暑假作业十（单调性与最大（小）值）数学

3.2.1 单调性与最大（小）值

一．知识梳理

1．函数的单调性

(1)单调函数的定义

(2)单调区间的定义

如果函数y＝f(x)在区间D上是增函数或减函数，那么就说函数y＝f(x)在这一区间具有(严格的)单调性，区间D叫做函数y＝f(x)的单调区间．

[注意]　有多个单调区间应分开写，不能用符号“∪”联结，也不能用“或”联结，只能用“逗号”或“和”联结．

2．函数的最值

二．每日一练

一、单选题

1．若f(x)=是R上的单调函数，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C． D．

2．对，记函数的最小值是（    ）

A．1 B．2 C．3 D．4

3．在上定义运算：，若不等式对任意实数恒成立，则实数的最大值为（    ）

A． B． C． D．

4．函数在上单调，则实数a的取值范围（    ）

A． B．

C． D．

5．已知函数则不等式的解集为（    ）

A．        B．       C．        D．

6．已知函数在上为增函数，若不等式对恒成立，则的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

7．已知函数的定义域为，则不等式的解集为 （    ）

A． B． C． D．

8．函数在区间上单调递增，则的取值范围是（    ）

A．         B．         C．         D．

二、多选题

9．设函数f(x)在R上为增函数，则下列结论不一定正确的是（    ）

A．y=在R上为减函数 B．y=|f(x)|在R上为增函数

C．y=在R上为增函数 D．y=f(x)在R上为减函数

10．如果函数在上是增函数，对于任意的，则下列结论中正确的是（    ）

A． B．

C． D．

E.

11．已知函数，则下列x的范围满足不等式的是（    ）

A． B． C． D．

12．下列函数中，在区间上单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

三、填空题

13．函数在上单调递增，则实数a的取值范围是_________.

14．已知函数在R上是增函数，则实数a的取值范围是_______．

15．写出一个值域为，在区间上单调递增的函数______．

16．函数的单调递减区间为___________.

四、解答题

17．已知函数（m，n为常数），且．

（1）求函数的解析式；

（2）当时，判断的单调性并证明．

18．已知函数

（1）若，求在上的最小值；

（2）若，试讨论函数在上的单调性．

19．已知函数.

（1）证明：证明函数在区间上单调递增；

（2）若在上恒成立，求实数的取值范围.

20．已知函数，求函数在区间上的最值.

21．已知二次函数满足，．

（1）求的解析式．

（2）求在上的最大值．

22．已知函数f(x)=，证明函数在(-2，+∞)上单调递增.

参考答案

1．D因为函数在上是单调递减的，又是R上的单调函数，所以在[1，+∞)上单调递减，即a>0，并且，解得，

综上所述，a的取值范围为.

2．B，当时，，显然当时，有，当时，，显然当时，有，

因此函数的最小值是.

3．D由，则即，所以恒成立，在上的最小值为，所以，整理可得，解得，实数的最大值为，

4．D因为函数在和上单调递减，由题意，在上单调，所以或，解得或，所以a的取值范围为.

5．A易得函数在R上单调递增，则由可得，解得，故不等式的解集为.

6．D因为函数在上为增函数，则不等式对恒成立，即对恒成立，所以对恒成立，令，当，则，

所以，故的取值范围为.

7．C因为，可知在上单调递减，所以不等式成立，即.

8．D解：函数的图像的对称轴为，

因为函数在区间上单调递增，所以，解得，所以的取值范围为，

9．ABC对于A，若f(x)=x，则y==，在R上不是减函数，A错误；对于B，若f(x)=x，则y=|f(x)|=|x|，在R上不是增函数，B错误；对于C，若f(x)=x，则y==，在R上不是增函数，C错误；对于D，函数f(x)在R上为增函数，则对于任意的x1，x2∈R，设x1<x2，必有f(x1)<f(x2)，对于y=f(x)，则有y1-y2=[f(x1)][f(x2)]=f(x2)f(x1)>0，则y=f(x)在R上为减函数，D正确.

10．AB由函数单调性的定义知，若函数在给定的区间上是增函数，则与同号，由此可知，选项A，B正确，E错误；对于选项C、D，因为的大小关系无法判断，则与的大小关系确定也无法判断，故C，D不正确．

11．BCD因为函数，画出函数图象如图所示：

所以函数在上为增函数，由得，即解得，

12．AB解：因为一次函数在上单调递增，所以在上单调递增，所以选项A正确；因为二次函数在上单调递减，在上单调递增，所以选项B正确；因为反比例函数在和上单调递减，所以选项C错误；

因为指数函数在上单调递减，所以选项D错误；.

13．在上单调递增，在单调递减，则，即，同时 需满足，即，

解得，综上可知

14．要使在上是增函数，则，解得.

故答案为：.

15．，理由如下：为上的减函数，且，

为上的增函数，且，，

故答案为：．

16．(或都对)令，则，在单调递减，在单调递增，根据复合函数的单调性可得：在单调递减，

17．（1）；（2）在上单调递增；证明见解析．

解：（1）.所以函数的解析式为.

（2）在单调递增.证明如下：证明：设且

，，

∴，在上单调递增．

18．（1）；（2）答案见解析.

（1）当时，且时，，，当且仅当时，等号成立，因此，当时，函数在上的最小值为；

（2）当时，，任取、且，即，

则，

①当时，因为，则，，，

所以，，即，此时，函数在上为增函数；

②当时，因为，则，，，所以，，即，此时，函数在上为减函数.综上所述，当时，函数在上为增函数；当时，函数在上为减函数.

19．（1）证明见解析；（2）.

（1）任取， ∴， 

∵，∴，，， ∴， 故函数在区间上单调递增；

（2）在上恒成立，等价于， 由（1）知在单调递增， ∴，      ∴，解得.

20．，．，且

，又由，得，，，则有，

则有，故函数在区间上单调递减，故，．

21．（1）；（2）3．

（1）设，，则，∴由题，恒成立∴，，得，，，∴.   

（2）由（1）可得，所以在单调递减，在单调递增，且，∴.

22．证明见解析.证明：∀x1，x2∈(-2，+∞)，且x1>x2>-2，f(x)=

则f(x1)-f(x2)==，因为x1>x2>-2，所以x1-x2>0，x1+2>0，x2+2>0，

所以>0，所以f(x1)>f(x2)，所以f(x)在(-2，+∞)上单调递增.