暑假作业十一（奇偶性）-（新高一）数学

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函数的奇偶性
奇、偶函数定义域的特点是关于原点对称，函数的定义域关于原点对称是函数具有奇偶性的必要不充分条件
函数奇偶性常用结论
(1)如果函数f(x)是偶函数，那么f(x)＝f(|x|)．
(2)奇函数在两个对称的区间上具有相同的单调性，偶函数在两个对称的区间上具有相反的单调性．
(3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇．
每日一练
一、单选题
1．高斯是德国著名的数学家，近代数学奠基者之一，享有“数学王子”的称号.设，用表示不超过的最大整数，则称为高斯函数.例如：，.已知函数，则函数的值域为（ ）
A．B．C．D．
2．已知函数满足，且对任意的，都有，则满足不等式的的取值范围是（ ）
A．B．C．D．
3．下列函数中，既是偶函数，又在上单调递增的是（ ）
A．B．C．D．
4．定义在R上的偶函数在上单调递增，且，则不等式的解集为（ ）
A．B．
C．D．
5．设是定义域为R的奇函数，且.若，则（ ）
A．B．C．D．
6．设函数，则下列函数中为奇函数的是（ ）
A．B．C．D．
7．下面四个函数中既为奇函数，又在定义域上单调递减的是（ ）
A．B．C．D．
8．已知偶函数y=f(x)在区间上是减函数，则下列不等式一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
二、多选题
9．函数是定义在上的奇函数，当时，，则下列结论正确的是（ ）
A．当时，
B．关于的不等式的解集为
C．关于的方程有三个实数解
D．、，
10．(多选题)已知函数f(x)的定义域为R，对任意实数x，y满足f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋，且f＝0，当x>时，f(x)>0，则以下结论正确的是（ ）
A．f(0)＝－，f(－1)＝－ B．f(x)为R上的减函数
C．f(x)＋为奇函数 D．f(x)＋1为偶函数
11．下列函数既是偶函数，在上又是增函数的是（ ）
A．B．C．D．
12．下列函数中，在其定义域内既是奇函数又是减函数的是（ ）
A．B．C．D．
三、填空题
13．函数是定义在上的奇函数，当时，，则______．
14．已知二次函数的图像经过点，且函数是偶函数，则函数的解析式为___________.
15．已知函数是偶函数，则______.
16．写出一个单调递减的奇函数______．
四、解答题
17．已知函数是定义在上的奇函数，且．
（1）确定函数的解析式；
（2）用定义证明在上是增函数：
（3）解关于x的不等式．
18．已知函数是上的奇函数，当时，．
（1）当时，求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围．
19．已知是定义在上的偶函数，且当时，.
（1）求的解析式；
（2）若，求实数的取值范围.
20．判断下列函数的奇偶性.
（1）；
（2）f(x)=
（3）f(x)=x2-|x-a|+2.
已知是定义在上的奇函数．当时， ，求不等式的解集．
22．函数是定义在R上的偶函数，当时，．
（1）求函数在的解析式；
（2）当时，若，求实数m的值．
奇偶性
定义
图象特点
偶函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)是偶函数
关于y轴对称
奇函数
如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x，都有f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)是奇函数
关于原点对称
参考答案
1．B因为，，所以是上的奇函数.当时，，所以当时，，从而的值域为.
2．A根据题意可知，可转化为，
所以在[0，+∞)上是增函数，又，所以为奇函数，所以在R上为增函数，因为，，所以，所以，解得，
即x的取值范围是.
3．C对于A：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故A错误；
对于B：的定义域为，关于原点对称，因为，所以为奇函数，故B错误；
对于C：的定义域为R，关于原点对称，因为，所以为偶函数；当时，为增函数，故C正确；
对于D：的定义域为R，关于原点对称，但是，而，所以，所以为非奇非偶函数，故D错误.
4．C义在R上的偶函数在上单调递增，且，所以在上单调递减，且，或，故或，
5．C由题意可得：，而，故.
6．B由题意可得，对于A，不是奇函数；
对于B，是奇函数；对于C，，定义域不关于原点对称，不是奇函数；对于D，，定义域不关于原点对称，不是奇函数.
