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2022版高考数学大一轮复习作业本37《空间点、线、面的位置关系》(含答案详解)
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这是一份2022版高考数学大一轮复习作业本37《空间点、线、面的位置关系》(含答案详解)，共5页。试卷主要包含了选择题，填空题等内容，欢迎下载使用。
一、选择题
若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足( )
A.a∥β且b∥β B.a⊂β且b∥β
C.a⊥β且b⊥β D.a⊂β且b⊥β
给出下列三个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为( )
A.平行 B.相交 C.平行或重合 D.平行或相交
已知在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
已知a，b，c是相异直线，α，β，γ是相异平面，则下列命题中正确的是( )
A.a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B.a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C.α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D.a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交
下列四个命题中错误的是( )
A.若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面
B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面
已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定( )
A.与a，b都相交
B.只能与a，b中的一条相交
C.至少与a，b中的一条相交
D.与a，b都平行
在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(14),7) B.eq \f(5,7) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(2\r(5),5)
空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )
A.6eq \r(2) B.12 C.12eq \r(2) D.24eq \r(2)
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=eq \f(\r(2),2)，则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BF
B.三棱锥A－BEF的体积为定值
C.EF∥平面ABCD
D.直线AE与BF所成的角为定值
已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3)
二、填空题
在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA中点，则异面直线MN和CD所成角的余弦值为 .
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是 (填序号).
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥EABC的体积为定值；
④直线B1E⊥直线BC1.
在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD=2，AA1=eq \r(3)，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC=eq \r(2)QP，则线段BQ的长度的最大值为 .
\s 0 参考答案
答案为：B
解析：A中，β有无数个；由C可得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾；由D可得a⊥b，但a，b不一定异面.故选B.
答案为：D
解析：取正方体交于同一顶点的三条棱l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，但l1⊥l3，故l1∥l3不一定成立，故①是假命题；取正方体交于同一顶点的三个平面α，β，γ，满足α⊥β，α⊥γ，但β⊥γ，故β∥γ不一定成立，故②是假命题；在异面直线l1上取一点A，在l2上取两点B，C，则直线AB，AC与l1，l2都相交，但AB，AC相交，不是异面直线，故③是假命题.
答案为：D
解析：当两个平面平行时，平面α上存在无数多个点到平面β的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面β的距离相等且不为零.故选D.
答案为：C
解析：因为ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB，共5对.
答案为：C
解析：如图1，在正方体中，a，b，c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c=A，故A错误；在图2的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图3，α∩β=c，a∥c，则a与b不相交，故D错误.
答案为：C
解析：过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确.
答案为：B
解析：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错；显然③成立.故选答案为：B.
答案为：C.
解析：如果c与a、b都平行，那么由平行线的传递性知a、b平行，与异面矛盾.故选C.
答案为：D.
解析：如图，过点E作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，连接NE，D1G，
所以平面EMN∥平面ABCD，易知EG∥BF，所以异面直线BF与D1E的夹角为∠D1EG，
不妨设正方体的棱长为2，则GE=eq \r(5)，D1G=eq \r(2)，D1E=3，
在△D1EG中，cs∠D1EG=eq \f(D1E2＋GE2－D1G2,2D1E·GE)=eq \f(2\r(5),5)，故选D.
答案为：A.
解析：如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC=6，BD=8，
易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角，
大小为45°，故S四边形EFGH=3×4×sin45°=6eq \r(2).故选A.
答案为：D
解析：选项A中，如图，连接BD，∴AC⊥BD.又AC⊥BB1，BD∩BB1=B，
∴AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF.故A正确；
选项B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴点A到平面BEF的距离不变.
∵EF=eq \f(\r(2),2)，点B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，
∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确；
选项C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；
选项D中，异面直线AE与BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，
令上底面的中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，
当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，
显然∠A1AO与∠OBC1不相等，故异面直线AE与BF所成的角不为定值，故D错误.故选D.
