暑假作业十八（图像的应用（二））-（新高一）数学

4.5 图像的应用（二）

一．知识梳理

1．利用描点法作函数图象

其基本步骤是列表、描点、连线．

首先：①确定函数的定义域；②化简函数解析式；③讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)．

其次：列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线．

2．利用图象变换法作函数的图象

(1)平移变换

(2)对称变换

①y＝f(x)y＝－f(x)．

②y＝f(x)y＝f(－x)．

③y＝f(x)y＝－f(－x)．

④y＝ax(a＞0且a≠1)y＝logax(x＞0)．

(3)翻折变换

①y＝f(x)y＝|f(x)|；

②y＝f(x)y＝f(|x|)．

(4)伸缩变换

①y＝f(x)

→y＝f(ax)．

②y＝f(x)

→y＝af(x)．

二．每日一练

一、单选题

1．已知函数，若关于x的方程有四个实数根，则实数的取值范围为（    ）

A． B． C． D．

2．已知函数，其中，若存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，则的取值范围是（    ）

A．        B．      C．         D．

3．某电影票单价30元，相关优惠政策如下：①团购10张票，享受9折优惠：②团购30张票，享受8折优惠；③购票总额每满500元减80元．每张电影票只能享受一种优惠政策，现需要购买48张电影票，合理设计购票方案，费用最少为（    ）

A．1180元 B．1230元 C．1250元 D．1152元

4．函数的零点所在的区间为（    ）

A． B． C． D．

5．为了保护水资源，提倡节约用水，某城市对居民实行“阶梯水价”，计费方法如下表：

若某户居民本月交纳的水费为54元，则此户居民的用水量为（    ）

A． B． C． D．

6．年初我国脱贫攻坚战取得了全面胜利，现行标准下区域性整体贫困得到解决，完成了消除绝对贫困的艰巨任务．经过数据分析得到某山区贫困户年总收入与各项投入之间的关系是：贫困户年总收入y（元）=1200+年扶贫资金（元）+年自投资金（元）自投劳力（个）．若一个贫困户家中只有两个劳力，年自投资金元，以后每年的自投资金均比上一年增长，年获得的扶贫资金为元，以后每年获得的扶贫资金均比上一年减少元，则该贫困户在年的年总收入约为（    ）

A．元 B．元 C．元 D．元

7．若函数在区间（－1，1）上有两个不同的零点，则实数a的取值范围是（    ）

A． B． C．（2，＋∞） D．（0，2）

8．某医药研究所研发了一种治疗某疾病的新药，服药后，当每毫升血液中含药量不少于0.25毫克时，治疗疾病有效．据监测，服药后每毫升血液中的含药量y（单位：毫克）与时间t（单位：时）之间满足如图所示的曲线，则服药一次后治疗疾病的有效时间为（　　）

A． B． C．5 D．6

二、多选题

9．已知是定义在上的偶函数，，且当时，，则下列说法正确的是（    ）

A．是以为周期的周期函数                      B．

C．函数的图象与函数的图象有且仅有个交点

D．当时，

10．若直线与函数（，且）的图象有两个公共点，则的取值可以是（    ）

A． B． C． D．2

11．在某种金属材料的耐高温实验中，温度随着时间变化的情况由计算机记录后显示的图象如图所示．则下列说法正确的是（    ）

A．前5min温度增加的速度越来越快    B．前5min温度增加的速度越来越慢

C．5min以后温度保持匀速增加         D．5min以后温度保持不变

12．某市出租车收费标准如下：起步价为8元，起步里程为（不超过按起步价付费）；超过但不超过时，超过部分按每千米2.15元收费；超过时，超过部分按每千米2.85元收费，另每次乘坐需付燃油附加费1元，下列结论正确的是（    ）

A．出租车行驶，乘客需付费8元

B．出租车行驶，乘客需付费9.6元

C．出租车行驶，乘客需付费25.45元

D．某人两次乘出租车均行驶的费用之和超过他乘出租车行驶一次的费用

三、填空题

13．已知函数，若仅有两个不同零点，则实数a的取值范围是_________．

14．已知函数，则的所有零点之和为___________.

