初中数学人教版七年级上册3.1.1 一元一次方程导学案

第11讲  一元一次方程的实际应用（一）

知识导航

1．列一元一次方程解决和、差、倍、分问题；

2．列一元一次方程解决等积变形问题；

3．列一元一次方程解决数字问题．

方法技巧

列一元一次方程解应用题的关键是找到符合题意的相等关系．常见的相等关系有以下几种：

1．部分量之和＝总量．

2．表示同一个量的两个不同的式子．

3．找出题目中表示相等关系的关键词，如“相等”，“等于”，“比”，“是”，“占”等等，从而列出相等关系．

【板块一】和、差、倍、分问题

题型一 部分量之和等于总量

【例1】支持亚太地区国家基础设施建设，由中国倡议设立亚投行，截止2015年4月15日，亚投行意向创始成员确定为57个，其中意向创始成员国数亚洲是欧洲的2倍少2个，其余洲共5个，求亚洲和欧洲的意向创始成员国各有多少个？

【练1】有人问一位老师，他教的班级有多少学生，老师说：“一半学生在学数学，四分之一的学生在学音乐，七分之一的学生在念外语，还有不足6位学生正在操场踢足球．”因此，这个班一共有学生多少人．

题型二 表示同一个量的两个式子相等

【例2】甲厂库存钢材100吨，每月用去15吨；乙厂库存钢材82吨，每月用去9吨．经过几个月后，两厂剩下的钢材相等？

【练2】我市某校组织爱心捐书活动，准备将一批捐赠的书打包寄往贫困地区，其中每包书的数目相等．第一次他们领来这批书的，结果打了16个包还多40本；第二次他们把剩下的书全部取来，连同第一次打包剩下的书一起，刚好又打了9个包，那么这批书共有多少本？

题型三 抓住题目中的关键词

【例3】小明从今年1月初起刻苦练习跳远，每个月的跳远成绩都比上一个月有所增加，而且增加的距离相同．2月份，5月份他的跳远成绩分别为4.1m，4.7m．请你算出小明1月份的跳远成绩以及每个月增加的距离．

【练3】快递发展逐步改变了人们的购物方式，网购已悄然进入千家万户，李阿姨在某网店买了甲、乙两件商品，已知甲商品的价格比乙商品的价格的2倍多108元，乙商品的价格比甲、乙两件商品总价的少3元，问甲、乙两件商品的价格各多少元？

针对练习1

1．将一根长100cm的木棍锯成两段，使其中一段的长比另一段的2倍少5cm，则锯出的木棍的长不可能为（    ）

A．70cm B．65cm C．35 D．35cm或65cm

2．古代问题：以绳测井，若将绳三折测之，绳多四尺；若将绳四折测之，绳多一尺，绳长、井深各几何？（注：绳几折即把绳平均分成几等分．）（    ）

A．36，8 B．28，6 C．28，8 D．13，3

3．长方形的周长为26cm，这个长方形的长减少1cm，宽增加2cm，就可成为一个张方形，设长方形的长为xcm，则可列方程（    ）

A．x－1＝(26－x)＋2 B．x－1＝(13－x)＋2    C．x＋1＝(26－x)－2    D．x＋1＝(13－x)－2

4．哥哥的年龄是妹妹年龄的2倍，4年前哥哥的年龄是妹妹年龄的3倍，若设妹妹今年x岁，可列方程为（    ）

A．2x－4＝3(x－4) B．2x＝3(x－4) C．2x＋4＝3(x－4) D．2x＋4＝3x

5．有一群鸽子和一些鸽笼，如果每个鸽笼住6只鸽子，则剩余3只鸽子无鸽笼可住；如果再飞来5只鸽子，连同原来的鸽子，每个鸽笼刚好住8只鸽子．设原有x只鸽子，则下列方程正确的是（    ）

A．－3＝＋5 B．＋3＝－5 C．＝ D．＝

6．幼儿园的阿姨给小朋友分苹果，如果每人3个还少3个，如果每人2个又多2个，请问共有多少个小朋友？（    ）

A．4个 B．5个 C．10个 D．12个

7．请根据图中提供的信息，回答下列问题：

（1）一个暖瓶与一个水杯分别是多少元？

（2）甲、乙两商家同时出售同样的暖瓶和水杯．为了迎接新年，两家商场都在搞促销活动．甲商场规定：这两种商品都打九折；乙商场规定：买一个暖瓶赠送一个水杯．若某单位想要买4个暖瓶和15个水杯，请问选择哪家商家购买更合算，并说明理由．

8．为了积极开展“阳光一小时”课外活动，学校购买了一批篮球和排球，已知每个篮球比排球贵5元，各年级分配的金额和数量如下表：

（1）求篮球和排球的单价及a的值；

（2）求b，c的值．

【板块二】等积变形问题

方法技巧

1．“等积变形”是以形状改变而体积不变为前提，常用的关系有：（1）形状变而体积不变；（2）原材料体积＝成品体积．

题型一 长度关系

【例4】如图为甲、乙、丙三根笔直的木棍平行摆放在地面上的情形．已知乙有一部分只与甲重叠，其余部分只与丙重叠，甲没有与乙重叠的部分的长度为1公尺，丙没有与乙重叠的部分长度为2公尺．若乙的长度最长且甲、乙的长度相差x公尺，乙、丙的长度相差y公尺，则乙的长度为多少公尺？（    ）