答案为：B
解析：画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.
设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角，△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，易得CE=eq \r(3)，同理可得CF=eq \r(3)，故CE=CF.
因为OE=OF，所以CO⊥EF.又EO=eq \f(1,2)EF=eq \f(1,4)BD=eq \f(1,2)，所以cs∠FEC=eq \f(EO,CE)=eq \f(\f(1,2),\r(3))=eq \f(\r(3),6).
答案为：eq \f(\r(2),2).
解析：取AC的中点E，连接NE，ME，由E，N分别为AC，AD的中点，知NE∥CD，
故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角，即∠MNE.设正四面体的棱长为2，
可得NE=1，ME=1，MN=eq \r(2)，故cs∠MNE=eq \f(NE2＋MN2－ME2,2NE·MN)=eq \f(\r(2),2).
答案为：4
解析：取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，
所以CD⊥平面EFH.所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左、右两侧面平行，
则EF也与之平行，与其余四个平面相交.
答案为：①②③.
解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；
记正方体的体积为V，则VEABC=eq \f(1,6)V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误.
答案为：6.
解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则P(1,0，eq \r(3))，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，
因为QC=eq \r(2)QP，所以eq \r(x2＋y－22)=eq \r(2)eq \r(x－12＋y2＋3)⇒(x－2)2＋(y＋2)2=4，
所以(y＋2)2=4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0，
BQ=eq \r(x－22＋y－22)=eq \r(4－y＋22＋y－22)=eq \r(4－8y)，
根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，
所以2≤BQ≤6，故线段BQ的长度的最大值为6.
一、选择题
若a，b是两条异面直线，则存在唯一确定的平面β，满足( )
A.a∥β且b∥β B.a⊂β且b∥β
C.a⊥β且b⊥β D.a⊂β且b⊥β
给出下列三个命题：
①垂直于同一直线的两条直线互相平行；
②垂直于同一平面的两个平面互相平行；
③若直线l1，l2是异面直线，则与l1，l2都相交的两条直线是异面直线.
其中假命题的个数是( )
A.0 B.1 C.2 D.3
若平面α上存在不同的三点到平面β的距离相等且不为零，则平面α与平面β的位置关系为( )
A.平行 B.相交 C.平行或重合 D.平行或相交
已知在四棱锥P－ABCD中，ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，则在四棱锥P－ABCD的任意两个顶点的连线中，互相垂直的异面直线共有( )
A.3对 B.4对 C.5对 D.6对
已知a，b，c是相异直线，α，β，γ是相异平面，则下列命题中正确的是( )
A.a与b异面，b与c异面⇒a与c异面
B.a与b相交，b与c相交⇒a与c相交
C.α∥β，β∥γ⇒α∥γ
D.a⊂α，b⊂β，α与β相交⇒a与b相交
下列四个命题中错误的是( )
A.若直线a，b互相平行，则直线a，b确定一个平面
B.若四点不共面，则这四点中任意三点都不共线
C.若两条直线没有公共点，则这两条直线是异面直线
D.两条异面直线不可能垂直于同一个平面
已知a，b，c为三条不重合的直线，已知下列结论：
①若a⊥b，a⊥c，则b∥c；
②若a⊥b，a⊥c，则b⊥c；
③若a∥b，b⊥c，则a⊥c.
