暑假作业十二（幂函数）-（新高一）数学

3.3 幂函数

一．知识梳理

幂函数

(1)定义：形如y＝xα(α∈R)的函数称为幂函数，其中底数x是自变量，α为常数．常见的五类幂函数为y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝x－1.

(2)性质

①幂函数在(0，＋∞)上都有定义；

②当α>0时，幂函数的图象都过点(1，1)和(0，0)，且在(0，＋∞)上单调递增；

③当α<0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减．

巧识幂函数的图象和性质

二．每日一练

一、单选题

1．下列关于函数的单调性的描述中，正确的是（    ）

A．在上是增函数 B．在上是减函数

C．在上是增函数 D．在上是减函数

2．关于幂函数有下列的四个命题，其中，真命题是（    ）．

A．幂函数中不存在既不是奇函数又不是偶函数的函数

B．如果一个幂函数有反函数，那么它一定为奇函数

C．图像不经过点的幂函数，一定不是偶函数

D．如果两个幂函数有三个公共点，那么，这两个函数一定相同

3．设α∈，则使函数y＝xα的定义域为R的所有α的值为（    ）

A．1,3 B．－1,1 C．－1,3 D．－1,1,3

4．幂函数在为增函数，则的值是（    ）

A． B． C．或 D．或

5．已知点在幂函数图像上，则的表达式为（    ）

A． B． C． D．

6．函数的大致图象是（    ）

A．   B．   C．   D．

7．已知幂函数的图象经过点，则的值等于（    ）

A． B．2 C．4 D．

8．若幂函数在上是减函数，则实数的值是（    ）

A．或3 B．3 C． D．0

二、多选题

9．下列函数中，既是偶函数又在区间单调递增的是（    ）

A． B． C． D．

10．下列说法中错误的是（    ）

A．幂函数的图象不经过第四象限

B．的图象是一条直线

C．若函数的定义域为，则它的值域为

D．若函数的值域为是，则它的定义域一定是

11．已知幂函数，则下列结论正确的有（    ）

A．                B．的定义域是

C．是偶函数                D．不等式的解集是

12．若幂函数的图象经过点，则幂函数在定义域上是（    ）

A．奇函数 B．偶函数 C．增函数 D．减函数

三、填空题

13．幂函数在区间上是减函数，则__________.

14．已知α∈{﹣2，﹣1，﹣，1，2，3}，若幂函数f（x）＝xα为奇函数，且在（0，+∞）上递减，则α＝_____．

15．函数恒过定点______．

16．已知幂函数图像过点，则该幂函数的解析式是______________

四、解答题

17．已知幂函数在区间上单调递增.

（1）求的解析式；

（2）用定义法证明函数在区间上单调递减.

18．已知幂函数（）的图象与x轴、y轴都无交点，且关于原点对称，求m的值．

19．已知函数，当m为何值时，：

（1）是幂函数；

（2）是幂函数，且是上的增函数；

（3）是正比例函数；

（4）是反比例函数；

（5）是二次函数.

20．已知幂函数为奇函数．

（1）求实数m的值；

（2）求函数的值域．

21．已知幂函数，经过点，试确定的值，并求满足条件的实数的取值范围.

22．已知函数，.

（1）求方程的解集；

（2）定义：.已知定义在上的函数.求函数的解析式，在平面直角坐标系中，画出函数的简图；并写出函数的单调区间和最小值.

参考答案

1．C在上是增函数

2．CA.的定义域是，它既不是奇函数又不是偶函数，故A不正确；

B. 有反函数，反函数是 ，但它不是奇函数，故B不正确；

C.因为幂函数必过点，若函数是偶函数，则必过点，若函数没有过点，则函数一定不是偶函数，故C正确；D.函数和都是幂函数，且有三个公共点，分别是，但是这两个函数不同，故D不正确.

3．A当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；

当时，函数y＝的定义域为，不是R，所以不成立；

当或时，满足函数y＝xα的定义域为R，

4．B为幂函数，，解得：或；当时，，则在上为减函数，不合题意；当时，，则在上为增函数，符合题意；综上所述：.

5．B设，由条件可知，所以，所以，

6．A由题意得，，所以函数的定义域为，因为，根据幂函数的性质，可知函数在第一象限为单调递减函数，

7．D设幂函数，幂函数的图象经过点所以，解得 所以，则

8．B解：因为幂函数在上是减函数，所以，由，得或，当时，，所以舍去，当时，，所以，

9．AB选项A中，，定义域为R，满足，故是偶函数，又由二次函数性质知区间单调递增，故符合题意；选项B中，，定义域为R，满足，故是偶函数，在区间上，是递增函数，故符合题意；

选项C中，，定义域为，满，故是偶函数，但由幂函数性质知在区间单调递减，故不符合题意；选项D中，，定义域为R，恒成立，故不是偶函数，故不符合题意.

10．BCD解：对于A，由幂函数的图象知，它不经过第四象限，所以A对；对于B，因为当时，无意，即在无定义，所以B错；对于C，函数的定义域为，则它的值域为，不是，所以C错；对于D，定义域不一定是，如，所以D错.

11．ACD因为函数是幂函数，所以，得，即，，故A正确；函数的定义域是，故B不正确；

，所以函数是偶函数，故C正确；函数在是减函数，不等式等价于，解得：，且，得，且，即不等式的解集是，故D正确.

12．AC因是幂函数，设，而其图象过点，即，解得，于是得，且定义域为R，显然是R上增函数，C正确；

，则为R上奇函数．A正确．

13．0因幂函数在区间上是减函数，则，解得，而，则0.

14．﹣1因为幂函数为奇函数，且在上单调递减，所以为负数，因为，所以，

15．当，即时，，函数恒过定点..

16．设，因为，所以，所以函数的解析式是．

17．（1）；（2）证明见解析.（1）解：由题可知：，解得或.若，则在区间上单调递增，符合条件；若，则在区间上单调递减，不符合条件.故.

（2）证明：由（1）可知，.任取，，且，

则.因为，

所以，，，所以，

即，故在区间上单调递减.

18．或．∵幂函数（）的图象与轴、轴都无交点，

∴，∴；∵，，∴，又函数图象关于原点对称，∴是奇数，∴或．

19．（1）或（2）（3）（4）（5）.

（1）因为函数是幂函数，所以，解得：或；

（2）当时，，函数在上是减函数，

当时，，函数在上是增函数，

综上可知：时，满足条件；

（3）若函数是正比例函数，则，解得：；

（4）若函数是反比例函数，则，解得：；

（5）若函数是二次函数，则，解得：.

20．（1）；（2）．

（1）∵函数为幂函数，，解得或5，

当时，，为奇函数，当时，，为偶函数，

函数为奇函数，；

（2）由（1）可知，，则，，令，则，，则，，

函数为开口向下，对称轴为的抛物线，当时，函数，

当，函数取得最大值为1，的值域为，故函数的值域为．

21．，的取值范围为∵幂函数经过点，∴，

即∴=.解得=或=.又∵，∴=.

∴，则函数的定义域为，并且在定义域上为增函数.由得解得.∴的取值范围为.

22．（1）或；（2）图象答案见解析，单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.

解：（1）由，得，；（2）由已知得，

函数的图象如图实线所示：

函数的单调递减区间是，单调递增区间是，其最小值为1.