由题意得(cs α＋2cs β)2=cs2α＋4cs2β＋4cs αcs β=2，
(sin α－2sin β)2=sin2α＋4sin2β－4sin αsin β=3.两式相加，
得1＋4＋4(cs αcs β－sin αsin β)=5，
∴cs(α＋β)=0，∴sin2(α＋β)=1－cs2(α＋β)=1.
答案为：C；
解析：由3cs2α=sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)－α))可得3(cs2α－sin2α)=eq \f(\r(2),2)(csα－sinα)，
又由α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)，π))可知csα－sinα≠0，于是3(csα＋sinα)=eq \f(\r(2),2)，
所以1＋2sinα·csα=eq \f(1,18)，故sin2α=－eq \f(17,18).故选C.
答案为：D
解析：∵sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,6)＋α))，∴eq \f(1,2)cs α－eq \f(\r(3),2)sin α=eq \f(\r(3),2)cs α－eq \f(1,2)sin α，
即eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))sin α=－eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)－\f(\r(3),2)))cs α，
∴tan α=eq \f(sinα,csα)=－1，∴cs 2α=cs2α－sin2α=eq \f(cs2α－sin2α,sin2α＋cs2α)=eq \f(1－tan2α,tan2α＋1)=0.
答案为：C
解析：∵a=sin 30°cs 6°－cs 30°sin 6°=sin 24°，b=tan 26°，c=sin 25°，
∴a＜c＜b.
答案为：A.
解析：由题意可得f′(x)=csx＋sinx，∴f′(α)=csα＋sinα.
由f′(α)=3f(α)，得csα＋sinα=3sinα－3csα，
∴2sinα=4csα，即tanα=2.∴tan2α=eq \f(2tanα,1－tan2α)=eq \f(4,1－22)=－eq \f(4,3)，故选A.
答案为：B.
解析：f(x)=5csx＋12sinx=13eq \f(5,13)csx＋eq \f(12,13)sinx=13sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(x＋α))，
其中sinα=eq \f(5,13)，csα=eq \f(12,13)，由题意知θ＋α=2kπ－eq \f(π,2)(k∈Z)，
得θ=2kπ－eq \f(π,2)－α(k∈Z)，
那么csθ=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2kπ－\f(π,2)－α))=cseq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)＋α))=－sinα=－eq \f(5,13)，故选B.
答案为：C；
解析：tan2α=eq \f(2tanα,1－tan2α)=－2eq \r(2)，整理可得eq \r(2)tan2α－tanα－eq \r(2)=0，
解得tanα=－eq \f(\r(2),2)或tanα=eq \r(2).因为eq \f(π,4)＜α＜eq \f(π,2)，所以tanα=eq \r(2).
则eq \f(2cs2\f(α,2)－sinα－1,\r(2)sin\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)＋α)))=eq \f(csα－sinα,\r(2)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(sin\f(π,4)csα＋cs\f(π,4)sinα)))
=eq \f(csα－sinα,csα＋sinα)=eq \f(\f(csα－sinα,csα),\f(csα＋sinα,csα))=eq \f(1－tanα,1＋tanα)=eq \f(1－\r(2),1＋\r(2))=2eq \r(2)－3.故选C.
答案为：eq \f(7,8).
解析：由sinα＋csα=eq \f(\r(5),2)，得sin2α＋cs2α＋2sinαcsα=1＋sin2α=eq \f(5,4)，
所以sin2α=eq \f(1,4)，从而cs4α=1－2sin22α=1－2×(eq \f(1,4))2=eq \f(7,8).
答案为：eq \f(4,3).
解析：∵eq \f(sin α＋cs α,sin α－cs α)=eq \f(tan α＋1,tan α－1)=3，∴tan α=2.
∵tan(α－β)=2，∴tan(β－2α)=tan[(β－α)－α]=－tan[(α－β)＋α]
=－eq \f(tanα－β＋tan α,1－tanα－β·tan α)=eq \f(4,3).
答案为：－4eq \r(3).
解析：原式=eq \f(\f(\r(3)sin 12°－3cs 12°,cs 12°),2cs 24°sin 12°)=eq \f(2\r(3)\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,2)sin 12°－\f(\r(3),2)cs 12°)),cs 24°sin 24°)
=eq \f(4\r(3)sin12°－60°,sin 48°)=－4eq \r(3).
答案为：0.
解析：∵tanα＋eq \f(1,tanα)=eq \f(10,3)，∴(tanα－3)·(3tanα－1)=0，
∴tanα=3或eq \f(1,3).∵α∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,4)，\f(π,2)))，∴tanα>1，∴tanα=3，
sineq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(2α＋\f(π,4)))＋2cseq \f(π,4)cs2α=eq \f(\r(2),2)sin2α＋eq \f(\r(2),2)cs2α＋eq \f(\r(2)1＋cs2α,2)
=eq \f(\r(2),2)(sin2α＋2cs2α＋1)=eq \f(\r(2),2)eq \f(2tanα,1＋tan2α)＋2eq \f(1－tan2α,1＋tan2α)＋1=eq \f(\r(2),2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(6,10)－\f(16,10)＋1))=0.