A．x＋y＋3 B．x＋y＋1 C．x＋y－1 D．x＋y－3

【练4】一个长方形的周长是16cm，长比宽多2cm，那么这个长方形的长与宽分别是（    ）

A．9cm，7cm B．5cm，3cm C．7cm，5cm D．10cm，6cm

题型二 面积关系

【例5】如图，宽为50cm的矩形图案由10个全等的小长方形拼成，求其中一个小长方形的面积．

【练5】小明在拼图时，发现8个一样大小的长方形，恰好可以拼成一个大的长方形如图（1）；小红看见了，说：“我也来试一试．”结果小红七拼八凑，拼成了如图（2）那样的正方形，中间还留下了一个洞，恰好是边长为3mm的小正方形，则每个小长方形的面积为多少mm？

题型三 体积关系

【例6】有一个长、宽、高分别是15cm、10cm、30cm的长方体钢锭，现将它锻压成一个底面为正方形，且边长为15cm的长方体钢锭，求锻压后长方体钢锭的高．（忽略锻压过程中的损耗）

【练6】如图所示，有甲、乙两个容器，甲容器盛满水，乙容器里没有水，现将甲容器中的水全部倒入乙容器，问：乙容器中的水会不会溢出？如果不会溢出，请你求出倒入水后乙容器中的水深；如果水会溢出，请你说明理由．（容器壁厚度忽略不计，图中数据的单位：cm）

针对练习2

1．一个长方形的周长是40cm，若将长减少8cm，宽增加2cm，长方形就变成了正方形，则正方形的边长为（ B ）

A．6cm B．7cm C．8cm D．9cm

2．锻造一个半径为5cm，高为8cm的圆柱毛坯，应截取半径为4cm的圆钢（ A ）

A．12.5cm B．13cm C．13.5cm D．14cm

3．从两块分别重10千克和15千克且含铜的百分比不同的合金上各切下重量相等的一块，再把切下的每一块与另一块切后剩余的部分合在一起，熔炼后两者含铜的百分比恰好相等，则切下一块重量是（ B ）

A．5千克 B．6千克 C．7千克 D．8千克

4．在长为10m，宽为8m的长方形空地中，沿平行于长方形各边的方向分割出三个完全相同的小长方形花圃，其示意图如图所示．求小长方形花圃的长和宽．

5．如图①是边长为30cm的正方形纸板，裁掉阴影部分后将其折叠成如图②所示的长方形盒子，已知该长方形的宽是高的2倍，求它的体积是多少立方厘米．

【板块三】数字问题

方法技巧

1．抓住问题中数的变化规律，列一元一次方程解决数的规律问题．

2．数位上的数改变后形成新的十进制数，在表示新数时，要注意进率的变化．

题型一  数的规律问题

【例7】从1开始得到如下的一列数：1，2，48，16，22，24，28，…

其中每一个数加上自己的个位数，成为下一个数，上述一列数中小于100的个数为（    ）

A．21 B．22 C．23 D．99

【练7】两列数如下：

7，10，13，16，19，22，25，28，31，…

7，11，15，19，23，27，31，35，39，…

第1个相同的数是7，第10个相同的数是（    ）

A．115 B．127 C．139 D．151

题型二  数位上的数字变化问题

【例8】一个三位数，百位上的数字比十位上的数大1，个位上的数字比十位上数字的3倍少2．若将百位与个位上数字顺序颠倒后，所得的三位数与原三位数的和是1171，求这个三位数．

【练8】有一个三位数，个位数字为百位数字的2倍，十位数字比百位数字大1，若将此数个位与百位顺序对调（个位变百位）所得的新数比原数的2倍少49，求原数．

针对练习3

1．一个两位数，个位数字与十位数字的和是9，如果各位数字对调后所得的两位数比原来的两位数大9，那么原两位数是（    ）

A．54 B．37 C．72 D．45

2．在－0.1428中用数字3替换其中的一个非0数码后，使所得的数最大，则被替换的字是（    ）

A．1 B．2 C．4 D．8

3．魔术师为大家表演魔术．他请观众想一个数，然后将这个数按以下步骤操作：

魔术师立刻说出观众想的那个数．

⑴如果小明想的数是－1，那么他告诉魔术师的结果应该是________；

⑵如果小聪想了一个数并告诉魔术师结果为93，那么魔术师立刻说出小聪想的那个数是________；

⑶观众又进行了几次尝试，魔术师都能立刻说出他们想的那个数，请你说出其中的奥妙．

4．一个两位数，十位上的数字比个位上的数字少3，这两个数字之和等于这个两位数的，求这个两位数.

5．首位数字是2的六位数，若把首位数字2移到末位，所得到的新的六位数恰好是原数的3倍．试求原来的六位数．

6．⑴—个两位数，其中a表示十位数上的数字，b表示个位数上的数字(a≠b，ab≠0)把个位数字与十位数字互换得到一个新两位数，则这两个两位数的和一定能被_____整除，这两个两位数的差一定能被__ __整除.

(2)对于任意一个三位数n，如果n满足各个数位上的数字互不相同，且都不为0，那么称这个数为“相异数”，将一个“相异数”任意两个数位上的数字对调后可以得到三个不同的新三位数，把这三个新三位数的和与111的商记为．例如n＝123，对调后的第三位数为213，132，321，（213＋132＋321)÷111＝6，所以．

①计算：，；

②若S，t都是“相异数”，其中S＝100x＋32，t＝150＋y；，（1≤x≤9，1≤y≤9，x，y都是正整数），当时，求x， y之间的关系式；若规定，求K的最大值.