其中正确的个数为( )
A.0 B.1 C.2 D.3
已知异面直线a，b分别在平面α，β内，且α∩β=c，那么直线c一定( )
A.与a，b都相交
B.只能与a，b中的一条相交
C.至少与a，b中的一条相交
D.与a，b都平行
在如图所示的正方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别是棱B1B，AD的中点，异面直线BF与D1E所成角的余弦值为( )
A.eq \f(\r(14),7) B.eq \f(5,7) C.eq \f(\r(10),5) D.eq \f(2\r(5),5)
空间四边形两对角线的长分别为6和8，所成的角为45°，连接各边中点所得四边形的面积是( )
A.6eq \r(2) B.12 C.12eq \r(2) D.24eq \r(2)
如图所示，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E，F是线段B1D1上的两个动点，且EF=eq \f(\r(2),2)，则下列结论中错误的是( )
A.AC⊥BF
B.三棱锥A－BEF的体积为定值
C.EF∥平面ABCD
D.直线AE与BF所成的角为定值
已知正四面体ABCD中，E是AB的中点，则异面直线CE与BD所成角的余弦值为( )
A.eq \f(1,6) B.eq \f(\r(3),6) C.eq \f(1,3) D.eq \f(\r(3),3)
二、填空题
在正四面体ABCD中，M，N分别是BC和DA中点，则异面直线MN和CD所成角的余弦值为 .
如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面α上，且AB∥CD，则直线EF与正方体的六个面所在的平面相交的平面个数为________.
正方体ABCDA1B1C1D1中，E为线段B1D1上的一个动点，则下列结论中正确的是 (填序号).
①AC⊥BE；
②B1E∥平面ABCD；
③三棱锥EABC的体积为定值；
④直线B1E⊥直线BC1.
在长方体ABCDA1B1C1D1中，已知底面ABCD为正方形，P为A1D1的中点，AD=2，AA1=eq \r(3)，点Q是正方形ABCD所在平面内的一个动点，且QC=eq \r(2)QP，则线段BQ的长度的最大值为 .
\s 0 参考答案
答案为：B
解析：A中，β有无数个；由C可得a∥b，与a，b是两条异面直线矛盾；由D可得a⊥b，但a，b不一定异面.故选B.
答案为：D
解析：取正方体交于同一顶点的三条棱l1，l2，l3，满足l1⊥l2，l2⊥l3，但l1⊥l3，故l1∥l3不一定成立，故①是假命题；取正方体交于同一顶点的三个平面α，β，γ，满足α⊥β，α⊥γ，但β⊥γ，故β∥γ不一定成立，故②是假命题；在异面直线l1上取一点A，在l2上取两点B，C，则直线AB，AC与l1，l2都相交，但AB，AC相交，不是异面直线，故③是假命题.
答案为：D
解析：当两个平面平行时，平面α上存在无数多个点到平面β的距离相等且不为零，满足题意；当两个平面相交时，可以从交线的两侧去找三个点到平面β的距离相等且不为零.故选D.
答案为：C
解析：因为ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC，PA⊥CD，AB⊥PD，BD⊥PA，AD⊥PB，共5对.
答案为：C
解析：如图1，在正方体中，a，b，c是三条棱所在直线，满足a与b异面，b与c异面，但a∩c=A，故A错误；在图2的正方体中，满足a与b相交，b与c相交，但a与c不相交，故B错误；如图3，α∩β=c，a∥c，则a与b不相交，故D错误.
答案为：C
解析：过两条平行直线，有且只有一个平面，A正确；如果四点中存在三点共线，则四点共面，B正确；两条直线没有公共点，这两条直线可能平行，也可能异面，C错误；垂直于同一个平面的两条直线平行，这样的两条直线共面，D正确.
答案为：B
解析：在空间中，若a⊥b，a⊥c，则b，c可能平行，也可能相交，还可能异面，所以①②错；显然③成立.故选答案为：B.
答案为：C.
解析：如果c与a、b都平行，那么由平行线的传递性知a、b平行，与异面矛盾.故选C.
答案为：D.
解析：如图，过点E作EM∥AB，过M点作MN∥AD，取MN的中点G，连接NE，D1G，
所以平面EMN∥平面ABCD，易知EG∥BF，所以异面直线BF与D1E的夹角为∠D1EG，
不妨设正方体的棱长为2，则GE=eq \r(5)，D1G=eq \r(2)，D1E=3，
在△D1EG中，cs∠D1EG=eq \f(D1E2＋GE2－D1G2,2D1E·GE)=eq \f(2\r(5),5)，故选D.
