暑假作业二十七（简单的三角恒等变换）-（新高一）数学

暑假作业二十七（简单的三角恒等变换）

一．知识梳理

二倍角的正弦、余弦、正切公式

sin 2α＝2sin_αcos__α；

cos 2α＝cos2α－sin2α＝2cos2α－1＝1－2sin2α；

tan 2α＝.

(1)降幂公式：cos2α＝，sin2α＝.

(2)升幂公式：1＋cos 2α＝2cos2α，1－cos 2α＝2sin2α.

(3)tan α±tan β＝tan(α±β)(1±tan αtan β)，

1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，

1－sin 2α＝(sin α－cos α)2，

sin α±cos α＝sin.

(4)辅助角公式

asin x＋bcos x＝sin (x＋φ)，其中tan φ＝.

二．每日一练

一、单选题

1．已知函数，则下列四个结论中：

①的最小正周期为；②是图象的一条对称轴；③是的一个单调递增区间；④是的一个单调递减区间.

所有正确结论的序号是（    ）

A．①② B．①③ C．②④ D．③④

2．已知，则（    ）

A． B． C．1 D．2

3．已知为第三象限角，且，则的值为（    ）

A．2 B．-2 C． D．

4．在中，已知，那么一定是（    ）

A．等腰三角形      B．直角三角形      C．等边三角形 D．形状无法确定

5．若，则为（    ）

A． B． C． D．

6．若，且，则的值为（    ）

A． B． C． D．

7．的值为（    ）

A． B． C． D．

8．函数的最小正周期和最大值分别是（    ）

A．和 B．和2 C．和 D．和2

二、多选题

9．已知函数的最小正周期为，则下列判断正确的有（    ）

A．将函数图像向左平移个单位得到函数的图像

B．函数在区间单调递减

C．函数的图像关于点对称

D．函数取得最大值时x的取值集合

10．若关于的方程在区间上有且只有一个解，则的值可能为（    ）

A． B． C．0 D．1

11．已知函数，下列叙述不正确的是（    ）

A．的最小正周期是 B．在上单调递增

C．图象关于直线对称 D．的图象关于点对称

12．设函数，则（    ）

A．最大值为2 B．是偶函数

C．图象关于点对称 D．在区间上单调递增

三、填空题

13．___________.

14．函数的最大值为___________.

15．已知，则__________________．

16．公元前世纪，古希腊的毕达哥拉斯学派通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割值约为，这一数值也可以表示为.若，则___________.

四、解答题

17．在①是函数图象的一条对称轴，②是函数的一个零点，③函数在上单调递增，且的最大值为，这三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并解答．

已知函数，__________，求在上的单调递减区间．

注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．

18．如图，锐角的始边与x轴的非负半轴重合，终边与单位圆交于点，将射线按逆时针方向旋转后与单位圆交于点.

（1）求的取值范围；

（2）若，求的值.

19．已知函数．

（1）求的值域；

（2）求的零点的集合．

20．已知函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）当时，求的值域.

21．已知函数.

（1）若求的值；

（2）求函数的最小正周期；及当时，函数的最值.

22．设函数.

（1）求函数的最小正周期；

（2）求函数在区间上的最小值和最大值.

参考答案

1．B.对于①，函数的最小正周期为，①正确；对于②，因为，故②错误；对于③，当时，，故是的一个单调递增区间，③正确；对于④，当时，，

所以，函数在区间上不单调，④错误.

2．C解：因为，所以

3．A，所以，由为第三象限角，所以，

4．A解：在中，，，即，，

，．一定是等腰三角形．

5．B因为，所以，又因为，所以，所以，所以，

6．D解：因为，所以，又，所以因为，所以，所以

7．B．

8．C由题，，所以的最小正周期为，最大值为.

9．BCD∵，∴，

对于A，∵，故函数的图象可由函数的图象向左平移个单位得到，故A错误；对于B，令，则，

，故在区间单调递减，故B正确；

对于C，∵，故函数的图像关于点对称，故C正确；对于D，当，即时，取得最大值，故D正确．

10．AC整理可得，令，因为，则. 所以在区间上有且只有一个解，即的图象和直线只有1个交点.由图可知，或，解得或.

11．ABC，，所以A不对；令，，，单调递增，单调递减，所以B不对；时，不取最大值或最小值，所以C不对；因为函数关于点对称，所以的图象关于点对称，所以D正确.

12．BC

所以的最大值是，并且是偶函数，当时，，函数关于点对称，

当时，，此时函数单调递减.

13．.

14．

，则当时，取得最大值为.

15．∵，∴，

∴．

16．因为，，所以，，所以，

，

17．选择见解析；单调递减区间为，．

解：

．

①若是函数图象的一条对称轴，则，，即，，得，，又，∴当时，，．

②若是函数的一个零点，则，即，，

得，．又，∴当时，，所以，．

③若在上单调递增，且的最大值为．则，故，所以．由，，得，，令，得，令，得，

又，所以在上的单调递减区间为，．

18．（1）；（2）

（1）由图知，，由三角函数的定义可得，，

．角为锐角，，，

，即的范围是．

（2）因为，，所以，

，

19．（1）；（2）或．

（1）由题可知．∵，

∴，即的值域为．

（2）令，得，∴或，，∴或，，∴的零点的集合为或．

20．（1）；（2）.

（1），

 所以的最小正周期为.

（2），所以.

21．（1）答案见解析；（2），，.

解：（1）因为且所以，

当时，当时，.

（2）因为

所以，由，得

当即当即

22．（1）；（2），.

解：（1）因为

所以函数的最小正周期为，

（2）设，，则，

由在上的图像知，当时，即，；

当时，即，