2022版高考数学大一轮复习作业本22《正弦定理、余弦定理》(含答案详解)

这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本22《正弦定理、余弦定理》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。

一、选择题
在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，且b2=a2＋bc，A=eq \f(π,6)，则角C=( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,6)或eq \f(3π,4) D.eq \f(π,4)或eq \f(3π,4)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b2＋c2－a2=eq \r(3)bc，且b=eq \r(3)a，
则下列关系一定不成立的是( )
A.a=c B.b=c C.2a=c D.a2＋b2=c2
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若A=60°，b=1，S△ABC=eq \r(3)，则c=( )
A.1 B.2 C.3 D.4
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若eq \f(c,b)＜cs A，则△ABC为( )
A.钝角三角形 B.直角三角形 C.锐角三角形 D.等边三角形
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若a=eq \r(7)，b=3，c=2，则A=( )
A.eq \f(π,6) B.eq \f(π,4) C.eq \f(π,3) D.eq \f(π,2)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若(a2＋b2－c2)tan C=ab，则角C的大小为( )
A.eq \f(π,6)或eq \f(5π,6) B.eq \f(π,3)或eq \f(2π,2) C.eq \f(π,6) D.eq \f(2π,3)
在△ABC中，内角A，B，C的对边分别是a，b，c.若a2－b2=eq \r(3)bc，sin C=2eq \r(3)sin B，
则A=( )
A.150° B.120° C.60° D.30°
一名学生在河岸上紧靠河边笔直行走，某时刻测得河对岸靠近河边处的参照物与学生前进方向成30°角，前进200 m后，测得该参照物与前进方向成75°角，则河的宽度为( )
A.50(eq \r(3)＋1) m B.100(eq \r(3)＋1) m C.50eq \r(2) m D.100eq \r(2) m
在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，若a，b，c成等比数列，且a2=c2＋ac－bc，则eq \f(c,bsinB)=( )
A.eq \f(\r(3),2) B.eq \f(2\r(3),3) C.eq \f(\r(3),3) D.eq \r(3)
△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.若△ABC的面积为eq \f(a2＋b2－c2,4)，则C=( )
A.eq \f(π,2) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c.已知b=c，a2=2b2(1－sin A)，则A=( )
A.eq \f(3π,4) B.eq \f(π,3) C.eq \f(π,4) D.eq \f(π,6)
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若bc=1，b＋2ccsA=0，
则当角B取得最大值时，△ABC的周长为( )
A.2＋eq \r(3) B.2＋eq \r(2) C.3 D.3＋eq \r(2)
二、填空题
在△ABC中，角A，B，C所对边分别是a，b，c.若b2＋c2=2a2，则cs A最小值为_____.
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若角A，B，C依次成等差数列，且a=1，b=eq \r(3)，则S△ABC=________.
若△ABC的面积为eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)，且∠C为钝角，则∠B= ；eq \f(c,a)取值范围是 .
在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，∠ABC=120°，∠ABC的平分线交AC于点D，且BD=1，则4a＋c的最小值为 .
\s 0 参考答案
答案为：B
解析：在△ABC中，由余弦定理得cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，即eq \f(\r(3),2)=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)，
所以b2＋c2－a2=eq \r(3)bc.又b2=a2＋bc，所以c2＋bc=eq \r(3)bc，即c=(eq \r(3)－1)b＜b，
则a=eq \r(2－\r(3))b，所以cs C=eq \f(b2＋a2－c2,2ab)=eq \f(\r(2),2)，解得C=eq \f(π,4).故选B.
答案为：B
解析：由余弦定理，得cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(\r(3)bc,2bc)=eq \f(\r(3),2)，则A=30°.又b=eq \r(3)a，
由正弦定理得sin B=eq \r(3)sin A=eq \r(3)sin 30°=eq \f(\r(3),2)，所以B=60°或120°.
当B=60°时，△ABC为直角三角形，且2a=c，可知C，D成立；
当B=120°时，C=30°，所以A=C，即a=c，可知A成立.故选B.
答案为：D
解析：∵S△ABC=eq \f(1,2)bcsin A，∴eq \r(3)=eq \f(1,2)×1×c×eq \f(\r(3),2)，∴c=4.
答案为：A
解析：根据正弦定理得eq \f(c,b)=eq \f(sinC,sinB)＜cs A，
即sin C＜sin Bcs A，∵A＋B＋C=π，
∴sin C=sin(A＋B)＜sin Bcs A，整理得sin Acs B＜0.
又在三角形中sin A＞0，
∴cs B＜0，∴eq \f(π,2)＜B＜π.∴△ABC为钝角三角形.
答案为：C
解析：∵cs A=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(32＋22－\r(7)2,2×3×2)=eq \f(1,2)，且A∈eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(0，π))，∴A=eq \f(π,3).故选C.
答案为：A
解析：由题意知，eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=eq \f(1,2tan C)⇒cs C=eq \f(cs C,2sin C)，∴sin C=eq \f(1,2).又C∈(0，π)，
∴C=eq \f(π,6)或eq \f(5π,6).故选A.