答案为：A.
解析：如图，已知空间四边形ABCD，对角线AC=6，BD=8，
易证四边形EFGH为平行四边形，∠EFG或∠FGH为AC与BD所成的角，
大小为45°，故S四边形EFGH=3×4×sin45°=6eq \r(2).故选A.
答案为：D
解析：选项A中，如图，连接BD，∴AC⊥BD.又AC⊥BB1，BD∩BB1=B，
∴AC⊥平面BDD1B1.∵BF⊂平面BDD1B1，∴AC⊥BF.故A正确；
选项B中，∵AC⊥平面BDD1B1，∴点A到平面BEF的距离不变.
∵EF=eq \f(\r(2),2)，点B到EF的距离为1，∴△BEF的面积不变，
∴三棱锥A－BEF的体积为定值，故B正确；
选项C中，∵EF∥BD，BD⊂平面ABCD，EF⊄平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，故C正确；
选项D中，异面直线AE与BF所成的角不为定值，由图知，当F与B1重合时，
令上底面的中心为O，则此时两异面直线所成的角是∠A1AO，
当E与D1重合时，此时点F与O重合，则两异面直线所成的角是∠OBC1，
显然∠A1AO与∠OBC1不相等，故异面直线AE与BF所成的角不为定值，故D错误.故选D.
答案为：B
解析：画出正四面体ABCD的直观图，如图所示.
设其棱长为2，取AD的中点F，连接EF，设EF的中点为O，连接CO，则EF∥BD，
则∠FEC就是异面直线CE与BD所成的角，△ABC为等边三角形，则CE⊥AB，易得CE=eq \r(3)，同理可得CF=eq \r(3)，故CE=CF.
因为OE=OF，所以CO⊥EF.又EO=eq \f(1,2)EF=eq \f(1,4)BD=eq \f(1,2)，所以cs∠FEC=eq \f(EO,CE)=eq \f(\f(1,2),\r(3))=eq \f(\r(3),6).
答案为：eq \f(\r(2),2).
解析：取AC的中点E，连接NE，ME，由E，N分别为AC，AD的中点，知NE∥CD，
故MN与CD所成的角即MN与NE的夹角，即∠MNE.设正四面体的棱长为2，
可得NE=1，ME=1，MN=eq \r(2)，故cs∠MNE=eq \f(NE2＋MN2－ME2,2NE·MN)=eq \f(\r(2),2).
答案为：4
解析：取CD的中点H，连接EH，FH.在正四面体CDEF中，由于CD⊥EH，CD⊥HF，
所以CD⊥平面EFH.所以AB⊥平面EFH，则平面EFH与正方体的左、右两侧面平行，
则EF也与之平行，与其余四个平面相交.
答案为：①②③.
解析：因AC⊥平面BDD1B1，故①正确；因B1D1∥平面ABCD，故②正确；
记正方体的体积为V，则VEABC=eq \f(1,6)V，为定值，故③正确；B1E与BC1不垂直，故④错误.
答案为：6.
解析：以D为坐标原点，分别以DA，DC，DD1所在直线为x轴、y轴、z轴，
建立空间直角坐标系，则P(1,0，eq \r(3))，C(0,2,0)，B(2,2,0)，Q(x，y,0)，
因为QC=eq \r(2)QP，所以eq \r(x2＋y－22)=eq \r(2)eq \r(x－12＋y2＋3)⇒(x－2)2＋(y＋2)2=4，
所以(y＋2)2=4－(x－2)2≤4⇒|y＋2|≤2⇒－4≤y≤0，
BQ=eq \r(x－22＋y－22)=eq \r(4－y＋22＋y－22)=eq \r(4－8y)，
根据－4≤y≤0可得4≤4－8y≤36，
所以2≤BQ≤6，故线段BQ的长度的最大值为6.
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