7．DA选项，是奇函数，在定义域单调递增；B选项，是奇函数，在和单调递减，但在其定义域并不单调；C选项，既不是奇函数也不是偶函数，在其定义域单调递减；D选项，是奇函数，且满足定义域上单调递减.
8．D因为偶函数y=f(x)在区间(﹣∞，0]上是减函数，所以f(x)在(0，+∞)上是增函数，
对于A，f(﹣3)=f（3），0<2<3，所以f（2）对于B，f(﹣2)=f（2），2>1>0，所以f(﹣2)=f（2）>f（1），故B错误；
对于C､D，f(﹣1)=f（1），0<1<2，所以f(﹣1)=f（1）9．BD对于A选项，当时，，则，因为函数为上的奇函数，则，A选项错误；对于B选项，当时，则函数在上为增函数，
当时，，则函数在上为增函数，
又因为，函数在上连续，所以，函数在上为增函数，
由可得，则，解得，
B选项正确；对于C选项，当时，由，可得（舍去）；
当时，由，可得（舍去）.又满足方程.
综上所述，关于的方程只有一个实根，C选项错误；对于D选项，当时，，当时，，
又，所以，，，因此，、，，D选项正确.
10．AC由已知，令，得，，令，得，，再令，得，，A正确；，不是上的减函数，B错误；令，得，，故C正确；令，由C可知g(x)为奇函数，，即，，故D错误.
11．AC对A， 开口向上，且对称轴为，所以是偶函数，在上是增函数，故A正确；对B，为奇函数，故B错误；对C，为偶函数，当时，为增函数，故C正确；对D，令，为偶函数，当，为减函数，故D错误，
12．BDA，函数是非奇非偶函数，故排除A；B，函数是上的奇函数也是减函数，故B正确；C，函数在定义域上是奇函数，但在和上是减函数，在定义域上不具有单调性，故排除C；D，函数是上的奇函数也是减函数，故D正确.
故选：BD
13．11，，当时，，
即，．
14．∵是偶函数，有，
∴关于对称，即，故，又图像经过点，∴，可得.故.
15．1因为，故，因为为偶函数，故，时，整理得到，
故，
16．（答案不唯一）．，在定义域R上是减函数，又，所以函数是奇函数，
17．（1）；（2）证明见详解；（3）
（1）∵函数是定义在上的奇函数∴，即，∴
又∵，即，∴∴函数的解析式为
（2）由（1）知令，则
∵∴∴而
∴，即∴在上是增函数
（3）∵在上是奇函数∴等价于，即又由（2）知在上是增函数∴，即
∴不等式的解集为.
18．（1）；（2）．
（1）根据题意，当时，，则，
又由是上的奇函数，则，故；
（2）当时，，则在上为增函数，
又由是上的奇函数，则在上也为增函数，由于函数在处连续，故在上为增函数，由可得，，解得.因此，实数的取值范围是.
19．（1）；（2）或.
（1）当时，，
所以；
（2）当时，，因此当时，该函数单调递增，
因为是定义在上的偶函数，且当时，该函数单调递增，
所以由，
因此或，
所以实数的取值范围是或.
20．（1）函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数；（2）函数是偶函数；（3）答案见解析.
（1）因为函数的定义域为，不关于坐标原点对称，所以函数f(x)既不是奇函数，也不是偶函数.
（2）易知函数的定义域为(-∞，0)∪(0，+∞)，关于原点对称，又当x>0时，f(x)=x2+x，
则当x<0时，-x>0，故f(-x)=x2-x=f(x)；当x<0时，f(x)=x2-x，则当x>0时，-x<0，f(-x)=x2+x=f(x)，
故原函数是偶函数.
（3）函数f(x)的定义域为R.当a=0时，f(-x)=f(x)，所以f(x)是偶函数.当a≠0时，f(a)=a2+2，f(-a)=a2-2|a|+2，f(a)≠f(-a)，且f(a)+f(-a)=2(a2-|a|+2)=2，所以f(x)是非奇非偶函数.
21．或.
由已知得，当时， ，
所以，不等式等价于或，
解得或．
22．（1）；（2）或.
（1）令，则，由，此时；
（2）由，，所以，解得或或（舍）.