15．已知函数则函数的所有零点之和为___________.

16．已知方程的根在区间上，第一次用二分法求其近似解时，其根所在区间应为__________．

四、解答题

17．泰州市民小王新购置了一套住房，拟对新房进行装修.在装修中需满足如下要求：①窗户面积应小于地板面积，②窗户面积不小于地板面积的，③窗户面积与地板面积的比值越大，采光效果越好.设窗户面积为m平方米，地板面积为n平方米，已知，其中k为常数.已知当窗户和地板的总面积为22平方米时，窗户面积恰好是地板面积的.

（1）求实数k的值；

（2）在满足装修的要求下，求窗户面积可以取到的范围；

（3）当采光效果最好时，求窗户的面积.

18．某民营企业开发出了一种新产品，预计能获得50万元到1500万元的经济收益.企业财务部门研究对开发该新产品的团队进行奖励，并讨论了一个奖励方案：奖金（单位：万元）随经济收益（单位：万元）的增加而增加，且，奖金金额不超过20万元.

（1）请你为该企业构建一个关于的函数模型，并说明你的函数模型符合企业奖励要求的理由；(答案不唯一)

（2）若该企业采用函数作为奖励函数模型，试确定实数的取值范围.

19．一片森林原来面积为2021万亩，计划每年砍伐一些树，且每年砍伐面积的百分比相等，当砍伐的面积的一半时，所用时间是10年，为保护生态环境，森林面积至少要保留原面积的，已知到今年为止，森林剩余面积为原来的.

（1）求每年砍伐面积的百分比；

（2）到今年为止，该森林已砍伐了多少年？

（3）今后最多还能砍伐多少年？

20．若函数只有一个零点，求实数的取值范围

21．近年来，中美贸易摩擦不断．特别是美国对我国华为的限制．尽管美国对华为极力封锁，百般刁难，并不断加大对各国的施压，拉拢他们抵制华为5G，然而这并没有让华为却步．华为在2018年不仅净利润创下记录，海外增长同样强劲．今年，我国华为某一企业为了进一步增加市场竞争力，计划在2020年利用新技术生产某款新手机．通过市场分析，生产此款手机全年需投入固定成本250万，每生产x（千部）手机，需另投入成本R(x)万元，且，由市场调研知，每部手机售价0.7万元，且全年内生产的手机当年能全部销售完．

（1）求出2020年的利润W(x)（万元）关于年产量x（千部）的函数关系式，（利润=销售额—成本）；

（2）2020年产量为多少（千部）时，企业所获利润最大？最大利润是多少？

22．已知函数．

（1）将函数解析式写成分段函数的形式，然后在坐标系中画出的图象；

（2）根据图象直接写出的单调增区间．

（3）当k为何值时，方程恰有两个解？

参考答案

1．C解：作出函数的图象， 关于x的方程有四个实数根，则函数与有四个交点，则，

故选：C.

2．B解：当时，作出函数的图象如下图所示，

当时，，

所以若要存在实数，使得关于的方程恰有三个不同的实数根，

则必须，解得，所以的取值范围是.

3．A由第③种方案可知，，，，

，则第③种方案约为84折，所以先以第②种方案购票张：

(元)，再以第③种方案购买余下的张：(元)，

所以共需要(元).

4．B由为增函数，为增函数，故为增函数，由，

，根据零点存在性定理可得使得，

5．C设此户居民本月用水量为,缴纳的水费为元,则当时,元,不符合题意;当时,,令,解得,符合题意；当时,,不符合题意.综上所述: 此户居民本月用水量为15.

6．B由题意，年的自投资金为（元），年的扶贫资金为（元），所以该贫困户年的年总收入约为（元）．

7．B因为为开口向上的抛物线，且对称轴为，在区间（－1，1）上有两个不同的零点，所以，即，解得，所以实数a的取值范围是.