答案为：D
解析：由a2－b2=eq \r(3)bc，得sin2A－sin2B=eq \r(3)sin B·sin C，
∵sin C=2 eq \r(3)sin B，∴sin A=eq \r(7)sin B，∴c=2 eq \r(3)b，a=eq \r(7)b，
由余弦定理得csA=eq \f(12b2＋b2－7b2,2×2 \r(3)b×b)=eq \f(\r(3),2)，∴A=30°.故选D.
答案为：A.
解析：如图所示，在△ABC中，∠BAC=30°，∠ACB=75°－30°=45°，AB=200 m，
由正弦定理，得BC=eq \f(200×sin30°,sin45°)=100eq \r(2)(m)，
所以河的宽度为BCsin75°=100eq \r(2)×eq \f(\r(2)＋\r(6),4)=50(eq \r(3)＋1)(m).
答案为：B.
解析：由a，b，c成等比数列得b2=ac，则有a2=c2＋b2－bc，
由余弦定理得csA=eq \f(b2＋c2－a2,2bc)=eq \f(bc,2bc)=eq \f(1,2)，故A=eq \f(π,3)，对于b2=ac，由正弦定理得，
sin2B=sinAsinC=eq \f(\r(3),2)·sinC，由正弦定理得，eq \f(c,bsinB)=eq \f(sinC,sin2B)=eq \f(sinC,\f(\r(3),2)sinC)=eq \f(2\r(3),3).故选B.
答案为：C.
解析：根据题意及三角形的面积公式知eq \f(1,2)absinC=eq \f(a2＋b2－c2,4)，
所以sinC=eq \f(a2＋b2－c2,2ab)=csC，所以在△ABC中，C=eq \f(π,4).
答案为：C
解析：∵b=c，∴B=C.
又由A＋B＋C=π得B=eq \f(π,2)－eq \f(A,2).由正弦定理及a2=2b2(1－sin A)得sin2A=2sin2B·(1－sin A)，即sin2A=2sin2eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(π,2)－\f(A,2)))(1－sin A)，即sin2A=2cs2eq \f(A,2)(1－sin A)，
即4sin2eq \f(A,2)cs2eq \f(A,2)=2cs2eq \f(A,2)(1－sin A)，
整理得cs2eq \f(A,2)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(1－sin A－2sin2\f(A,2)))=0，即cs2eq \f(A,2)(cs A－sin A)=0.
∵0＜A＜π，∴0＜eq \f(A,2)＜eq \f(π,2)，∴cseq \f(A,2)≠0，
∴cs A=sin A.又0＜A＜π，∴A=eq \f(π,4).
答案为：A.
解析：由题意可得，sinB＋2sinCcsA=0，即sin(A＋C)＋2sinCcsA=0，
得sinAcsC=－3sinCcsA，即tanA=－3tanC.
又csA=－eq \f(b,2c)<0，所以A为钝角，于是tanC>0.
从而tanB=－tan(A＋C)=－eq \f(tanA＋tanC,1－tanAtanC)=eq \f(2tanC,1＋3tan2C)=eq \f(2,\f(1,tanC)＋3tanC)，
由基本不等式，得eq \f(1,tanC)＋3tanC≥2eq \r(\f(1,tanC)×3tanC)=2eq \r(3)，当且仅当tanC=eq \f(\r(3),3)时等号成立，此时角B取得最大值，且tanB=tanC=eq \f(\r(3),3)，tanA=－eq \r(3)，即b=c，A=120°，
又bc=1，所以b=c=1，a=eq \r(3)，故△ABC的周长为2＋eq \r(3).
答案为：eq \f(1,2).
解析：因为b2＋c2=2a2，则由余弦定理可得a2=2bccs A，
所以cs A=eq \f(a2,2bc)=eq \f(1,2)×eq \f(b2＋c2,2bc)≥eq \f(1,2)×eq \f(2bc,2bc)=eq \f(1,2)(当且仅当b=c时等号成立)，即cs A的最小值为eq \f(1,2).
答案为：eq \f(\r(3),2).
解析：因为角A，B，C依次成等差数列，所以B=60°.由正弦定理，
得eq \f(1,sin A)=eq \f(\r(3),sin 60°)，解得sin A=eq \f(1,2).因为0°＜A＜180°，
所以A=30°或150°(舍去)，此时C=90°，所以S△ABC=eq \f(1,2)ab=eq \f(\r(3),2).
答案为：60°，(2，＋∞).
解析：△ABC的面积S=eq \f(1,2)acsinB=eq \f(\r(3),4)(a2＋c2－b2)=eq \f(\r(3),4)×2accsB，所以tanB=eq \r(3)，
因为0°<∠B<180°，所以∠B=60°.因为∠C为钝角，所以0°<∠A<30°，
所以02，
故eq \f(c,a)的取值范围为(2，＋∞).
答案为：9；
解析：依题意画出图形，如图所示.
易知S△ABD＋S△BCD=S△ABC，即eq \f(1,2)csin60°＋eq \f(1,2)asin60°=eq \f(1,2)acsin120°，
∴a＋c=ac，∴eq \f(1,a)＋eq \f(1,c)=1，∴4a＋c=(4a＋c)eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\c1(\f(1,a)＋\f(1,c)))=5＋eq \f(c,a)＋eq \f(4a,c)≥9，
当且仅当eq \f(c,a)=eq \f(4a,c)，即a=eq \f(3,2)，c=3时取“=”.