高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质教学课件ppt

这是一份高中数学人教A版 (2019)必修 第二册6.3 平面向量基本定理及坐标表示优质教学课件ppt，共33页。PPT课件主要包含了学习目标，内容索引，知识梳理，题型探究，随堂演练，求两向量的数量积，与垂直有关的问题等内容，欢迎下载使用。

XUE XI MU BIAO
1.了解向量数量积的物理背景，即物体在力F的作用下产生位移s所做的功.2.掌握向量数量积的定义及投影向量.3.会用两个向量的数量积求两个向量的夹角以及判断两个向量是否垂直.4.掌握向量数量积的运算律及常用的公式.
NEI RONG SUO YIN
1.夹角：已知两个 a和b，O是平面上的任意一点，作 ＝a， ＝b，则 ＝θ(0≤θ≤π)叫做向量a与b的夹角(如图所示).
知识点一　两向量的夹角与垂直
当θ＝0时，a与b ；当θ＝π时，a与b .2.垂直：如果a与b的夹角是 ，则称a与b垂直，记作a⊥b.
非零向量a，b的夹角为θ，数量 叫做向量a与b的数量积(或内积)，记作a·b，即a·b＝ ，规定：零向量与任一向量的数量积等于 .
知识点二　向量数量积的定义
思考　若a≠0，且a·b＝0，是否能推出b＝0.答案　在实数中，若a≠0，且a·b＝0，则b＝0；但是在数量积中，若a≠0，且a·b＝0，不能推出b＝0.因为其中a有可能垂直于b.
知识点四　平面向量数量积的性质
设向量a与b都是非零向量，它们的夹角为θ，e是与b方向相同的单位向量.则(1)a·e＝e·a＝|a|·cs θ.(2)a⊥b⇔a·b＝0.(3)当a∥b时，a·b＝特别地，a·a＝ 或|a|＝ .(4)|a·b| |a||b|.
，a与b同向， ，a与b反向.
知识点五　平面向量数量积的运算律
1.a·b＝ (交换律).2.(λa)·b＝ ＝ (数乘结合律).3.(a＋b)·c＝ (分配律).
思考　若a·b＝b·c，是否可以得出结论a＝c?答案　不可以.已知实数a，b，c(b≠0)，则ab＝bc⇒a＝c，但是a·b＝b·c推不出a＝c.理由如下：如图，a·b＝|a||b|cs β＝|b||OA|，
b·c＝|b||c|cs α＝|b||OA|.所以a·b＝b·c，但是a≠c.
SI KAO BIAN XI PAN DUAN ZHENG WU
1.向量a在向量b上的投影向量一定与b共线.(　　)2.若a·b<0，则a与b的夹角为钝角.(　　)3.向量的数量积运算满足(a·b)·c＝a·(b·c).(　　)4.已知a≠0，且a·c＝a·b，则b＝c.(　　)
例1　已知正三角形ABC的边长为1，求：
求平面向量数量积的方法计算数量积的关键是正确确定两个向量的夹角，条件是两向量的始点必须重合，否则，要通过平移使两向量符合以上条件.
跟踪训练1　已知|a|＝4，|b|＝7，且向量a与b的夹角为120°，求(2a＋3b)·(3a－2b).
解　(2a＋3b)·(3a－2b)＝6a2－4a·b＋9b·a－6b2＝6|a|2＋5a·b－6|b|2＝6×42＋5×4×7·cs 120°－6×72＝－268.
二、向量的模和夹角的计算问题
例2　(1)已知向量a，b的夹角为60°，|a|＝2，|b|＝1，则|a＋2b|＝_____.
方法二　(数形结合法)
由|a|＝|2b|＝2知，以a与2b为邻边可作出边长为2的菱形OACB，如图，则|a＋2b|＝ .
(2)已知非零向量a，b满足|a|＝1，且(a－b)·(a＋b)＝ .①求|b|；
②当a·b＝－ 时，求向量a与a＋2b的夹角θ的值.
解　因为|a＋2b|2＝|a|2＋4a·b＋|2b|2＝1－1＋1＝1，故|a＋2b|＝1.
(1)求解向量模的问题就是要灵活应用a2＝|a|2，即|a|＝ ，勿忘记开方.(2)求向量的夹角，主要是利用公式cs θ＝ 求出夹角的余弦值，从而求得夹角.可以直接求出a·b的值及|a|，|b|的值，然后代入求解，也可以寻找|a|，|b|，a·b三者之间的关系，然后代入求解.
跟踪训练2　已知|a|＝|b|＝2，(a＋2b)·(a－b)＝－2，求a与b的夹角.
解　∵(a＋2b)·(a－b)＝|a|2－2|b|2＋a·b＝－2.|a|＝|b|＝2，∴a·b＝2，
因为n·(tm＋n)＝0，
解决有关垂直问题时利用a⊥b⇔a·b＝0(a，b为非零向量).
跟踪训练3　已知向量a，b，且|a|＝1，|b|＝2，(a＋2b)⊥(3a－b)，求向量a与b夹角的大小.
解　设a与b的夹角为θ，由已知得(a＋2b)·(3a－b)＝3a2＋5a·b－2b2＝3＋10cs θ－8＝0，
所以θ＝60°，即a与b的夹角为60°.
1.对于任意向量a，b，c，下列命题中正确的是A.|a·b|＝|a||b|B.|a＋b|＝|a|＋|b|C.(a·b)c＝a(b·c) D.|a|＝
解析　因为a·b＝|a||b|cs θ(θ为a，b夹角)，所以|a·b|≤|a||b|，所以A错误；根据向量加法的平行四边形法则，|a＋b|≤|a|＋|b|，只有当a，b同向时取“＝”，所以B错误；因为(a·b)c是向量，其方向与向量c相同，a(b·c)是向量，其方向与向量a的方向相同，所以C错误；因为a·a＝|a||a|cs 0＝|a|2，
2.(多选)已知两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则下列结论正确的是A.e1在e2方向上的投影向量为cs θe2B.C.(e1＋e2)⊥(e1－e2)D.e1·e2＝1
解析　因为两个单位向量e1，e2的夹角为θ，则|e1|＝|e2|＝1，则e1在e2方向上的投影向量为|e1|cs θe2＝cs θe2，故A正确；
故(e1＋e2)⊥(e1－e2)，故C正确；
e1·e2＝|e1||e2|cs θ＝cs θ，故D错误.
3.设e1和e2是互相垂直的单位向量，且a＝3e1＋2e2，b＝－3e1＋4e2，则a·b等于A.－2 B.－1 C.1 D.2
解析　因为|e1|＝|e2|＝1，e1·e2＝0，所以a·b＝(3e1＋2e2)·(－3e1＋4e2)＝－9|e1|2＋8|e2|2＋6e1·e2＝－9×12＋8×12＋6×0＝－1.
4.已知向量a，b满足|a|＝2，|b|＝1，a·b＝1，则向量a与a－b的夹角为____.
设向量a与a－b的夹角为θ，
5.已知|a|＝3，|b|＝5，且a·b＝12，与b同向的单位向量为e，则向量a在向量b的方向上的投影向量为_____.
解析　设a与b的夹角为θ，因为a·b＝|a||b|cs θ＝12，
1.知识清单：(1)向量数量积的定义.(2)向量数量积的性质.(3)投影向量.(4)向量数量积的运算律.2.方法归纳：数形结合.3.常见误区：忽视向量数量积不满足结合律；向量夹角共起点；a·b>0⇏两向量夹角为锐角，a·b<0⇏两向量夹角为钝角.
KE TANG XIAO JIE