8．B解：由题意，当时，函数图象是一个线段，由于过原点与点，故其解析式为，；当时，函数的解析式为，此时在曲线上，将此点的坐标代入函数解析式得，解得故函数的解析式为，．

所以．令，即，解得，．

服药一次治疗疾病有效的时间为小时．

9．ACD对于A选项，由已知条件可得，

所以，函数是以为周期的周期函数，A选项正确；对于B选项，，，则，B选项错误；

对于C选项，作出函数与函数的图象如下图所示：

当时，，结合图象可知，.

当时，，即函数与函数在上的图象无交点，由图可知，函数与函数的图象有个交点，C选项正确；

对于D选项，当时，，则，所以，，D选项正确.

10．AB（1）当时，由题得，因为，所以此种情况不存在；

（2）当时，由题得，因为，所以.

11．BD因为温度y关于时间t的图象是先凸后平，即前5min每当t增加一个单位增量Δt，则y相应的增量Δy越来越小，而5min后是y关于t的增量保持为0，则BD正确．

12．CD对于A：出租车行驶，乘客需付起步价8元和燃油附加费1元，共9元，故A错误；对于B：出租车行驶，乘客需付费8+2.15+1=11.15元，故B错误；

对于C：出租车行驶，乘客需付费元，故C正确；

对于D：某人两次乘出租车均行驶的费用之和为元，

一次行驶的费用为25.45元，，故D正确.

13．函数的图象如下：

函数仅有两个不同零点，可转化为函数与函数的图象有2个交点，由图可知.

14．根据题意，令，则易得的解为：，，

当时，结合，得：，；

当时，结合，可知方程无解.

故的所有零点之和为：.

15．解：时，，，由，可得或，或；时，，，由，可得或，或；函数的所有零点为，，，，所以所有零点的和为

16．解：令，其在定义域上单调递增，且，，，由f（2.5）f（3）＜0知根所在区间为．

17．（1）；（2）；（3）1.（1）由得，

所以，；

（2）由题意，解得　；

（3），当且仅当，即时等号成立．所以采光效果最好时，窗户的面积为1平方米．

18．（1）答案见解析；（2）.

解 (1)  答案不唯一.  构造出一个函数；说明是单调增函数；                                     函数的取值满足要求.                                   

如，，就是符合企业奖励的一个函数模型.

理由：根据一次函数的性质，易知，随增大而增大，即为增函数；

当时，，当时，，即奖金金额且不超过20万元.故该函数是符合企业奖励要求的一个函数模型.

(2) 当时，易知是增函数，且当时，，当时，，即满足奖金且不超过20万的要求；

故当时，符合企业奖励要求.                         

当时，函数是增函数，即对任意，且时，成立.故当且仅当，即时，此时函数在上是增函数.                                                     

由，得；进一步可知，，故成立，即当时，函数符合奖金且金额不超过20万的要求.                  

依据函数模型是符合企业的奖励要求，即此函数为增函数，   

于是，有，解得.                                

综上，所求实数的取值范围是.

19．（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．

（1）设每年砍伐面积的百分比为，则，解得，

所以每年砍伐面积的百分比为；

（2）设到今年为止，该森林已砍伐了年，则，又，则，，,所以到今年为止，该森林已砍伐了5年；

（3）设今后最多还能砍伐年，则，，，．所以今后最多还能砍伐15年.

答：（1）每年砍伐面积的百分比为；（2）到今年为止，该森林已砍伐了5年；（3）今后最多还能砍伐15年．

20．或当时，若二次函数只有一个零点，

则方程的判别式为零，所以；解得，

当时，，解得，满足题意，综上或

21．（1）；（2）2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．

（1）当时，；

当时，，

．

（2）若，，当时，万元．

若，，当且仅当时，即时，万元．2020年产量为100（千部）时，企业所获利润最大，最大利润是9000万元．

22．（1），图象见解析；（2）和；（3）或.

（1）当时，，当，，

所以其图象如下所示：

（2）观察图可得函数的单调增区间为和.

（3）方程恰有两个解，即和的图象有两个交点，

由于，故当或时，方程恰有两个解.